fizika

динатой x2 = 15 м при t1 = 1,2 c ξ(x2 ,t1 ) = 0,071 м; уравнение плоской волны имеет вид ξ(x,t) = 0,1sin(5πt − 520πx) , м.

Задача 6.19

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью u = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с, амплитуда колебаний А = 2 см.

Определить длину волны λ, фазу ϕ колебаний, смещение ξ(x,t) ,

нии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, разность фаз ϕ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстоянии х1 = 20 м и х2 = 30 м.

1. Длина волны

λ = uT.

392 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Подставив численные значения, получим λ = 15 · 1,2 = 18 м.

2. Фаза колебаний, смещение, скорость, и ускорение точки могут

ξ(x,t) — смещение колеблющейся точки, х — расстояние точки от источника волны, u — скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны как аргумент тригонометрической функции

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) числовые значения амплитуды и фазы:

ξ(x,t) = 2sin1, 67π = 2sin 300° = −2sin 60° = −2 0,866 = −1, 73 см = = |1,73| см.

3. Разность фаз колебаний ϕ двух точек волн связана с расстоянием x между этими точками (называемыми разностью хода вол-

Подставив числовые значения в выражение, получим

Δϕ = 218π (30 − 20) = 1,1π рад.

Ответ: длина волны λ = 18 м; фаза колебаний ϕ точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, ϕ = 1,67π; смещение точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, ξ(x,t) = 1,73 см; скорость точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в мо-

мент времени t = 4 с, dξ(x,t) = 5,2 см/с; ускорение точки, отстоя- dt

щей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени

одного луча, отстоящих от источника волны на расстояниях х1 = 20 м и х2 = 30 м, ϕ = 1,1π рад.

Задача 6.20

Сколько времени идет по стальному рельсу звуковая волна, когда поезд находится на расстоянии S = 1000 м от наблюдателя? Модуль Юнга для стали Е = 2 · 1011 Н/м2, плотность стали ρ = 7,8 · 103 кг/м3.

Дано: S = 1000 м; Е = 2 · 1011 Н/м2; ρ = 7,8 · 103 кг/м3. Найти: t.

Звуковая волна, распространяющаяся по рельсу, является продольной.

Скорость распространения продольной волны в твердом тонком стержне вычисляется по формуле

где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости стали), ρ — плотность стали.

Так как звуковая волна распространяется прямолинейно и равномерно вдоль рельсов, то время t прохождения звуком расстояния

Подставив числовые значения в полученное выражение, получим t = 0,2 c.

Ответ: звуковая волна проходит расстояние 1000 м по стальному рельсу за 0,2 с.

Задача 6.21

Левому концу длинной горизонтальной натянутой струны сообщается простое гармоническое колебательное движение с частотой

ν = 250 Гц и амплитудой А = 2,6 см. Сила натяжения струны F = 140 Н, m

масса, приходящая на единицу длины, l = 0,12 кг/м. Записать уравнение ξ(x,t) , описывающее бегущую волну, и вычислить длину вол-

ны λ, если при t = 0 конец струны смещен вверх на 1,6 см и движется вверх.

Подставив числовые значения в полученное выражение, получим λ = 14 см.

2. Если за начало отсчета принять левый конец струны х = 0, начальную фазу колебания (при t = 0) обозначить ϕ0, то уравнение плоской волны можно записать в виде

ξ(x,t) = Acos(ωt − kx + ϕ0 ) . Так как при х = 0 и t = 0 ξ = 1,6 см, то получим

1, 6 = 2, 6 cos ϕ0 .

Ответ: уравнение ξ(x,t) бегущей волны, имеет вид

ξ(x,t) = 0, 026 cos(1570t − 45x + 0,91) , м.

Задача 6.22

Интенсивность сейсмической волны в х1 = 100 км от центра землетрясения составляет I1 = 1 106 Вт/м2. Чему равна интенсивность I2 этой волны на расстоянии х2 = 400 км от центра землетрясения?

Дано: х1 = 105 м; I1 = 1 106 Вт/м2; х2 = 4 · 105 м. Найти: I2.

Интенсивность волн (энергия, переносимая волной через единичную площадь поверхности за единицу времени) убывает по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.

Если обозначить энергию, излучаемую в точке землетрясения за единицу времени, через W, то

Ответ: интенсивность волны на расстоянии 400 км от центра землетрясения равна

I2 = 6, 2 104 Вт/м2.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Кинематика механических гармонических колебаний

•Колебания — физический процесс, характеризующийся той или иной повторяемостью во времени и пространстве.

•Свободные или собственные колебания — колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния устойчивого равновесия.

