fizika

72

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Движение материальной точки (м. т.)

Z

всегда рассматривается относительно ка-

кого-либо другого тела, которое прини-

мается за неподвижное.

Тело, которое считается неподвижным

и по отношению к которому определяется

положение других тел, называется телом

отсчета.

Тело отсчета Y

Положение м. т. в пространстве опреде-

ляется с помощью системы координат X, Y,

X

Z, связанной с телом отсчета.

Рис. 1.1

74

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Z

Совокупность тела отсчета, жестко свя-

занной с ним системы координат и часов, об-

r

разует систему отсчета (рис. 1.1).

z = rz

Положение материальной точки в декар-

k

товой системе координат определяется че-

y = ry

x = rx i

j

Y

рез ее координаты x, y, z или радиус-вектор

G

r , проведенный в заданную точку из нача-

ла координат. Координаты х, у, z (рис 1.2.) —

X

есть проекции радиус-вектора rG

на оси ко-

Рис. 1.2

ординат

x = rx , y = ry , z = rz .

Радиус-вектор определяется через свои проекции

G

G

G

rG = r i + r

j + r k,

x

y

z

G

G

G

G

(1.1)

G G

G

r

= xi

+ yj

+ zk ,

где i, j,

k

— единичные векторы осей координат (рис. 1.2.)

Модуль вектора rG

в декартовой системе координат

rG

= r = r2

+ r2

+ r2

=

x2 + y2 + z2 .

(1.2)

x

y

z

x = x(t);

(1.3)

y = y(t);

z = z(t).

Средней скоростью называется вектор, равный отношению векто-

ра перемещения

rG

к промежутку времени t , в течение которого

произошло перемещение м. т.

r

υср =

.

Направление

G

t

υcp

, совпадает с направлением вектора перемеще-

G

G

G

ния r

, ( υcp ↑↑

r ) (рис 1.4).

средней скорости при стремлении

t к нулю

G

rG

drG

G

υ = lim

=

= r.

(1.4)

t

dt

t→0

Вектор перемещения drG направлен по секущей и при стремлении

t к нулю стремится к касательной в точке 1 (рисG

. 1.5 б).

Следовательно, вектор мгновенной скорости υ направлен по ка-

сательной в заданной точке траектории в сторону движения м. т.

Модуль мгновенной скорости определяется из соотношения

G

drG

ds

υ

= υ =

dt

=

dt

,

(1.5)

t2

s1,2

= ∫ υdt ,

(1.6)

ds

t1

s

где υ =

— путевая скорость, υcp

=

— средняя путевая скорость

dt

t

за время движения t.

С учетом соотношений (1.1)

G

drG

d

G

G

G

d

G

G

G

υ =

=

(rx i

+ ry j + rk ) =

(x i

+ y j

+ z k ) =

dt

dt

dt

(1.7)

G dx

G dy

G dz

G

G

G

= i

+ j

+ k

= υx i + υ y

j + υz k ,

dt

dt

dt

где υx =

dx

, υ y

=

dy

, υz

=

dz

— проекции скорости точки на оси

dt

dt

dt

1.4. Ускорение

77

Модуль вектора скорости в декартовой системе координат

G

2

2

2

(1.8)

υ = υ =

υx

+ υ y

+ υz .

1.4. УСКОРЕНИЕ

В процессе движения направление и мо-

а)

2

υ2

дуль вектора скорости м. т. могут изменять-

ся. Изменение вектора скорости определя-

υ1

Δυ

ется ускорением.

υ2

Ускорение материальной точки — век-

1

аср

торная величина, характеризующая быст-

б)

роту изменения вектора скорости с тече-

2

υ2

нием времени.

υ1

υ

По аналогии со средней и мгновенной

υ2

скоростью вводят понятие среднего и мгно-

1

а

венного ускорения. ПустьG

в момент време-

t→0

ни t1 м. т. имеет скорость υ , а в момент t2 —

Рис. 1.5

G

1

скорость υ2

(рис. 1.5). Тогда за промежуток

времени

t

= t

2

− t вектор скорости изме-

1

G

G

G

нится на величину

υ = υ2 − υ1

, а среднее ускорение

aG

G

=

υ .

(1.9)

cp

t

По направлению вектор среднего ускорения aG

, совпадает с век-

G

G

↑↑

G

cp

тором

υ(acp

υ) .

Мгновенное ускорение

G

G

2 G

G

d

G

G

υ

dυ

r

a = lim

=

=

(1.10)

t

dt

dt

2

= υ = r

,

G

G

t→0

где a

↑↑ dυ .

