fizika

ределенную точку пространства. Модуль центральной силы зависит только от расстояния между этой точкой и центром масс тела. Примеры центральных сил — сила тяготения, кулоновские силы притяжения и отталкивания, упругие силы пружины, закрепленной с одного конца.

Покажем, что центральные силы также являются консерватив-

на радиус-векторе, т. е. dS cosα = dr (см. рис).

Согласно определению центральной силы ее модуль зависит только от величины радиус-вектора: F = F(r) G. ПоэтомуG элементарная работа определяется соотношением dA = (F, dS) = F(r)dr . Работа центральной силы между начальным (1) и конечным (2) положениями тела в пространстве выразится через определенный интеграл

1r1

где Ф(r) — первообразная функции F(r). Согласно (3.33) значение работы A12 зависит только от расстояний r1 и r2, но не зависит от формы траектории, по которой тело переходит из положения 1 в положение 2. Следовательно, сила тяжести и все центральные силы являются консервативными. Можно дать другое, эквивалентное приведенному выше определению консервативных сил: работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел

Если в системе действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Пусть тело массой m находит-

ся в гравитационном поле Земли, масса которой M. Сила взаимодействия между ними определяется законом Всемирного тяготения

F(r) = G Mmr2 ,

где G = 6,6745 (8) 10–11 м3/(кг с2) — гравитационная постоянная; r — расстояние между их центрами масс. Подставляя выражение для гравитационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-вектором r1 в точку с радиус-вектором r2

для различных значений расстояний r1 и r2. В последней формуле C — произвольная константа.

Если тело приближается к Земле, которая считается неподвижной, то r2 < r1, 1/ r2 – 1/ r1 > 0 и A12 > 0, U(r1) > U(r2). В этом случае сила тяжести совершает положительную работу. Тело переходит из некоторого начального состояния, которое характеризуется значением U(r1) функции (3.36), в конечное, с меньшим значением U(r2).

Если же тело удаляется от Земли, то r2 > r1, 1/ r2 – 1/ r1 < 0 и A12 < 0, U(r1) < U(r2), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.

Функция U = U(r) является математическим выражением способности гравитационных сил, действующих в системе, совершать работу и согласно данному выше определению представляет собой потенциальную энергию.

Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тяготением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела. Однако при рассмотрении двух или большего числа тел одно из них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся относительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижного тела.

Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Последнее определяет значение константы в формуле (3.36).

Так, если считать, что U(∞) = 0, то формула (3.36) принимает вид

U (r) = −G Mmr .

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует поверхности Земли, т. е. U(R ) = 0, где R – радиус Земли. Запишем формулу (3.36) для потенциальной энергии при нахождении тела на вы-

h над поверхностью Земли.

В приближении h R получаем известное выражение для потенциальной энергии, если тело находится на небольшой высоте h над

где g = G RM2 — ускорение свободного падения тела вблизи Земли.

В выражении (3.38) принята более удобная запись: U (R + h) = U (h). Из него видно, что потенциальная энергия равна работе, которую совершает гравитационная сила при перемещении тела с высоты h над

Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню потенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выражение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотрения второе тело — Землю.

Пусть тело массой m находится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высоте h над этой поверхностью, к телу необходимо приложить внешнюю силу, противоположно направленную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по модулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется следующим соотношением:

или

A′ = GMm h . R(R + h)

Последнее равенство в приближении h R принимает вид

A′ = GMm Rh2 = G RM2 mh = mgh .

Последнее позволяет считать, что работа внешней силы приводит к созданию «запаса» работы и увеличению потенциальной энергии. Работа внутренних сил уменьшает потенциальную энергию и тратит «запас» работы, созданный внешней силой.

Потенциальная энергия идеальной деформированной пружины и закрепленного на ней тела

Пусть идеальная пружина длиной R в недеформированном состоянии закреплена с одного конца, а на другом находится тело. Пружина не имеет массы и подчиняется закону Гука. В отсутствие деформации ее незакрепленный конец может находиться в любой точке поверхности сферы радиусом R. Если же пружина деформирована, то положение ее незакрепленного конца при растяжении располагается вне сферической поверхности, и внутри — при сжатии. При дальнейшем рассмотрении считается, что на тело действует только упругая сила, и сила тяжести тела не учитывается.

