fizika

при движении вверх до остановки оно проходит путь S = 3 м за время t1 = 0,8 с.

Дано: S = 3 м; t1 = 0,8 с; α = 45°. Найти: v0, а, μ.

Для решения задачи составим следующую систему уравнений:

Из уравнений (8), (9) найдем значения силы реакции

N = mg cosα

и силы трения

Fтр = μmg cosα.

Подставим полученные значения сил реакции и трения в соотно-

Из равенства (14) и (15) найдем коэффициент трения тела о по-

Подставляя (16) в (15) и (12), получим окончательные выражения для начальной скорости и ускорения тела

Примечание: задачу 3.14 можно решить, не используя закон сохранения энергии, рассматривая следующую систему уравнений:

ma = mg(sinα + μ cosα).

В этой системе первые два уравнения кинематические, третье — динамическое (второй закон Ньютона). Решите систему самостоятельно и получите результаты, представленные в ответе.

3.6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Замкнутая система

Закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. Для изолированного тела этот закон является очевидным следствием второго закона Ньютона: если на тело не действуют никакие силы, то его скорость, а значит, и импульс ос-

Такая матрица называется кососимметрической, так как все ее элементы симметричны относительно диагонали и отличаются знаком. Складывая эти элементы попарно, получим сумму всех членов

т. е. полная сумма всех сил в замкнутой системе равна нулю. Следовательно, для всякой замкнутой системы выполняется равенство

Последнее соотношение представляет собой закон сохранения импульса для замкнутой системы — полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная.

Незамкнутая система

Если система материальных тел не является замкнутой и на вхо-

дящие в нее тела действуют внешние силы Ф1 ,Ф2 …,Фn со стороны «внешних» тел, то импульс системы не является величиной постоянной. Система уравнений движения для всех тел имеет вид

Если теперь сложить все эти уравнения, то получим

то есть производная от полного импульса незамкнутой системы равна геометрической сумме всех внешних сил, т. е. полный импульс не сохраняется.

Поскольку уравнение (3.60) — векторное, то оно эквивалентно трем уравнениям для компонент импульса системы по трем координатным осям

ждой из координатных осей. Если сумма компонент всех внешних сил, действующих на систему, в каком-либо определенном направлении, например в направлении оси х, равна нулю, то для этого направления

Следовательно, компонента полного импульса системы в направлении, в котором не действуют внешние силы, есть величина постоянная, и в этом направлении незамкнутая система ведет себя как замкнутая. Согласно (3.60) полный импульс незамкнутой системы сохраняется, если действующая на нее результирующая внешняя сила равна нулю.

Отметим, что в микроскопическом мире атомов и молекул второй и третий законы Ньютона не выполняются, а законы сохранения энергии и импульса, что подтверждается многочисленными экспериментальными данными, продолжают выполняться. Именно поэтому считается, что законы сохранения имеют более общий характер и рассматриваются как более фундаментальные, чем законы Ньютона.

Поскольку импульсы первых двух частей направлены под прямым углом, то импульс третьего осколка может иметь направление и длину только, как представлено на рисунке, т. е. он должен лежать на продолжении диагонали прямоугольника и совпадать с ней по дли-

Углы между импульсами легко найти, используя следующие со-

3.7. СТОЛКНОВЕНИЯ ТЕЛ

Движение сталкивающихся тел может быть рассмотрено на основе законов Ньютона. Для этого необходимо знать силы, возникающие при контакте тел, и как они изменяются при соударении. Однако обычно представляет интерес конечный результат соударения, а не детали процесса, длящегося очень короткое время, и в большинстве случаев его можно представить как мгновенное изменение скоростей соударяющихся тел.

Так как два сталкивающихся тела, на которые не действуют силы со стороны других тел, представляют собой замкнутую систему, то к ним применимы законы сохранения импульса и энергии. Зная параметры движения тел до столкновения, и применяя законы сохранения, можно определить параметры движения тел после столкновения, не привлекая соображения о том, как происходит само столкновение.

Для иллюстрации рассмотрим центральный удар двух шаров. Удар называется центральным, если скорости сталкивающихся тел лежат на линии, соединяющей их центры тяжести.

Абсолютно неупругий удар

Удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми, называется абсолютно неупругим. После такого соударения тела не восстанавливают своей формы. Таким свойством обладают, например, мягкая глина, пластилин и многие другие пластичные тела. Случай абсолютно неупругого удара можно продемонстрировать при помощи пластилиновых шаров, подвешенных на нитях одинаковой длины. После удара шары будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

Если удар двух тел абсолютно неупругий, то требуется определить только их общую скорость после удараG .GПустьGмассы сталкивающихся тел m1 и m2, их скорости до удара v1 и v2 , а u — общая скорость после удара. Согласно закону

сохранения импульса импульс системы тел до столкновения равен импульсу образовавшегося тела массой (m1 + m2) после столкновения

(3.62)

Вектор его скорости после удара

uG = m1vG1 + m2vG2 , (3.63) m1 + m2

совпадает с прямой, вдоль которой направлены скорости тел до удара. Поэтому равенство (3.63) в скалярной форме имеет вид

u = m1v1 + m2v2 . (3.64) m1 + m2

Скорости в последнем равенстве следует считать совпадающими по знаку, когда они направлены в одну сторону, и противоположными по знаку, когда они направлены в разные стороны. Из (3.64) следует, что если шары движутся навстречу друг другу, то вместе они будут двигаться в сторону движения шара с большим импульсом.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если импульсы шаров равны по величине и направлены на-

то после столкновения они остановятся, т. е. u = 0.

2. Если одно из тел сталкивается с неподвижным телом: v1 > 0, v2 = 0, то, согласно (3.64), их скорость после столкновения

меньше скорости первоначально движущегося тела и совпадает с ней по направлению.

3. Если массы тел одинаковые m1 + m2, то скорость их совместного движения определяется соотношением

ложить на составляющие вдоль линии, соединяющей центры шаров, перпендикулярном направлении. Для составляющих вдоль линии центров все будет обстоять так же, как и при центральном ударе. Они окажутся равными и для них можно записать соотношение (3.64), что и при центральном ударе. Для перпендикулярных составляющих скоростей дело обстоит иначе. Их изменяют возникающие между телами силы трения, которые приведут к вращению шаров, и анализ движения существенно усложнится по сравнению с приведенным выше. Поэтому закон сохранения импульса позволит определить только составляющую результирующей скорости совместного движения в направлении линии центров шаров.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте определение абсолютно неупругого удара. Могут ли упругие тела сталкиваться абсолютно неупруго?

2.Дайте определение центра тяжести материального тела, центрального и нецентрального удара.

3.Всякий ли абсолютно неупругий удар является центральным, а центральный — абсолютно упругим?

4.Математически проанализируйте частные случаи абсолютно неупругого столкновения двух тел.

5.Обоснуйте утверждение, что шары, движущиеся навстречу друг другу, после абсолютно неупругого удара вместе будут двигаться в сторону движения шара с большим импульсом.

6.Может ли скорость тела, образованного после абсолютно неупругого столкновения, превышать скорость каждого из тел до их столкновения?

Примеры решения задач

Задача 3.16

Найти изменение K кинетическойG G энергии двух шаров массами m1 и m2, имеющих скорости v1 и v2 после их центрального и абсолютно неупругого удараG . G

Дано: m1 и m2; v1 ; v2 . Найти: K.

Система уравнений для решения задачи имеет вид:

С учетом (3) запишем кинетическую энергию шаров после их