С учетом соотношений (1.1) и (1.7)

G

G

d

G

G

G

dυx

G

dυ y

G

dυz

G

G

G

G

=

dυ

=

+

+

a

dt

dt

(υx i

+ υ y j

+ υz k ) =

dt

i

dt

j

dt

k

= ax i + ay

j + az k ,

G

=

d

2 rG

=

d

2

G

+ y

G

G

=

d

2 x

G

d 2 y

G

+

d 2 z G

= a

G

G

+ a

G

, (1.11)

a

dt2

dt2

(x i

j

+ z k )

dt2

i +

dt

j

dt2

k

i + a

j

k

2

x

y

z

78

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

где a

=

dυ

x

=

d 2 x

,

a

=

dυ y

=

d 2 y

,

a

=

dυ

z

=

d 2 z

— проекции ус-

x

dt

dt2

y

dt

dt2

z

dt

dt2

aG =

ax2 + ay2 + az2 .

(1.12)

аτ

Вектор ускорения aG можно разложить на

υ1

2

υ2

два вектора aτ и an (рис. 1.6).

Составляющая ускорения, характеризую-

τ

а

щая изменение мгновенной скорости по вели-

чине, называется касательным (тангенциаль-

1

аn

О

ным) ускорением aGτ .

Составляющая ускорения, направленная к

Рис. 1.6

центру кривизны траектории и характеризую-

щая изменение вектора скорости по направле-

нию, называется нормальным ускорением aGn .

Вектор полного ускорения

aG = aG

+ aG ,

(1.13)

τ

n

а его модуль

a =

aτ2 + an2 .

(1.14)

Определим модули векторов

aG

и aG .

G

n

τ

Введем единичный вектор τ

, направленный по касательной к за-

данной точке траектории в сторону движения м. т. (рис. 1.6). Тогда

G

G

G

G

вектор мгновенной скорости υ = υ τ

(τ ↑↑ υ) .

Запишем мгновенное ускорение в виде

G

G

G

G

aK =

dυ

d(υ τ)

τ dυ

υ dτ

=

=

dt

+

dt

,

(1.15)

dt

dt

aGτ =

dυ

τG

,

а второе — нормальному

dt

dτG

aGn

= υ

,

(1.16)

dt

1.4. Ускорение

79

Вектор касательного ускорения мо-

D

G

A2

G

жет совпадать с вектором мгновенной

τ2

β

n

G

G

G

скорости (aτ ↑↑ υ) и может быть ему ан-

Gτ

G

G

G

1

dτ

R 2

типараллелен ( aτ

↑↓ υ ). В первом случае

R

движение будет ускоренным, а во вто-

Δφ

Gτ2

ром — замедленным.

A1

G

C

Рассмотрим перемещение матери-

R1

O

а

альной точки по траектории из точки

Gτ2

A1

в точку A2

(рис 1.7а). За малый инG-

β

nG

G

тервал времени dt

единичный вектор τ

Gτ1

GA2

dτ

в точке А2 равен

τG

=

τG

+ dτG,

dR

Δφ

2

1

A1

∆t →0 б

где τ1

— единичный вектор, опреде-

ляющийG

направление движения в точ-

Рис. 1.7

ке А1, dτ

— вектор изменения направ-

ления движения.

τG

dτG

Треугольник A DC , образованный векторами τG

,

и

, равно-

G1

=

G

=1. При dt → 0 , угол

1

2

бедренный, т. к. τ

τ

2

Δϕ между векторами

τG

и τG

1

уменьшается и стремится к нулю (рис. 1.7б), а угол β между

1

2

и dτG

увеличивается до 90°. Следовательно, вектор dτG

векторами τG

1

направлен по нормали к скорости. Так как aGn = υ dτG ,

то и вектор

aGn ↑↑ dτG, aGn τG.

dt

OA1

=

OA2

=

A1 A2

=

R1

=

R2

=

R .

(1.18)

A D

A C

CD

τ

τ

2

dτ

1

1

1

Учитывая, что при dt → 0

R = dR , R1 = R2

= R,

dτ =

dR

.

(1.19)

R

80

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Вектор dτG можно представить в виде dτG = nG dτ = n

dR

, где nG –

G

G

G R

единичный вектор, совпадающий с вектором dτ

( dτ ↑↑ n ) (рис. 1.7б).

Тогда вектор нормального ускорения

aGn =

nGυdR

= nG υ2 ,

(1.20)

Rdt

dR

R

где υ =

.

dt

Следовательно, модуль вектора нормального ускорения

an =

aGn

= υ2 .

(1.21)

R