Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

fizika

.pdf
Скачиваний:
403
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
4.42 Mб
Скачать

6.4. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

351

6.4. СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

Под сложением колебаний понимают нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два случая:

сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой;

сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой.

Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой

Сложить два или несколько колебаний — значит найти уравнение, описывающее результирующее колебание. Эта задача в общем случае решается аналитически, но в ряде случаев возможно графическое решение методом векторных диаграмм (рис. 6.6). Гармоническое

колебание на этой диаграмме представляет собой колебания проек-

 

 

 

 

G

 

 

ции равномерно вращающегося вектора A на ось х. Модуль вектора

G

 

 

 

 

 

 

A равен амплитудеGрассматриваемого колебания, а угловая скорость

вращения вектора A равна угловой частоте колебаний ω0G. Начальная

фаза колебания ϕ0 — это угол, образованный вектором A с осью x в

начальный момент времени.

 

 

 

 

 

Пример сложения двух гармонических колебания, происходящих

вдоль оси х

 

 

 

 

 

 

x1 (t) = A1 cos(ω0t + ϕ01 ) и

x2 (t) = A2 cos(ω0t + ϕ02 ) .

(6.22)

 

Из начала оси x проведем под углом ϕ01 вектор

G

 

 

A , под углом

ϕ02

G

 

 

G

1

G

— вектор A

. Построим вектор A , равный сумме векторов A и

G

2

G

G

G

 

1

A2 . Проекции векторов A1 ,

A2 и

A на ось x определяют составляю-

щие смещения x1, x2 и результирующее смещение x в начальныйG G момент времени. Так как в процессе колебаний векторы A1 и A2 вращаются с одной и той же угловой скоростьюG ω0, то с такой же скоG- ростью будет вращаться и вектор A . Следовательно, проекция A на ось x также будет совершать гармоническое колебание, т. е. ре-

352

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

зультирующее движение является гармони-

 

ческим колебанием с частотой ω0. Из рис.

 

6.6 видно, что в начальный момент времени

 

x = x1 + x2

= Acos ϕ0 , в произвольный момент

 

времени

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = Acos(ω0t + ϕ0 ) ,

 

где A и ϕ0 — амплитуда и начальная фаза ре-

Рис. 6.6

зультирующего колебания.

Из треугольника OA1A по теореме коси-

 

нусов для момента времени t = 0 имеем:

A =

A12 + A22 2A1 A2 cos[π − (ϕ01 − ϕ02 )] =

 

 

(6.23)

=A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ02 − ϕ01 ),

tgϕ0 =

A1 sin ϕ01

+ A2

sin ϕ02

.

(6.24)

A1 cos ϕ01

+ A2

 

 

cos ϕ02

 

Выделим три характерных случая:

если разность начальных фаз ϕ02–ϕ01 колебаний равна 0 или 2πn, где n = 1, 2, …, то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний: A = A1 + A2, т. е. колебания усиливают друг друга;

если разность фаз ϕ02–ϕ01 = (2n + 1)π, колебания находятся в

противофазе, A = A1 A2 и они максимально ослабляют друг друга.

Вчастности, если A1 = A2 , наблюдается полное гашение колебаний.

в зависимости от разности фаз амплитуда результирующего колебания может принимать любые значения, лежащие в интервале

A2 A1 A A1 + A2 .

Сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой

Сложим два колебания, происходящие вдоль оси х, имеющие одина-

ковые амплитуды A1 = A2 = A и начальные фазы, равные ϕ01 = ϕ02 = 0

x1 (t) = Acos ω1t ,

x2 (t) = Acos ω2t ,

причем ω1 − ω2 < ω1 и ω1 + ω2 < ω2 . Сложение произведем аналитически.

Рис. 6.7

6.4. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

353

Результирующее смещение x равно сумме смещений составляю-

щих колебаний x1 и x2:

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = Acos ω1t + Acos ω2t = A(cos ω1t + cos ω2t) . (6.25) После преобразования получим

 

 

ω1 − ω2

 

ω1

+ ω2

 

 

x(t) =

2Acos

 

t cos

 

 

t .

