fizika

6.11

Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний

х1 = 2 sin (5πt + π/2), х2 = 3 sin (5πt + π/6).

6.12

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

х = 2 соs t/2, у = –соs t.

Определить уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба.

6.13

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

х = sin πt; y = 2 sin (πt + π/2).

Определить траекторию движения точки и начертить ее с соблюдением масштаба.

6.14

Складываются два взаимно перпендикулярных движения, заданных уравнениями

х = cos π(t + 1), y = 2 cos πt.

Определить уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба.

6.15

Определить уравнения траектории точки у (х), если она движется по законам

х = A sin ωt, y = A cos 2ωt,

где A и ω — положительные постоянные. Изобразить график этой траектории.

6.16

Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями: х1 = sin t, x2 = cos t. Определить амплитуду сложного движения, его частоту и начальную фазу; написать уравнение движения.

6.17

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1,5 с и амплитудами А = 3 см. Начальные фазы колебаний: ϕ01 = π/2, ϕ02 = π/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать его урав-

412 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

нение. Построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

6.18

Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями

х = sin t/2, у = соs t.

Определить уравнение траектории движения точки у = у (х) и построить график.

6.19

Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями

х = 4 соs πt, у = 8 cos π (t + 1). Определить уравнение траектории точки.

6.20

Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемые уравнениями

х = А1 sin ω1t и у = А2 соs ω2t,

где А1 = 8 см, А2 = 4 см, ω1 = ω2 = 2 рад/с. Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

6.21

Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода

х1 = А1 sin ω1t и х2 = А2 соs ω2 (t + τ),

где А1 = А2 = 1 см, ω1 = ω2 = π рад/с, τ = 0,5 с. Определить амплитуду А, начальную фазу ϕ0 и уравнение результирующего колебания.

6.22

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых

х = А1 cos ω1t и у = А2 sin ω2t,

где А1 = 2 см, А2 = 1 см, ω1 = ω2 = 1 рад/с. Написать уравнение траектории и построить ее; показать направление движения точки.

6.23

Материальная точка участвует в двух колебаниях, проходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями

где А1 = А2 = 2 см, ω1 = ω2 = 1 рад/с. Определить амплитуду А результирующего движения, его частоту ν и начальную фазу ϕ0.

6.24

Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями

х = А1 cos ω1t и у = А2 sin ω2t,

где А1 = 4 см, А2 = 6 см, ω1 = 2ω2 = 4 рад/с. Определить уравнение траектории точки и построить ее на чертеже; показать направление движения точки.

6.25

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

х = 2 sin ωt и у = sin 2ωt.

Определить траекторию движения точки.

6.26

С помощью векторной диаграммы вычислить амплитуду и начальную фазу результата сложения двух колебаний одного направления

х1 (t) = 3 cos ωt и x2 (t) = 4 cos (ωt + π/2).

6.27

Получить уравнение траектории, образованной сложением двух взаимно перпендикулярных колебаний

х = х0 cos 2ωt и у = у0 cos (3ωt + π/2)

6.28

Найти амплитуду и начальную фазу колебания, полученного при наложении двух колебаний вдоль одного направления

х1 = 3 cos (ωt + π/6) и х2 = 4 cos (ωt + 2π/3). Вычисления провести с использованием векторной диаграммы.

6.29

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

х = 2 sin πt и y = cos π(t + 2).

Найти уравнение траектории и построить ее в масштабе.

6.30

Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения одинаково направленных гармонических колебаний с одина-

ковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,4 м. Разность фаз между этими колебаниями равна π/6, начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

6.31

Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х = 4 sin πt, y = 6 sin (πt + π/2).

Определить траекторию движения точки и начертить ее в масштабе.

6.32

Определить графически амплитуду A колебаний, которые возникают при сложении колебаний одного направления

х1 = 3 соs (ωt + π/3), х2 = 8 sin (ωt + π/6).