Деформация пружины может быть осуществлена только при наличии внешней силы. Приложение внешней силы к незакрепленному концу пружины (телу) сопровождается возникновением противо-

формации, вектор удлинения пружины относительно ее недеформированного состояния (вектор, соединяющий незакрепленный конец пружины в недеформированном и деформированном состояниях).

При любом положении незакрепленного конца пружины (тела) в пространстве сила упругости при ее растяжении направлена к точке закрепления пружины, а при сжатии — в противоположную сторону, но всегда вдоль прямой, соединяющей тело и точку закрепления. Согласно соотношению (3.39) сила упругости зависит от расстояния между незакрепленным концом пружины в недеформированном и деформированном состояниях, т. е. F = F(r), и для вычисления работы упругой силы применима формула (3.33). Следовательно, сила упругости — центральная, ее работа не зависит от формы траектории перемещения в пространстве незакрепленного конца пружины (тела).

Таким образом, при нахождении тела в любой точке пространства, кроме поверхности сферы радиусом R с центром в точке закрепления пружины (R — длина недеформированной пружины), на него действует центральная упругая сила. Вместо введенной выше модели тела на упругой пружине можно просто рассматривать тело в центральном поле (3.39) и использовать для интерпретации результаты, полученные при рассмотрении тела в гравитационном поле Земли.

Действительно, подставляя упругую силу (3.38) в формулу (3.33), найдем работу этой силы при переходе тела из одного (r1) положения в другое (r2)

для различных значений r1 и r2 положения тела в упругом поле. C — произвольная константа. Функция U = U(r) — потенциальная энергия пружины и тела (не пружины, как обычно считается, а именно пружины + тела!).

Если пружина сжимается, то r2 < r1 и A12 > 0, U(r1) > U(r2). В этом случае упругая сила совершает положительную работу. Пружина переходит из более деформированного состояния, которое характеризуется значением функции U(r1), в менее деформированное, с меньшим значением U(r2) этой функции.

Если же пружина растягивается, то r2 > r1, A12 < 0, U(r1) < U(r2) и упругая сила совершает отрицательную работу.

Значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Обычно полагают, что потенциальная энергия, соответствующая недеформированной пружине, равна нулю, т. е. U(0) = 0, формула (3.40) принимает вид

U (r) = kr22 .

Именно об этом значении потенциальной энергии обычно и не совсем правильно говорят как о потенциальной энергии пружины.

В системе тел, в которой действуют только силы тяжести или упругие силы, всякая работа сил связана с изменением их конфигурации, т. е. взаимного расположения тел. Если действующие в системе силы совершают положительную работу, то конфигурация при этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы совершать работу окажется исчерпанной. Так, сила тяжести тела, поднятого на некоторую высоту, двигаясь по произвольной криволинейной траектории, совершает положительную работу до тех пор, пока не окажется в ее нижней точке и не сможет более совершать работу (задача 3.4). Если сила упругости предварительно растянутой пружины совершает положительную работу, то она сокращается до конфигурации, соответствующей недеформированной длине пружины (задача 3.5). Таким образом, поднятое тело и растянутая (сжатая) пружина обладают ограниченным «запасом» работы, которую они могут совершить, переходя в конечное состояние. Величина этого «запаса» работы определяется начальным положением тела в пространстве или начальным растяжением (сжатием) пружины, т. е. их начальными конфигурациями.

Отметим, что «наинизшая» конфигурация для силы тяжести не может быть определена так же естественно, как для пружины. Для пружины и вообще для упругих сил «наинизшей» конфигурацией является состояние, в котором деформация отсутствует. Для поднятого тела «наинизшим» положением может быть любой уровень: пола, земли и т. д. Уровень, относительно которого отсчитывается потенциальная энергия, если тело поднято на некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Представляет интерес не абсолютная величина потенциальной энергии, а лишь ее изменение относительно некоторого уровня.

Всякий раз, когда силы, действующие в системе, совершают положительную работу, происходят такие изменения конфигурации, при которых потенциальная энергия системы уменьшается. Наоборот, если силы, действующие в системе, совершают отрицательную работу, то конфигурация изменяется так, что потенциальная энергия возрастает. Для того чтобы силы, действующие в системе, совершали отрицательную работу, точки приложения сил должны перемещаться в направлении, противоположном действию сил. Этого можно достичь прикладывая к телам системы внешние силы. Тогда внешние силы совершают положительную работу, увеличивая потенциальную энергию системы.