(6.26)

2

 

2

 

 

 

 

 

 

Из двух сомножителей, содержащих косинус, первый изменяется со временем гораздо медленнее второго. Это позволяет считать колебание (6.26) «почти» гармоническим с «амплитудой», изменяющейся

со временем по периодическому закону

 

 

 

 

ω1 − ω2

 

 

 

A(t) =

2Acos

t

.

(6.27)

2

 

 

 

 

 

Колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.

Частота колебаний амплитуды или частота биений равна

 

 

 

 

 

 

 

ν =

 

 

ω1 − ω2

 

 

=

 

ν − ν

2

 

,

(6.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

1

 

 

 

где ν

=

ω1

и ν

 

=

ω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

— частоты составляющих колебаний.

 

 

 

 

1

2π

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чем меньше отличаются частоты составляющих колебаний, тем меньше частота биений.

Величина A(t) , характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от A2 A1 до A1 + A2 с циклической частотой Ω = ω1 − ω2 , называемой циклической частотой бие-

ний. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты колебаний Ω << ω1, то переменную величину A(t) условно называют амплитудой биений. Период биений равен

T =

 

2π

 

 

 

.

ω

2

− ω

 

 

1

 

Характер зависимости х от времени t при биениях показан на рис. 6.7.

354

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

6.5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси ох, так и вдоль перпендикулярной к ней оси оу. В этом случае материальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний и их амплитуд.

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной нулю

Сложим два гармонических колебания, имеющих одинаковые частоты ω1 = ω2 = ω, начальные фазы, равные ϕ01 = ϕ02 = 0, происходя-

щих вдоль осей x и y:

x(t) = Acos ωt , y(t) = B cos ωt .

Разделим второе уравнение на первое, получим уравнение траек-

тории результирующего движения y =

B

x .

 

 

A

 

Траектория результирующего колебания —

 

отрезок прямой, проходящей через начало ко-

 

ординат и наклоненная к оси оx под углом,

 

тангенс которого равен

B

(рис. 6.8).

 

 

 

 

 

 

A

 

Результирующее движение — гармониче-

 

ское колебание с амплитудой C = A2 + B2 ,

Рис. 6.8

частотой ω, совершающееся вдоль отрезка,

A

наклоненного к оси х под углом arctg B .

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной π

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и y, разность начальных фаз которых равна π

6.5. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

 

355

x = Acos ωt,

 

 

 

(6.29)

y = B cos(ωt + π).

 

 

Так как cos(ωt + π) = − cos ωt , то

 

 

 

 

y = − B cos ωt .

 

(6.30)

Разделив (6.30) на (6.29), получим урав-

 

 

нение прямой с отрицательным значением

 

 

тангенса угла наклона y = −

B

x (рис. 6.9).

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

Результирующее движение — гармониче-

 

 

ское колебание с амплитудой C = A2 + B2 ,

 

 

частотой ω, совершающееся вдоль отрезка, на-

Рис. 6.9

 

 

A

 

 

клоненного к оси х под углом 180 arctg

 

.

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

одинаковой частоты при разности фаз, равной

π

 

 

 

 

 

 

2

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба-

ния одинаквой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и

y, разность начальных фаз которых равна

π .

 

 

 

x = Acos ωt ,

 

2

(6. 31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωt +

π

 

 

 

y = B cos

2

.

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как cos ωt +

= − sin ωt , то

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = − B sin ωt

.

 

(6.32)

Представим уравнения (6.31) и (6.32) в виде

 

 

 

 

x

 

= cos ωt ,

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= − sin ωt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возведем уравнение в квадрат и сложим

 

 

 

 

x2

+

y2

 

= 1 .

 

 

(6.33)

 

 

 

A2

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

356

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Уравнение (6.33) — уравнение эллипса с полуосями А и В (рис. 6.10).