6.33

Определить графически амплитуду A колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления

х1 = 3 соs ωt, х2 = 5 cos (ωt + π/4), х3 = 6 sin ωt.

6.34

Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, описываемых уравнениями

х1 = A соs ωt, х2 = A cos 2 ωt. Определить максимальную скорость точки.

Собственные незатухающие колебания

6.35

Определить период колебаний шарика, подвешенного на нити длиной A = 20 см, если он находится в жидкости, плотность которой в 3 раза меньше плотности шарика. Сопротивлением жидкости пренебречь.

6.36

Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами ω1 и ω2. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно I1 и I2. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?

6.37

Через диск радиусом R и массой М проходит ось, перпендикулярно плоскости диска, на расстоянии r от его центра. С каким периодом должен колебаться диск относительно заданной оси?

6.38

Материальная точка с массой m = 25 г совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и частотой ν = 1 Гц. Определить кинетическую энергию и действующую на нее силу в тот момент, когда ее смещение от положения равновесия составляет x = 5 см?

6.39

Математический маятник, состоящий из нити длиной A = 0,5 м и свинцового шарика с массой m = 50 г, совершает гармонические колебания с амплитудой x0 = 5 см. Определить скорость шарика при прохождении им положения равновесия и максимальное значение возвращающей силы.

6.40

Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень с массой m длиной A. Определить частоту колебаний маятника, если точка подвеса находится на расстоянии x от центра масс. Момент инерции стержня относительно середины I = m l 2/12.

6.41

Найти амплитуду, период и фазу гармонических колебаний материальной точки в тот момент, когда ее смещение равно x = 10 см, скорость v = 10 см/с и ускорение а = 10 см/c2.

6.42

Тонкий однородный стержень длины A = 40 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Стержень отклонили на угол α0 = 0,01 рад и в момент времени t = 0 отпустили. Считая колебания малыми, запишите уравнение движения α(t). Момент инерции стержня относительно центра тяжести стержня

I = m l 2/12.

6.43

Коэффициент жесткости пружины k = 10 Н/см, а масса груза m = 1 кг. Каковы были начальные значения смещения и скорости груза, если амплитуда колебаний A = 5 см, а начальная фаза ϕ0 = 60°?

6.44

Два математических маятника имеют одинаковые массы и колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. Длина первого маят-

ника A1 в 2 раза больше длины второго маятника A2. Определить, какой из маятников обладает большей энергией и во сколько раз.

6.45

Два незакрепленных шарика с массами m1 и m2, лежащих на гладкой поверхности, соединены друг с другом невесомой пружиной с коэффициентом упругости k. Определить период колебаний шаров относительно центра тяжести системы, если вывести ее из состояния равновесия.

6.46

Материальная точка с массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х = А sin ωt, где А = 0,2 м, ω = 8 рад/с. Найти возвращающую силу F в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию Е точки.

6.47

Маятник подвешен на резине, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Масса маятника — m, коэффициент упругости резины — k. Определить период горизонтальных гармонических колебаний маятника.

6.48

Пустая стеклянная, запаянная с обоих концов, трубка опущена в жидкость в вертикальном положении так, что часть трубки находится над ее поверхностью. Вычислить период малых колебаний трубки, если ей сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса трубки m = 50 г, радиус трубки R = 3,2 мм, плотность жидкости ρ = 1 г/см3. Сопротивлением жидкости пренебречь.

6.49

Частица с массой m может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом упругости k. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу F, которая действовала в течение τ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний х (t). Исследовать возможные случаи.

6.50

Стержень длиной A = 40 см колеблется около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого маятника.

6.51

Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

6.52

Уравнение колебания материальной точки x = 5 sin 4t. Определить максимальную величину возвращающей силы, а также кинетическую энергию точки, если ее масса m = 0,4 г.

6.53

Диск радиуса R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту ν колебаний такого физического маятника.

