методичка 2 семестр интегралы

Вступ.............................................................................................................................................

4

Розділ 1.

Диференціальне числення функцій кількох змінних

................................... 5

Розділ 2.

Визначені інтеграли .............................................................................................

16

Розділ 3.

Диференціальні рівняння...................................................................................

40

1. Функції кількох змінних .........................................................................................................

49

2.

Похідні й диференціали функцій кількох змінних ................................................................

54

3.

Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт .............................................................................

61

4.

Екстремуми функції кількох змінних.....................................................................................

67

Розділ 2. Визначені інтеграли

5.

Обчислення визначеного інтеграла ........................................................................................

75

6.

Застосування визначеного інтеграла ......................................................................................

81

7.

Обчислення і дослідження невластивих інтегралів ...............................................................

88

8.

Подвійний інтеграл у декартових координатах .....................................................................

93

9.

Заміна змінних у подвійному інтегралі................................................................................

100

10.

Застосування подвійного інтеграла ....................................................................................

104

11.

Потрійний інтеграл .............................................................................................................

109

12.

Криволінійний інтеграл 1-го роду......................................................................................

119

13.

Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду...............................................................

125

14.

Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду.............................................................

130

15.

Поверхневий інтеграл 1-го роду.........................................................................................

134

16.

Поверхневий інтеграл 2-го роду.........................................................................................

139

17.

Теорія поля ..........................................................................................................................

143

Розділ 3. Диференціальні рівняння

18.

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінним ..................................................

151

19.

Однорідні диференціальні рівняння...................................................................................

154

20.

Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі .................................

158

21.

Рівняння, що дозволяють пониження порядку ..................................................................

163

22.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами............................

166

23.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами ........................

169

24.

Системи лінійних диференціальних рівнянь .....................................................................

175

Додаток ...................................................................................................................................

179

Список літератури.................................................................................................................

184

Віддаль між точками

M (x

;y ), M

(x

;y )

(M , M

) (x

2

x

)2 (y

2

y )2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

M

(x

;...; x

), M

(x ;...; x )

n

n

1

1

2

1

n

(M1, M2 )

(xi

xi )2

i 1

 -окіл точки M0

U (M0 ) {M n | (M, M0 ) }

Класифікація точок. Точку

Область. Множину D називають

M D називають внутрішньою

відкритою, якщо всі її точки

точкою множини D, якщо існує такий

внутрішні.

U (M), що U (M) D.

Множину D називають зв’язною, якщо

Точку M називають межовою точкою

будь-які її точки можна сполучити

множини D, якщо будь-який U (M)

ламаною L D.

Відкриту, зв’язну множину називають

містить як точки, які належать D, так і

точки, які їй не належать.

областю.

Об’єднання області D з її межею

Множина всіх межових точок

називають замкненою областю

множини D утворює її межу D.

D D.

D

Функція двох змінних. Якщо

y

D

f

вказано правило f, за яким кожній

y

M

точці M(x;y) D 2

відповідає

O

x x

E

z

єдине значення z E 1, то

z

D — область означення;

кажуть, що в області D означено

E — множина значень

функцію двох змінних

z f (x, y), (x;y) D 2.

z

Gf

Графіком функції z f (x, y)

O

називають

y

x

Gf {M(x;y; z) 3 | z f (x, y)}

D

6

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Функція n змінних

u f (x1, x2, ..., xn )

Лінія рівня функції z f (x, y)

z

LC {M(x;y) | f (x,y) C},

C const

O

y

x

Поверхня рівня функції

C

{M(x;y;z) | f(x,y,z) C},

u f (x, y, z)

C const

Границя функції.

0 ( ) 0

lim

f (M ) A

M U (M0 ) \ {M0}

M M0

f (M ) U (A)

Границя функції не залежить від

напряму руху точки M до точки M0.

Неперервність функції.

вона визначена в околі точки M0 і

Функцію u f (M ) називають

lim f (M ) f (M0 )

неперервною в точці M0, якщо

M M0

Функцію, неперервну в кожній точці множини D,

називають неперервною на

множині D.

Частинні прирости функції

xz(M0) f(x0 x, y0) f (x0, y0 ),

z f(x, y) у точці M0 (x0 ; y0 )

yz(M0) f (x0, y0 y) f (x0, y0),

де x x x0, y y y0

u f (x1, x2, ..., xn ) у точці

xk u(M ) f (x1, ..., xk xk , ..., xn )

M(x

; ...; x

;...; x

n

)

f (x1, ..., xk , ..., xn )

1

k

Повний приріст функції

z(M0 )

z f(x, y) у точці M0 (x0 ; y0 )

f (x0

x, y0 y) f(x0, y0 )

u f (x1, x2, ..., xn ) у точці

u(M ) f (x1 x1, ..., xn xn )

M(x1; x2; ...; xn )

f (x1, ..., xn )

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

7

Умова неперервності функції

lim u(M0 ) 0

u f (M ) у точці M0

M M0

Теорема Веєрштраса. Якщо

;

1) u f(M) обмежена в області D

функція u f(M) неперервна в

Частинна похідна функції

z

zx

(M0 )

lim

xz(M0 )

z f (x, y) за змінною x у точці M0

x

x

M

0

x 0

z f (x, y) за змінною y у точці M0

z

z

(M

0

)

lim

yz(M0 )

y

y

y 0

y

M

0

u f(x1, ..., xn ) за змінною xk ,

u

u

(M

)

k 1, n, у точці M0

xk

M0

x

k

0

xk u(M0 )

lim

1, n

, k

x

xk 0

k

Похідна складеної функції

dz z dx z dy

z f (x, y), x x(t), y y(t)

dt

x dt

y dt

u f(x1, ..., xn ),

du

n

u dxi

x1 x1(t), ..., xn xn(t)

dt

xi

dt

i 1

z f (x, y),

z

z x

z y

,

x x(u, v), y y(u, v)

u

x u

y u

z

z x

z y

v

x v

y v

u f(x1, x2, ..., xn ),

u

n

u x

i

, j 1, m

t

x

t

xi i(t1, ..., tm ),i 1, n

j

i 1

i

j

Повна похідна функції

dz

z z dy

z f (x, y), y y(x)

dx

x

y dx

8

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Похідна неявної функції

dy

F

(x, y)

x

F(x, y) 0,

y y(x)

dx

F

(x, y)

y

z

F (x, y, z)

F(x, y, z) 0,

z z(x, y)

Fx (x, y, z)

,

z

y

x

F (x, y, z)

F (x, y, z)

y

z

z

Похідні 2-го порядку функції z

f (x, y)

2z

z

2z

z

z

;

2

z

2

;

xy

x

x

x y

x x

y

x

2

z

2

z

z

z

z

2

z

2

;

yx

y

y x

y

x

y

y

y

мішані похідні

Теорема Шварца. Нехай функція

Якщо zxy

та

zyx

неперервні в точці

z f (x, y)

та її похідні zx , zy , zxy

, zyx

M0

D,

то

означені в області D.

z (M

) z (M