fizika
.pdf5.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси... |
301 |
щения. Более полные таблицы моментов инерции таких тел можно найти в справочниках по математике и физике.
Таблица моментов инерции некоторых тел
Название |
Ось |
Момент |
|
|
инерции |
Тонкий стержень длиной L |
Проходит перпендикулярно |
(1/12)mL2 |
|
стержню через его середину |
|
Сплошной цилиндр (диск) |
Совпадает с осью цилиндра |
(1/2)mR2 |
радиуса R |
|
|
Цилиндрическая поверхность |
Совпадает с осью цилиндра |
mR2 |
радиуса R |
|
|
Шар радиуса R |
Проходит через центр шара |
(2/5)mR2 |
Задача 5.9 |
|
|
|
|
|
|
|
На однородный сплошной цилинд- |
|
z |
G |
|
|
||
рический вал радиусом R = 1 м намота- |
O RG |
|
|
|
|||
на легкая нить, к концу которой прикре- |
G |
K` |
нить |
||||
плен груз массой m = 10 кг. Груз, разма- |
|
T ` |
aGμ |
||||
|
aGμ |
||||||
тывая нить, опускается с ускорением a = |
TG |
PG` |
|
m`gG |
|||
1 м/с2. Определить: 1) момент инерции |
|
G |
|
||||
вала относительно оси, совпадающей с |
|
|
|
|
|||
|
G |
K |
|
|
|||
осью цилиндра, 2) массу вала mв. |
|
|
|
|
|
||
|
y |
P mgG |
|
|
|
||
Дано: m = 10 кг; R = 1 м; а = 1 м/с2; |
|
|
|
|
|
||
g = 10 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти: I, mв. |
|
|
|
|
|
|
|
Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме |
|||||||
G |
G |
G |
|
|
|
|
(1) |
ma |
= P + T . |
|
|
|
|
||
Спроектируем векторное уравнение на ось у |
|
|
|
|
|||
ma = mg − T . |
|
|
|
|
(2) |
||
Запишем второй закон Ньютона для вращательного движения вала |
|||||||
в скалярной форме |
|
|
|
|
|
|
|
M = I ε . |
|
|
|
|
(3) |
||
Рассмотрим моменты всех сил, приложенных к валу относитель- |
|||||||
но точки О. Единственной силой, вращающей вал вокруг оси, явля- |
|||||||
ется сила T ', приложенная к валу со стороны веревки. Линии дейст- |
302 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
вия силы тяжести вала и силы реакции оси вала (на рис. не показаны) проходят через точку О. Следовательно, моменты этих сил равны нулю. По определению модуль момента силы T ' равен
M = T ′R . |
(4) |
Найдем связь между силами, приложенными к валу T ' и телу T, со стороны нити. Запишем второй закон Ньютона для нити массой m' (см. рис.)
(5)
где KG и KG′ — силы, действующие на нить со стороны тела и вала. По третьему закону Ньютона
K = T , |
|
(6) |
K ′ = T ′ . |
|
|
Предполагаем, что нить невесома. Тогда (5) |
|
|
0 = KG + KG |
′ . |
|
и, следовательно, |
|
|
K = K ′ |
|
(7) |
Из (6) и (7) получаем |
|
|
T ′ = T . |
|
(8) |
Подставляя (8) в (4), имеем |
|
|
TR = I ε . |
(9) |
Выражая T из (9) и подставляя в (2), определяем момент инерции вала I
I = |
TR |
= |
m(g − a)R |
. |
(10) |
ε |
|
||||
|
|
ε |
|
Предполагаем, что нить нерастяжима. Тогда модуль тангенциального ускорения нити на криволинейном участке должен равняться
модулю ускорения нити на прямолинейном участке, т. е. |
|
||
aτ = a . |
(11) |
||
Так как |
|
||
ε = |
aτ |
, |
(12) |
|
|||
|
R |
|
где aτ — модуль тангенциального ускорения нити при ее движении по валу, то подставляя (11) и (12) в (10), получаем
5.5. Закон сохранения момента импульса системы твердых тел... |
|
303 |
||||||
I = |
m(g − a)R |
= |
m(g − a)R2 |
= mR2 ( |
g |
− 1) . |
(13) |
|
ε |
a |
a |
||||||
|
|
|
|
|
Момент инерции сплошного цилиндрического вала (цилиндра)
относительно его оси (задача 5.6, выражение 6) равен |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
m R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
. |
|
|
|
|
|
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим (14) в (13) и выразим массу вала mв |
|
|||||||||||||||||||||||||
mв = |
|
2I |
|
= |
|
2mR2 |
( |
g |
|
− 1) |
= 2m( |
g |
− 1) . |
(15) |
||||||||||||
|
R2 |
|
R2 |
a |
a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем численные значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I = mR2 ( |
g |
− 1) = 10 12 |
10 |
|
− 1) = 90 кг · м2, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||
mв = 2m( |
|
− 1) = |
2 10( |
|
|
− 1) = 180 кг. |
|
|||||||||||||||||||
a |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: I = mR2 ( |
g |
|
− 1) = 90 кг · м2, mв = 2m( |
g |
|
− 1) = 180 кг. |
|
|||||||||||||||||||
a |
a |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ИХ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Рассмотрим систему, состоящую из двух твердых тел. Тогда согласно (4.20) G G G
G G G L = L1 + L2 и Lz = L1z + L2 z ,
где L1 , L2 и L — моменты импульса, а L1z , L2 z и Lz — проекции моментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвижную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23)
dLz
dt
Здесь M zвнеш — сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (4.27)
M zвнеш = 0 ,
304 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
то имеет место закон сохранения проекции момента импульса системы твердых тел,
L1z (t) + L2 z (t) = L1z (t′) + L2 z (t′) , |
(5.42) |
где t и t′ — два произвольных момента времени. Если в эти моменты времени тела системы совершают только вращательное движение относительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно
представить в виде (5.25)
L1z (t) = I1 (t)ω1z (t) , L2 z (t) = I2 (t)ω2 z (t) , L1z (t′) = I1 (t′)ω1z (t′) , L2 z (t′) = I2 (t′)ω2 z (t′) .
Тогда из (5.42) следует
I1 (t)ω1z (t) + I2 (t)ω2 z (t) = I1 (t′)ω1z (t′) + I2 (t′)ω2 z (t′) ,
где I1 , I2 , ω1z ,ω2 z — моменты инерции и проекции вектора угловой скорости на ось z первого и второго тела в моменты времени t и t′ . Обобщим полученное выражение на систему, состоящую из произвольного числа совершающих вращательное движение тел и частиц:
Если M zвнеш = 0 , то Iω z = const или
I (t)ω z (t) = I (t′)ω z (t′) . |
(5.43) |
Здесь I — момент инерции системы твердых тел. Отметим, что в промежутке времени между t и t′ тела системы могут совершать более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвижной оси.
Вопросы и задания для самопроверки
1.Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы частиц.
2.Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижной оси.
3.Можно ли применять закон сохранения момента импульса, если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся только к вращению вокруг неподвижной оси?
5.5. Закон сохранения момента импульса системы твердых тел... |
305 |
Примеры решения задач
Задача 5.10
Горизонтальная платформа массой М = 50 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой ν1 =12 мин–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить частоту ν2 вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 6,2 кг · м2 до I2 = 1 кг · м2.
Дано: M = 50 кг; R = 1 м; |
|
|
z |
|
ν1 =12 мин–1 = 0,2 с–1. I1 = 6,2 · м2; |
G |
|
|
|
I2 = 1 кг · м2. |
|
ν1 |
|
|
Найти: ν2. |
Ω1 κ |
|
|
M |
Дана система, состоящяя из несколь- |
G |
|
|
|
ких твердых тел: платформа, человек, |
κ |
ν2 |
|
|
гири. На эти твердые тела действуют |
Ω2 |
|
|
|
|
|
|
M |
|
внешние силы: силы тяжести и силы со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стороны оси, на которой держится плат- |
|
|
|
R |
форма. Все внешние силы или параллель- |
|
|
|
|
ны или антипараллельны оси z. Из (5.10) |
|
|
|
|
следует, что проекция момента любой силы на ось z |
|
|
||
M z = xFy − yFx , |
|
|
|
(1) |
т. е. зависит только от компонент силы, действующих в плоскости XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z
M z = 0 . |
(2) |
Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и
L(t) = L(t′) , |
(3) |
где L(t) и L(t′) — сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а t' конечным моментами времени, то моменты импульса платформы L1 и человека с гирями L2 (когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси), соответственно равны (5.25)
L1(t) = Ipω1, L1(t' ) = I1ω1 , |
(4) |
L2(t) = Ipω2, L2(t' ) = I2ω2, |
(5) |
306 |
Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА |
где ω1, I1 и ω2,I2 — круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени, Ip — момент инерции платформы. Подставляя (4) и (5) в (3) с учетом равенств
|
|
ω1 = 2πν1 , |
(6) |
||
|
ω2 = 2πν2 , |
(7) |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
I p 2πν1 + I1 2πν1 = I p 2πν2 + I2 2πν2 |
(8) |
||||
или |
|
|
|
|
|
(I p + I1 )ν1 |
= (I p + I2 )ν2 . |
(9) |
|||
Выражая из уравнения (9) ν2, имеем |
|
||||
ν |
|
= |
I p + I1 |
ν . |
(10) |
2 |
|
||||
|
|
1 |
|
||
|
|
|
I p + I2 |
|
Так как платформа — диск, то момент инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоско-
сти платформы (задача 5.6, выражение 6), равен |
|
|||||||||
|
I p |
= |
MR2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
|
|
|
(11) |
||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя (11) в (10), находим ν2 |
|
|
|
|
||||||
|
I p + I1 |
|
|
|
MR2 |
+ I |
|
|
|
|
ν2 = |
ν1 |
= |
|
2 |
1 |
ν1 . |
(12) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
I p + I2 |
MR2 |
+ I |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя данные условия задачи, определяем численное зна-
чение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 12 |
+ 6, 2 |
|
31, 2 |
|
|
|
|
|
ν2 |
= |
|
2 |
|
0, 2 = |
0, 2 |
= 0, 24 c–1. |
||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
50 1 + 1 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
MR2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ I |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ν |
|
= |
|
2 |
|
1 |
n = 0, 24 c–1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
MR2 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
+ I2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
308 |
|
Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА |
|
I |
dω z |
= M z . |
|
dt |
|||
|
|
Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобразуем его к виду
Idω z = M z dt .
Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения проекции вектора угловой скорости на ось z
dϕ
ωz = dtz ,
имеем |
|
|
|
|
|
|
dϕ z |
|
|
|
|
dA = Iω |
dω |
|
= M |
ω |
dt = M |
|
dt = M |
dϕ |
. |
(5.46) |
|
|
z dt |
||||||||||
z |
|
z |
z |
z |
|
z |
Gz |
|
|
Обычно направление оси z выбирают так, что ϕ ↑↑ OZ . Тогда
dϕ z = dϕ и работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол равна
ϕ |
|
A = ∫ M z dϕ . |
(5.47) |
0 |
|
С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетической энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во-
круг неподвижной оси, то (5.44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = T − T = |
Iω |
2 |
− |
Iω |
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
, |
(5.48) |
|||
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Т1 и ω1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т2 и ω2 — в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с переменными моментами инерции. Тогда работа всех сил, действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения
A = ∑T2i |
− ∑T1i |
= ∑ |
I |
2i |
ω |
2 |
− ∑ |
I |
ω |
2 |
|
|
|
|
2i |
1i |
1i |
|
, |
(5.49) |
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
i |
i |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
где T1i , ω1i и I1i — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, а T2i , ω2i и I2i — в конечный моменты времени.
310 |
Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА |
|
приложена сила тяжести MgG , сила реакции опоры QG |
со стороны |
оси на которую насажен диск, сила трения FGтр′ и сила давления WG
со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформыG и человека. Тогда внешними силами являются MgG , mgG и Q . Выберем ось z вдоль оси вращения. При таком выборе все внешние силы направлены вдоль оси z и их проекцииG на оси x и y равны нулю. Так как проекция момента любой силы F на ось z зависит только от Fx и Fy (5.10)
M z = xFy − yFx , |
(1) |
то, очевидно, все M z = 0 и суммарный внешнийG момент M zвнеш = 0. Более того, для данной задачи MgG + mgG + Q = 0 , так как вдоль оси z система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, имеет место закон сохранения момента импульса системы тел при вращательном движении относительно неподвижной оси (5.43) и
I1 (t)ω1z (t) + I2 (t)ω2 z (t) = I1 (t′)ω1z (t′) + I2 (t′)ω2 z (t′) , |
(2) |
где t и t' — начальный момент времени, когда человек находится на краю платформы, и конечный момент времени, когда человек находится в центре. I1(t) = I1(t' ) = I1 = MR 2/2 — момент инерции платформы (диска), I2(t) = mR 2 — момент инерции человека в начальный момент времени, I2(t' ) = 0 — момент инерции человека в конечный момент времени, ω1z (t) = ω2 z (t) = ω — начальная частота вращения системы «человек + платформа», ω1z (t′) = ω2 z (t′) = ω′ — конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции векторов угловой скорости ω z тел системы в начальный и конечный момент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора параллельны оси z. Таким образом, имеем равенство
(I1 + I2 )ω = I1ω′ . |
(3) |
По определению |
|
ω = 2πν , |
(4) |
ω′ = 2πν′ . |
(5) |
Подставляя (4) и (5) в (3), имеем |
|
(I1 + I2 )2πν = I1 2πν′ . |
(6) |
Выражая из (6) ν′ , получаем равенство |
|