Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4603 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский Государственный Университет Путей Сообщения
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

fizika

.pdf
Скачиваний:
419
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
4.42 Mб
Скачать
☆

3.7. Столкновения тел

201

K =

1

 

 

 

(m2v2

+ m m v2

+ m m v2

+ m2v2

−

 

 

 

 

 

 

2(m1 + m2 )

 

1

1

 

 

 

1

 

2

2

 

 

 

1

2

1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−m2v2

− m2v2

−

2 m m vGvG

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

2

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После простых преобразований имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1m2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

G G

 

 

 

 

 

 

 

K =

 

 

 

 

 

 

 

(v

 

+ v

2

− 2 v v ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( m + m2 )

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательный результат имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1m2

 

 

 

 

G

 

G

 

2

 

 

 

 

 

K = K − K

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(v

− v )

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2 (m1 + m2 )

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

(7)

В заключение отметим, что K > 0, т. е. кинетическая энергия системы тел до столкновения всегда превышает кинетическую энергию образующегося после столкновения тела, так как все множители в

(7) положительны. Согласно закону сохранения энергии (в общефизическом смысле) разность между этими энергиями превращается в эквивалентное количество тепловой энергии. Причем, согласно (6), количество тепловой энергии определяется взаимным направлением начальных скоростей. Если скорости направлены навстречу друг

другу (ударG G «лобовой»), то скалярное произведение скоростей отрицательно: v1v2 = v1v2 cos π = −v1v2 < 0. Если же скоростиG G тел направлены в одну сторону и одно тело догоняет другое, то v1v2 = v1v2 cos 0° = v1v2 > 0.

Количество тепловой энергии, соответствующее каждому из этих случаев, получим на основе соотношения (6)

K =

m1m2

(v

+ v )2

;

K

2

=

m1m2

(v

− v )2 .

 

 

1

2(m1 + m2 )

1

2

 

 

 

2(m1 + m2 )

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сравнения этих формул следует, что при лобовом ударе тел образуется большее количество тепла, чем при движении их друг за дру-

гом, т. е.

ε1 > ε2 .

 

 

m1m2

 

 

Ответ:

K = K − K

2

=

(v − v )2 .

 

 

1

 

2(m1 + m2 )

1

2

 

 

 

 

 

 

Задача 3.17

Резиновая пуля массой m1 = 10 г, летящая горизонтально, абсолютно неупруго соударяется с шаром массой m2 = 0,2 кг, подвешенном на нити длиной L = 1 м. В результате удара образовавшееся тело отклоняется от вертикали на угол α = 30°. Найти скорость v0 пули до уда-

202 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

ра, скорость v образовавшегося тела (пуля + шар) после удара и количество Q выделившегося тепла.

Дано: m = 10 г; М = 0,2 кг; L = 1 м; α = 30°. Найти: v0, v, Q.

Систему уравнений для решения задачи неупругого столкнове-

ния тел представим в виде

 

 

mvG0 = (M + m)vG

— закон сохранения импульса;

(1)

 

(m + M )v2

 

= (m + M )gh

— закон сохранения энергии;

(2)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

— высота подъема пули + шара

 

h = L − L cos α

 

 

 

 

 

 

 

 

над равновесным состоянием;

(3)

Q =

mv2

−

 

(m + M )v2

— количество образовавшегося

 

0

 

 

 

 

2

2

 

 

 

при ударе тепла.

(4)

Поскольку удар центральный, и скорости vG0 и vG направлены вдоль одной прямой, то уравнение (1) можно переписать в скалярной форме

 

 

M

 

mv0 = (m + M )v →

v0

=

 

+ 1 v .

 

 

 

m

 

Из уравнения (2), с учетом (3), получим

v = 2gh = 2gL(1− cos α) .

(5)

(6)

Подставляя (6) в (5), найдем выражение для скорости пули до столкновения

v0

M

 

2gL(1− cos α) .

 

=

 

+ 1

(7)

 

 

m

 

 

 

Используя формулы (6) или (7), найдем выражение для количе-

ства тепла

 

 

 

 

 

 

Q =

mM

v2

=

M

(M + m)gL(1− cos α) ,

(8)

 

2(m + M )

0

 

m

 

 

образовавшегося при столкновении тел.

3.7. Столкновения тел

203

После подстановки в формулы (6–8) численных значений параметров, определенных условиями задачи, получим

v = 1,62 /с; v0 = 34,02 м/с; Q = 5,5 Дж.