Равновесное состояние системы

В системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, сопровождающиеся уменьшением потенциальной энергии. Состояние системы, в котором сумма действующих на тело сил равна нулю, представляет собой положение равновесия. В положении равновесия ускорение тела, согласно второму закону Ньютона, тоже равно нулю. Если к тому же тело неподвижно, т. е. его скорость равна нулю, то оно будет находиться в таком состоянии как угодно долго.

Рассмотрим вопрос о поведении потенциальной энергии вблизи положения равновесия для одномерного случая. Пусть какому-либо состоянию равновесия соответствуют значения координаты x = x1 и потенциальной энергии U = U(x1). При перемещении тела на расстояние dx, действующая на него внутренняя сила F в направлении x1 совершает работу

dA = F dx.

178 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Работа осуществляется за счет уменьшения потенциальной энергии системы, т. е.

dA = −dU = FdE → − dUdx = F .

Так как в положении равновесия (x = x1) действующая на тело сила

т. е. в положении равновесия потенциальная энергия достигает либо минимума либо максимума (точка перегиба не рассматривается, несмотря на то, что в ней также выполняется условие (3.41)).

При отклонении тела от положения равновесия возникает внутренняя сила F, направленная к равновесному положению и препятствующая значительному удалению тела от него. При отклонении тела от этого равновесного состояния сила совершает отрицательную работу и потенциальная энергия возрастает. Положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии.

Если же возникающая сила F направлена от положения равновесия, то при удалении тела от состояния, определенного условием (3.41), она совершает положительную работу и потенциальная энергия системы уменьшается. Значит, положению равновесия соответствует максимум потенциальной энергии, и тело не может сколько-нибудь длительное время находиться в состоянии, близком к состоянию равновесия. В первом случае состояние равновесия оказывается устойчивым, во втором — неустойчивым.

Таким образом, устойчивому состоянию равновесия соответствует минимум, а неустойчивому — максимум потенциальной энергии.

Так как максимум или минимум функции в точке экстремума определяется знаком второй производной в этой точке, то условиями устойчивого и неустойчивого равновесия системы являются следующие соотношения:

Всостоянии устойчивого равновесия конфигурация системы такова, что ее потенциальная энергия принимает минимальное значение. Иначе говоря, любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна. Последнее утверждение известно как принцип минимума потенциальной энергии.

Вобщем случае, если потенциальная энергия системы представляет собой функцию нескольких переменных, то математическое рассмотрение вопроса об устойчивости равновесного состояния значительно усложняется, хотя представленная выше качественная картина не изменяется.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте определение потенциальной энергии системы тел.

2.Обоснуйте утверждение: совершение силами, действующими в системе, положительной работы сопровождается изменениями конфигурации, приводящими к понижению потенциальной энергии.

3.Как изменяется потенциальная энергия системы, если действующие в ней силы совершают отрицательную работу?

4.Может ли потенциальная энергия тела, поднятого над землей, быть отрицательной?

5.Может ли потенциальная энергия упругой пружины быть отрицательной?

6.Обоснуйте утверждение: зависимость потенциальной энергии деформированной пружины от квадрата удлинения определяется законом Гука.

7.Изменятся ли изложенные выше количественные результаты

икачественные выводы, если предположение о пропорциональности между силой и удлинением пружины (закон Гука) не будет выполняться?

8.В чем состоит отличие между кинетической и потенциальной энергиями?

9.Всегда ли уменьшение потенциальной энергии системы сопровождается возникновением и возрастанием кинетической энергии?

10.Обоснуйте утверждение: в системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, сопровождающиеся уменьшением потенциальной энергии.

11.Дайте определение устойчивого и неустойчивого состояния равновесия.

12.Работу какого знака совершают внутренние силы, возникающие при отклонении системы от устойчивого (неустойчивого) положения равновесия?

13.Выведете математические условия для нахождения системы в состоянии устойчивого и неустойчивого равновесия.

Примеры решения задач

Задача 3.9

Если массу m1 = 3 кг тела, висящего на невесомой пружине, увеличить на m2 = 1 кг, то ее длина возрастает на L2 = 30 мм. Найти потенциальную U энергию пружины в конечном состоянии.

Дано: m1 = 5 кг; m2 = 1 кг; L2 = 30 мм. Найти: U.

Для решения задачи составим следующую систему уравнений с тремя неизвестными величинами: коэффициентом упругости пружины k, удлинением L2 пружины, возникающем в пружине под действием тела массой m2; потенциальной энергии пружины в конеч-