Движение, происходящее по траектории (6.33), не является гармоническим.

Материальная точка описывает эллипс за время, равное периоду складываемых коле-

баний T = 2π . Если ϕ02 − ϕ01 = π , то движе-

Рис. 6.10 ω 2

ние материальной точки по эллипсу происходит по часовой стрелке. Если ϕ02 − ϕ01 = − π2 , то движение проис-

ходит против часовой стрелки. Если А = В, то эллипс вырождается в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с разными частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот составляющих колебаний и разности их начальных фаз.

Вопросы и задания для самопроверки

1.В чем различие колебаний, получающихся в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты и с мало различающимися частотами?

2.Чем различаются результаты сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных?

3.При каких условиях в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты получаются колебания, траекториями движения которых будут эллипс, круг и отрезок?

4.Покажите, что равномерное движение материальной точки по окружности можно представить как результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний.

5.Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если на векторной диаграмме вращать вектор амплитуды по часовой стрелке?

6.Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты?

6.5. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

357

Примеры решения задач

Задача 6.9

Вычислить амплитуду результирующего колебания, полученного путем сложения двух гармонических колебаний, совершающихся вдоль одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами,

равными А1 = 10 см, А2 = 20 см. На-

 

 

 

 

 

чальные фазы колебаний равны со-

 

 

 

 

 

ответственно ϕ01

= π

и ϕ02 = π .

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

Дано: T1 = T2 = T;

ω1 = ω2 = ω;

 

 

 

 

 

 

ϕ01 = π ; ϕ02 =

π ; А1 = 0,1 м;

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А2 = 0,2 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы сложить два гармонических колебания, происходящих

вдоль оси х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 (t) = A1 cos(ωt + ϕ01 ) и x2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ02 ) ,

воспользуемся методом векторных диаграмм.

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из начала оси (см. рис) проведем под углом ϕ01 вектор A , под уг-

лом ϕ02 — вектор

G

 

 

 

G

 

 

 

1

A . Построим вектор A , равный сумме векторов

G

G

2

 

G

G

G

 

 

 

 

A1

и A2 . Проекции векторов A1 ,

A2 и

A на ось x определяют состав-

ляющие колебания x1 (t),

x2 (t) и результирующее колебание x (t). A и

ϕ0 — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

 

Из треугольника OA1A по теореме косинусов для момента вре-

мени t = 0 имеем

 

 

2A A cos[π − (ϕ

 

 

 

)] =

 

A =

A2

+ A2

01

− ϕ

02

 

 

1

2

1

2

 

 

 

=A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ02 − ϕ01 ),

tgϕ0 =

A1 sin ϕ01

+ A2

sin ϕ02

.

A1 cos ϕ01

+ A2

 

 

cos ϕ02

Ответ: амплитуда результирующего колебания

A= (0,1)2 + (0, 2)2 + 2 0,1 0, 2 cos 30 =

=0, 01+ 0, 04 + 0, 04 0,87 = 0, 29 м,

Рис. 6.11

358

 

 

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

начальная фаза:

 

 

tgϕ0 =

0,1sin 60° + 0,

2sin 30°

= 0,83,

0,1cos 60° + 0,

2 cos 30°

 

 

ϕ0 = arctg0,83 = 39° = 0, 68 рад.

6.6.ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Вреальных условиях механические колебания происходят в среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеиванию (диссипации) энергии колебаний (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды). Колеба-

ния затухают. Затухающие колебания не являются периодическими, так как через конечный промежуток времени физическая величина не принимает то же значение. Однако через равные промежутки времени повторяются максимальные, но разные по абсолютной величине отклонения величины от положения равновесия.

Переход от одного максимального значения физической величины до следующего максимального

значения по абсолютной величине, деленное пополам, назовем амплитудой колебания. При затухающих колебаниях амплитуды уменьшаются, но время прохождения соседних амплитуд остается постоянным.

За условный период затухающих колебаний принимается промежуток времени двух переходов от одного крайнего положения до другого.