Примечание. Теперь рассчитаем кинетические энергии пули до столкновения и тела (пуля + шар) в момент столкновения

 

 

 

 

 

 

mv2

 

 

(m + M )v2

 

 

 

K =

 

0

= 5,8 Дж; K

2

=

 

 

 

 

 

 

= 0,3 Дж;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и из отношений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η =

K2

=

0,3

 

100 % = 5,17 % ;

 

η

2

=

Q

=

5,5

100% = 94,83% ,

 

 

 

 

 

1

K1

5,8

 

 

 

 

 

 

 

 

K1

5,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

установим, что большая часть ( > 94 %) первоначальной кинетической энергии пули при столкновении тел тратится на образование тепла.

Ответ: v =

 

2gh =

2gL(1− cos α) = 1,62 м/с;

 

M

 

 

 

 

v0 =

 

 

+ 1

2gL(1

− cos α) = 34,02 м/с;

 

 

 

m

 

 

 

 

Q =

M

(M + m)gL(1− cos α) = 5,5 Дж.

m

 

 

 

 

 

 

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар — кратковременное взаимодействие тел, после которого в обоих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. После такого соударения тела полностью восстанавливают свою форму. Реальные тела не обладают такими идеально упругими свойствами, но в некоторых из них возникающие после удара деформации настолько малы, что с высокой степенью точности ими можно пренебречь. Таковы, например, хорошие сорта стали и стекол, слоновая кость и т. д.

Если удар можно считать абсолютно упругим, то для скоростей до удара и после удара должны быть справедливы уравнения, выражающие законы сохранения импульса и энергии

204

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

 

 

m vG

+ m vG = m uG + m uG ;

 

 

(3.65)

 

 

1

1

 

 

2

2

 

1

1

 

2

2

 

 

 

 

 

 

m v2

 

 

m v2

m u2

 

m u2

 

 

 

 

 

1

1

 

+

 

2 2

=

 

1 1

+

 

 

2

2

,

(3.66)

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, vG

 

где m1, m2 — массы сталкивающихся шаров; vG

— их скорости до

удара; uG

и uG

— их скорости после удара.

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для простоты анализа остановимся на случае центрального удара. Тогда уравнение (3.65) можно рассматривать как скалярное (все скорости до и после удара направлены по линии центров, и их разные направления различаются только знаками) и переписать систе-

му уравнений в таком виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (v − u ) = m (u

2

− v );

 

1

1

1

2

 

2

 

 

 

 

 

2

− u

2

) = m (u

2

− v

2

).

m (v

 

 

2

2

 

1

1

1

2

 

 

 

Разделив второе уравнение на первое, и перегруппировав слагае-

мые, получим

 

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 ;

(3.67)

u1 − u2 = −v1 + v2 .

(3.68)

Неизвестные скорости u1 и u2 найдем, воспользовавшись правилом Крамера, хотя систему уравнений (3.67), (3.68) можно решить и другими способами. Для этого запишем следующие определители:

 

 

 

 

 

=

m1

;

m2 ;

 

= −(m1

+ m2 ) ;

 

 

 

 

 

1;

 

−1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

 

 

m1v1 + m2v2

;

m2

;

 

= −(m1

− m2 )v1 − 2m2v2 ;

 

 

 

 

−v1

+ v2 ;

 

−1;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

=

 

 

m1;

m1v1 + m2v2

;

 

= −(m2

− m1 )v2 − 2m1v1 .

 

 

 

 

 

1;

 

−v1

+ v2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь получим выражения для скоростей тел после удара, являю-

щихся решениями системы (3.67), (3.68).

 

u =

u1

=

(m1 − m2 )v1 + 2m2v2

;

(3.69)

 

 

 

1

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

u2 =

u2

 

=

(m2 − m1 )v2 + 2m1v1

.

(3.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

3.7. Столкновения тел

205

В таком виде полученные выражения для анализа достаточно сложны. Наиболее интересные частные случаи рассмотрим ниже в примерах решения задач.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте определение абсолютно неупругого удара. Может ли неупругое тело сталкиваться с упругим абсолютно упруго или абсолютно неупруго?

2.В чем сходство и отличие абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов?

3.При рассмотрении абсолютно упругого удара закон сохранения энергии используется в общефизическом или механическом смысле?

4.Решите систему уравнений (3.65) и (3.66) любым способом, отличным от приведенного в тексте.

5.В формулы (3.69) и (3.70) входят модули скоростей взаимодействующих тел или их проекции?