6.54

Точка совершает гармонические колебания х = А sin ωt, где А = 5 см, ω = 2 рад/с. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила F = 5 мН, точка обладала потенциальной энергией U = 0,1 мДж. Найти этот момент времени t.

6.55

Материальная точка с массой m = 0,1 г колеблется согласно уравнению x = А sin ωt, где А = 5 см, ω = 20 рад/с. Определить максимальные значения возвращающей силы F и кинетической энергии Т точки.

Затухающие колебания

6.56

Точка совершает затухающие колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени t, если в момент t0 = 0 смещение точки х (0) = 0 и проекция

еескорости vx (0) = v0.

6.57

Имеются два затухающих колебания с известными периодами Т

и коэффициентами затухания β: Т1 = 0,1 мс, β1 = 100 с–1 и Т2 = 10 мс, β2 = 10 с–1. Во сколько раз отличаются их логарифмические декременты затухания?

6.58

К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на x = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик,

если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания λ = 3,1.

6.59

Уравнение затухающих колебаний дано в виде х = 5 е–0,25t sin πt/2, м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени: 0, Т, 2Т, 3Т и 4Т.

6.60

Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания, равным λ = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

6.61

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 мин?

6.62

Математический маятник длиной A = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на х1 = 5 см, а при втором — на х2= 4 см. Найти время релаксации.

6.63

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы груз возвращался в положение равновесия апериодически?

6.64

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника A = 1 м.

6.65

Математический маятник длиной A = 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значениях логарифмического декремента затухания λ1 = 0,01 и λ2 = 1.

6.66

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на A = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы логарифмический декремент затухания λ = 6?

6.67

Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой ν = 600 Гц уменьшится в n = 106 раз, если логарифмический декремент затухания равен 0,0008?

6.68

Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания λ1 = 1,5. Каким будет значение λ2, если коэффициент сопротивления среды увеличить в n = 2 раза? Во сколько раз следует увеличить коэффициент сопротивления среды, чтобы колебания стали невозможными?

6.69

Логарифмический декремент затухания математического маятника λ = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

6.70

Найти логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза. Длина маятника A = 1 м.

6.71

За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз. Найти коэффициент затухания.

6.72

За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз. За какое время t амплитуда уменьшится в е раз?

6.73

За время t = 100 с система совершает n = 100 колебаний. За это же время амплитуда колебаний А уменьшается в 2,7 раз. Чему равен коэффициент затухания?

6.74

Построить график затухающих колебаний х = е–0,1t sin πt/4.

6.75

Зависимость координаты свободных затухающих колебаний от времени x = A0e−βt cos(ωt + ϕ0 ) . Найти амплитуду и начальную фазу колебаний для начальных условий x(0) = 0, v(0) = v0 .

6.76

Период затухающих колебаний T = 4 с, логарифмический декремент затухания λ = 1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = T/4 равно x = 4,5 см. Записать уравнение движения. По-

строить график этого колебательного движения в пределах двух периодов.

6.77

Чему равен логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за одну минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника A = 2 м.

6.78

Логарифмический декремент затухания математического маятника λ = 0,2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

6.79

Маятник теряет за период колебаний 9 % энергии. На сколько процентов его частота отличается от собственной частоты колеба-

ний ω0?

6.80

Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника λ = 0,01. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

6.81

Определить логарифмический декремент затухания математического маятника длиной A = 50 см, если за время t = 8 мин он теряет 99 % своей энергии.

6.82

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за две минуты уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за три минуты?

6.83

Затухающие колебания точки описываются уравнением x = A0 e–βt sin ωt.

Найти скорость точки в момент t = 0.

6.84

Затухающие колебания точки описываются уравнением x = A0 e–βt sin ωt.

Найти моменты времени, когда точка достигает крайних положений.

6.85

Крутильные колебания тел описывается уравнением ϕ = ϕ0 e–βt cos ωt.

Найти угловую скорость тела в момент t = 0.