Найдем уравнение затухающих колебаний груза массой m, подвешенного на пружине, с коэффициентом упругости k. На рис. 6.11 показаны три состояния системы.

Состояние 1 — естественная длина пружины.

Состояние 2 — груз висит на пружине, система находится в состоянии статического равновесия.

6.6. Затухающие механические колебания

 

359

mgG + FG'

= 0 .

(6.34)

упр

 

Начало координат совмещено с состоянием статического равновесия, так как любое колебание происходит около положения равновесия.

x — статическая деформация. Из проекции уравнения (6.34) на

ось Х с учетом того, что модуль силы упругости равен k

x, получим

mg = k x .

(6.35)

Для удобства составления дифференциального уравнения состояние 3 (рис. 6.11) зафиксировано в тот момент движения груза, когда деформация пружины х увеличивается и груз движется вниз. Пусть груз движется со скоростью,G меньшей 20 м/с. В этом случае сила сопротивленияG среды FR пропорциональна первой степени скорости FR = −rvG , где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что сила сопротивления среды направлена в сторону, противоположную движению, т. е. в данном случае вверх. Модуль силы сопротивления равен

F = rv = r

dx

.

 

 

 

 

 

R

 

 

G Gdt

G

. Модуль силы упруго-

На рис. 6.11 показаны силы mg, F и

F

 

упр

R

сти FGупр пропорционален сумме статической x и динамической x деформации, т. е. Fупр = k( x + x) .

Запишем второй закон Ньютона применительно к грузу, находя-

щемуся в состоянии 3. (см. рис. 6.11).

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

G

 

 

G

 

 

(6.36)

 

 

 

 

 

 

mg

+ F

+ F

 

= ma .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

упр

 

 

R

 

 

 

 

Проекция векторного уравнения на ось x равна

 

 

 

 

 

 

mg k(

x + x) rv = ma ,

 

(6.37)

где mg = k x

, a =

d 2 x

 

, v =

dx

. Умножив уравнение (6.37) на

1

 

, по-

dt2

dt

m

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 x

+

r dx

+

k

x = 0.

 

(6.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

m dt

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введя обозначения

 

k

= ω02

и

r

= 2β , перепишем последнее урав-

 

 

m

нение в виде

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

360

 

 

 

Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

d 2 x

+ 2β

dx

+ ω2 x = 0 . (6.39)

 

dt2

dt

 

 

0

Записанный в такой форме второй закон Ньютона — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами ω02 и 2β.

Для решения уравнения (6.39) воспользуемся методом Эйлера. Решение ищем в виде x = Ceαt , где C — произвольная константа, α — неизвестная константа. Для нахождения констант подставим

x = Ceαt ,

dx

= Cαeαt

,

d 2 x

= Cα2eαt

dt

dt2

 

 

 

 

в (6.39), получим тождество

Cα2eαt + 2βCαeαt + ω02Ceαt 0,

Ceαt (α2 + 2βα + ω02 ) 0 .

В полученном тождестве один из сомножителей должен равняться нулю.

1.C 0 , так как рассматривается движение, а не покой;

2.eαt 0 , по существу не равен нулю;

3.Следовательно, (α2 + 2βα + ω02 ) 0 .

Из этого уравнения, именуемого характеристическим, найдем неизвестную константу α:

α1,2 = −β ± β2 − ω02

В зависимости от соотношения ω0 и β возможны 3 различных варианта возвращения системы в состояние равновесия.

1 вариант Если β > ω0 , то корни α1 и α2 — действительные и разные. В этом

случае нет колебательного движения, так как показатель степени eαt — вещественное число.

Действительно, каждому корню характеристического уравнения соответствует по методу Эйлера частное решение вида:

 

α t

 

 

 

2

 

2

 

x (t) = e

 

−β + β

 

 

−ω0

t

1

 

= e

 

 

 

 

 

,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

t

 

−β − β

2

2

 

x (t) = e

2

 

 

 

−ω0

t

 

 

= e

 

 

 

 

 

 

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]