Примеры решения задач

Задача 3.18

Найти скорости u1 и u2 двух шаров массами m1 и m2 после центрального и абсолютно упругого удара, если их скорости до удара v1, v2, и сумма импульсов шаров до удара равна нулю, т. е. m1v1 + m2v2 = 0. Исследуйте характер движения шаров после удара.

Дано: m1; m2; v1; v2; m1v1 + m2v2 = 0. Найти: u1, u2.

При решении задачи проведите последовательные математические преобразования для центрального и абсолютно упругого удара двух шаров и выведете следующую систему уравнений:

m1v1 + m2v2 = 0;

(1)

u1 – u2 = –v1 + v2,

(2)

которая легко получается из уравнений (3.67) и (3.68), полагая в первом из них m1v1 + m2v2 = 0. Решите систему самостоятельно и сравните полученные результаты с приведенными ниже.

Для решения задачи можно непосредственно воспользоваться соотношениями (3.69), (3.70) и представить их в виде

206

 

 

Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

u =

(m1v1 + m2v2 ) − m2v1 + m2v2

=

−m2v1 + m2v2

.

(3)

 

 

1

m1

+ m2

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

Учитывая, что по условию задачи m2v2 = –m1v1, равенство (3) при-

нимает вид

 

 

−(m1 + m2 ) v

 

 

 

 

u =

= −v .

(4)

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

Аналогично получим скорость второго тела

 

 

 

 

u2 = –v2.

 

(5)

 

 

до удара

 

Согласно последним соотноше-

 

 

 

ниям сталкивающиеся шары с им-

 

vG1

vG2

 

m1

 

пульсом до удара равным нулю, т.е.

 

m2

 

m1v1 + m2v2 = 0, после центрального

–vG1

после удара

–vG2

и абсолютно упругого удара шары

m1

 

m2

 

меняют направление движения на

 

 

противоположное без изменения

 

 

 

 

модулей скорости (см. рис.).

Ответ: u1 = –v1; u2 = –v2.

Задача 3.19

Найти скорости u1 и u2 двух шаров массами m1 и m2 после центрального и абсолютно упругого удара, если до удара скорость первого шара v1, а второй шар покоится v2 = 0. Исследуйте характер движения шаров после удара.

Дано: m1; m2; v1; v2 = 0. Найти: u1, u2.

Для решения задачи воспользуемся соотношениями (3.69), (3.70).

Полагая в них v2 = 0, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

u =

m1 − m2

v ;

u

 

=

2m1

 

v .

 

 

m + m

1

m + m

2

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

1

2

 

Движение шаров после столкновения зависит от соотношения между их массами. Действительно:

а) если m1 > m2, то

u1 > 0, u2 > 0,

т. е. направления движения обоих тел после столкновения совпадают с направлением движения первого тела до столкновения. При этом

после удара
до удара

3.7. Столкновения тел

207

скорость первого тела уменьшается, а скорость второго превосходит его скорость до удара (см. рис. 1);

б) если m1 = m2, то u1 = 0, u2 = v1.

Последние соотношения означают, что после столкновения первое тело останавливается, а второе движется со скоростью первого и в его направлении до удара. Иначе говоря, при столкновении шаров происходит обмен скоростями между ними (рис. 2);

в) если m1 < m2, то

u1 < 0,

u2 > 0.

 

 

 

 

 

 

 

Из этих неравенств следует,

 

 

что первое тело после столкнове-

 

 

ния изменяет направление движе-

 

 

ния на противополож-

 

 

 

 

 

ное и движется с мень-

 

до удара

 

 

шей скоростью, чем до

 

 

 

 

uG

удара. Скорость второго

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

шара при этом совпадает

 

после удара

 

по направлению со ско-

 

 

 

 

 

ростью первого до удара,

 

 

 

 

 

но меньше ее по модулю (рис. 3).

 

 

Ответ: u =

m1 − m2

v ; u

 

=

2m1

 

v .

 

 

m + m

1

 

m + m

2

1

2

 

1

 

1

 

 

 

1

2

 

 

vG

до удара

 

 

m

1

m2

 

1

 

 

uG

после удара

uG

1

2

m

m2

1

 

 

v1 < u2

 

Рис. 1

 

vG

 

1

m

m

 

vG

 

1

mm m

 

Рис. 2

 

 

vG

 

m

1

m2

 

1

 

 

 

 

uG

m1

 

2

 

m2

Рис. 3

Задача 3.20

Найти скорость u1 шара массой m1 после центрального и абсолютно упругого удара о неподвижный второй шар, если до удара скорость первого шара v1и масса второго шара значительно превышает массу первого, т. е. m2 m1 . Исследуйте характер движения шаров после удара.

