fizika

Уравнение (5.27) называется основным уравнением вращательного движения или вторым законом Ньютона для вращательного движения. В отличие от поступательного при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси одинаковыми являются только угловые характеристики движения всех точек. Следовательно, кинематика вращательного движения тела совпадает с кинематикой вращательного движения точки. Поэтому

Непрерывная система частиц

Во многих случаях удобнее рассматривать твердое тело как непрерывную среду. Для этого твердое тело мысленно разбивают на бесконечно малые частицы с бесконечно малой массой dm. Заменяя в уравнении (5.24) Ii → dI и mi → dm , получаем определение бесконечно малого момента инерции бесконечно малой массы dm в виде (рис. 5.5)

где R — расстояние от бесконечно малой частицы до оси вращения. Тогда для нахождения момента инерции непрерывной системы частиц

Непрерывное распределение массы в пространствеG в общем случае характеризуется объемной плотностью ρ(r ) , которая определяется как отношение бесконечно малой массы тела dm к бесконечно ма-

Так же, как и плотность тела ρ(rG) , расстояние от любой точки телаG до оси вращения зависит от радиус-вектора этой точки, т. е. R = R(r ) .

Из (5.35) и (5.33) получаем выражение для определения массы тела и его момента инерции относительно некоторой неподвижной оси

Если интегрирование происходит по объему тела, то интеграл называется объемным. Он достаточно легко вычисляется, когда подынтегральное выражение и тело, по объему которого производится интегрирование, обладают какимлибо типом симметрии: плоской, осевой, цилиндрической или сферической. В этих случаях объемный интеграл легко сводится к определенному интегралу. Отметим, что момент инерции — величина аддитивная (как и масса). Это означает, что момент инерции тела относительно любой оси всегда равен сумме моментов инерции относительно этой же оси его частей. Момент инерции величина неотрицательная.

i

где IC – момент инерции относительно произвольной точки оси z′ , проходящей через центр масс тела. Из (4.29, 4.35) следует, что

центра масс системы, рассчитанный в системе отсчета, связанной с центром масс, т. е. в Ц-системе. Разложим радиус-вектор центра масс системы и все радиус-векторы точек системы на сумму двух взаимно перпендикулярных векторов: параллельных оси z и лежащих в плоскости, перпендикулярной оси z.

Если сумма двух взаимно перпендикулярных векторов равна нулю, то и каждый из этих векторов равенG нулю. Следовательно,

∑mi Ri′ = 0 .

Вопросы и задания для самопроверки

1.Линейные или угловые скорости являются одинаковыми для всех частиц системы при ее вращении относительно неподвижной оси?

2.Как связаны между собой вектор линейной скорости частицы

ивектор ее угловой скорости?

3.Как связаны между собой вектор момента импульса частицы и вектор ее угловой скорости при вращательном движении вокруг неподвижной оси?

4.Дайте определение момента инерции частицы и системы частиц.

5.В каких единицах измеряется момент инерции?

6.Запишите второй закон Ньютона и основное уравнение вращательного движения.

7.Сформулируйте теорему Штейнера.

Примеры решения задач

Задача 5.4

Определить момент инерции прямоугольной пластины длиной L, шириной b и массой m относительно оси, параллельной ее боковой стороне и: 1) проходящей через боковую сторону, 2) проходящей через середину пластины (центр масс).

Дано: m — масса пластины; L — длина пластины; b — ширина пластины.

Найти: I — момент инерции пластины (стержня).

Площадь сплошной однородной прямоугольной пластинки и ее

Направим ось х вдоль стороны пластинки, длина которой L. Рассмотрим часть пластинки в виде бесконечно тонкой полоски, параллельной оси Оу и расположенной на расстоянии х от нее (рис. а). Ширина полоски бесконечно мала и равна dx. Тогда площадь ds и масса dm этой бесконечно тонкой полоски

Все точки бесконечно тонкой полоски пластины находятся на одинаковом расстоянии от оси у. Следовательно, момент инерции бес-

Момент инерции всей пластинки относительно оси равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тонких полосок, на которые можно разрезать пластинку. Тогда получаем (5.37)

Если рассчитать момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через середину пластинки (рис. б) вдоль оси у, то

Очевидно, что момент инерции не зависит от ширины пластинки b. Следовательно, результат справедлив и для пластинки с бесконечно малой шириной, т.е. для стержня длиной L и массой m. Еще раз подчеркнем: момент инерции любого тела можно определить только тогда, когда известно, относительно какой оси он должен рассчитываться.

Здесь ds = 2πrdr — площадь заштрихованного кольца. Так как все точки бесконечно тонкого цилиндрического слоя находятся на одном и том же расстоянии r от оси, то бесконечно малый момент инерции этого слоя равен

Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр параллельно направляющим, равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тонких цилиндрических слоев, на которые можно разрезать сплошной цилиндр. Расстояние r от произвольного слоя до оси изменяется от 0 до R. Тогда получаем (5.37)

Так как результат не зависит от высоты цилиндра, то он справедлив и для любого диска радиусом R, массой m.

Найти: I — момент инерции шара. Так как ось проходит через центр сим-

метрии шара, то I = IC. Направим оси x и y так, как показано на рисунке. Выделим

бесконечно тонкий диск, вырезаемый двумя параллельными плоскостями, отстоящими от центра шара C на расстоянии y и y + dy. Пренебрегая краевыми эффектами, будем считать, что бесконечно малый объем и бесконечно малая масса такого диска

где ρ — плотность шара, πx2 — площадь круга, радиусом x. В задаче 5.5 рассчитан момент инерции диска относительно этой же оси

где m и R — масса и радиус диска. Сделаем в этом выражении следующие замены:

Тогда получаем выражения для момента инерции бесконечно тонкого диска, находящегося на расстоянии y от центра шара

Момент инерции шара равен сумме моментов инерции бесконечно тонких дисков, на которые можно разбить шар, расстояния y от диска до центра шара изменяются от –R до R. Так как таких дисков — бесконечное множество, то вместо суммирования моментов инерции надо производить их интегрирование. Проинтегируем выражение (4)

В задаче 5.4 вычислен момент инерции однородного стержня исходя из определения момента инерции. Рассмотрим эту же задачу с использованием теоремы Штейнера. По теореме (5.41) момент инер-

Центр масс стержня находится в центре его симметрии, т. е. в середине. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню (задача 5.4, выражение 7)

Расстояние между осью вращения и параллельной ей осью вра-

Составим таблицу из полученных нами значений моментов инерции некоторых тел. Все рассмотренные тела являются фигурами вра-