•Периодические колебания — колебания, в которых изменяющиеся физические величины повторяются через равные промежутки времени.

•Механические гармонические колебания — прямолинейные, неравномерные, периодические движения, при которых расстояние х материальной точки от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени она находится, описывается уравнением

x= Asin(ωt + ϕ0 ) .

•Период колебаний — наименьший промежуток времени Т, по истечении которого, значение изменяющейся физической величины повторяется:

— по модулю и направлению, если эта величина векторная,

— по величине, если она скалярная.

T = 1ν

•Частота колебаний ν — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени.

•Циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной, за 2π с.

ω0 = 2Tπ = 2πν .

Динамика механических гармонических колебаний

•Квазиупругие силы — силы любой физической природы, под действием которых тело совершает гармоническое колебание.

•Пружинный маятник — система, состоящая из абсолютно упругой невесомой пружины и груза массой m.

mω2 A2

• Полная энергия пружинного маятника — W = Wк + Wп = 0 .

2

•Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

•Физический маятник — абсолютно твердоеG тело, совершающее колебания под действием силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси z, не проходящей через центр тяжести тела.

Сложение гармонических колебаний

•Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой: ослабляется, если колебания находятся в противофазе, т. е. разность фаз кратна

ϕ02 − ϕ01 = (2n + 1)π ,

усиливается, если колебания находятся в фазе, т. е. разность фаз кратна

ϕ02 − ϕ01 = 2πn .

•Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой, описывается уравнением

•Биение — колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

•Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты ω при разности фаз, равной нулю — гармоническое колебание с ампли-

тудой C = A2 + B2 , частотой ω, совершающее вдоль ограниченной прямой, наклоненной к оси х под углом ϕ = arctg BA .

•Траектория движения при сложении двух взаимно перпендикуляр-

ных гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд (А ≠ В) при разности фаз, равной π2 — эллипс, период которого равен периоду складываемых колебаний.

•Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпенди-

кулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной π:

— прямая, описываемая уравнением

y = − BA x .

Затухающие механические колебания

•Затухающие механические колебания — колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

•Апериодический процесс — процесс возвращения системы, выведенной из состояния равновесия, в исходное состояние без колебаний.

•Условный период затухающих механических колебаний –

• Время релаксации τ — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

• Коэффициент затухания β — величина, обратная времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

•Логарифмический декремент затухания λ — величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации τ.

Вынужденные механические колебания

•Вынужденные механические колебания — колебания в системе, происходящие под действием внешней периодической возмущающей силы. Если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются гармоническими.

•Механический резонанс — явление резкого возрастания амплиту-

ды установившихся вынужденных колебаний при приближении частоты Ω внешней возмущающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте Ωрез.

•Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний, вязкости среды.

•Резонансная частота — частота возмущающей силы при которой амплитуда колеблющейся системы достигает максимального значения.

Ωрез = ω02 − 2β2 .

Механические волны

•Механические волны — процесс распространения возмущений (деформаций) в упругой среде, несущий с собой энергию, в котором одновременно совершаются колебания частиц среды около положения равновесия и поступательное движение состояния колеблющихся частиц без перемещения самих частиц вдоль заданного направления.

•Амплитуда волны А — максимальная высота пучности или глубина впадины, измеренная относительно положения равновесия.

•Частота волны ν — число полных колебаний за единицу времени, совершаемых любой из частиц упругой среды, в которой распространяется волна.

•Период волны Т — время, по истечении которого волна распространяется на расстояние, равное двум соседним пучностям или гребням.

•Циклическая частота ω — число гребней, проходящих через данную точку за время 2π с.

•Скорость распространения волны uG — скорость, с которой перемещается пучность (впадина) вдоль заданного направления.

•Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за один период.

λ= uT.

•Разность фаз между двумя точками –

ϕ= 2π x = 2π (r1 − r2 ) .

λλ

•Амплитуда волны уменьшается по мере удаления от источника обратно пропорционально расстоянию до источника.

•Энергия, мощность и интенсивность волн убывают по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния до источника.

•Волна называется продольной, если частицы упругой среды колеблются в направлении распространения волны.

•Волна называется поперечной, если частицы упругой среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

•Уравнение волны — уравнение, позволяющее найти смещение от положения равновесия любой из частиц волнового поля в любой момент времени.

•Уравнение плоской гармонической волны –

=Acos(ωt − GG) .ξ(rG,t) kr

•Стоячая волна — волна, полученная при интерференции двух встречных плоских волн с одинаковыми частотами и амплитудами

ξ(x,t) = 2Acos kx cos ωt .

• Координаты пучностей и узлов стоячей волны –

xпучн = ±n λ2 ;