Дано: m1; v1; m2 m1 . Найти: u1.

208 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Полагая v2 = 0 в формулах (3.69), (3.70), представим результат в

виде

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

m

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

2

 

 

v ≈

 

1

− 1

v

; u =

 

 

2

v

≈ 2

1

v .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

m1

1

 

 

1

1

m1

1

 

 

1

 

 

 

 

+ 1

 

m2

 

 

 

+ 1

 

m2

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что первое тело отскакивает от значительно большего по массе шара, слегка меняя скорость по модулю. Второе же после удара движется в направлении первого до удара с очень малой скоростью. В пределе m2 → ∞ первое тело меняет направление на противоположное без изменения модуля, а второе остается неподвижным.

u1 = –v1; u2 = 0.

Такой же результат получается при упругом столкновении шара со стеной при его нормальном падении на стену (рис.).

до удара

 

после удара

m2

–vG1

m2

vG1

m1

m1

 

Ответ: u =

 

m1

− 1 v

; u = 2

m1

v .

 

 

 

 

1

 

1

1

m2

1

 

m2

 

 

 

 

Задача 3.21

Найти скорости u1 и u2 двух шаров с одинаковыми массами после центрального и абсолютно упругого удара, если до удара их скорости v1 и v2. Исследуйте характер движения шаров после удара.

Дано: m1 = m2; v1; v2 = 0. Найти: u1, u2.

Вэтом случая система (3.65), (3.66) имеет наиболее простой вид

иприводится к следующим двум уравнениям:

u1 + u2 = v1 + v2 ;u1 − u2 = −v1 + v2 .

3.7. Столкновения тел

209

Нетрудно видеть, что решением системы являются следующие значения скоростей:

u1 = v2; u2 = v1,

т. е. после удара шары обмениваются скоростями. Полагая m1 = m2 в формулах (3.69), (3.70), получим такой же результат.

При движении навстречу, обменявшись скоростями после столкновения, шары отскакивают друг от друга и двигаются в направлении, противоположном первоначальному (рис. 1). Если же один шар догоняет другой, то после удара они продолжают движение в том же направлении, но догоняющий шар становится отстающим (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Ответ: u1 = v2; u2 = v1

Задача 3.22

Резиновая пуля массой m1 = 10 г, летящая горизонтально, абсолютно упруго соударяется с шаром массой m2 = 0,2 кг, подвешенном на нити длиной L = 1 м, и отскакивает в противоположном направлении. В результате удара шар отклоняется от вертикали на угол α = 30°. Найти скорость v0 пули до удара и скорости пули v1 и шара v2 сразу после удара.

Дано: m = 10 г; М = 0,2 кг; L = 1 м; α = 30°. Найти: v0, v1, v2.

210 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Систему уравнений для решения задачи упругого столкновения

тел представим в следующем виде:

 

mvG0

= mvG1 + MvG2

— закон сохранения импульса;

(1)

 

mv2

=

mv2

+

Mv2

— закон сохранения кинетической

 

 

0

0

2

 

2

2

2

 

энергии тел;

(2)

 

Mv2

 

= Mgh

 

— закон сохранения энергии для шара;

(3)

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

— высота подъема шара над равновесным

 

h = L − L cos α

 

 

 

 

 

 

 

 

состоянием.

(4)

После простых преобразований перепишем систему (1–4) в бо-

лее удобной форме:

 

 

 

 

 

 

mv = −mv + Mv

2

;

(5)

 

0

 

1

 

 

m(v2

− v2 ) = Mv2

;

 

(6)

 

0

1

2

 

 

 

v2

= 2gh .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Подставив в последнюю формулу выражение для высоты (4) подъема шара над равновесным состоянием, найдем его скорость сразу после удара пули

v2 = 2gL(1− cos α) .

(7)

Систему уравнений (5,6)

m(v

 

+ v ) = Mv ;

 

0

1

2

 

 

 

2

2

2

;

m(v

 

− v

) = Mv

 

0

1

2

 

после деления их правых и левых частей, запишем в виде

v

+ v =

M

v

 

;

(8)

 

 

0

1

 

m

2

 

 

v0

− v1

= v2 .

 

 

(9)

Складывая последние два уравнения, имеем

 

 

M

 

 

1

M

 

 

2v0

= v2

 

 

+ 1

→ v0 =

 

 

 

+ 1 v2 .

(10)

 

2

 

 

 

m

 

 

m

 

 

Теперь, вычитая из уравнения (8) соответствующие части уравнения (9), получим

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности