методичка 2 семестр интегралы

Додаток

181

Д3. Деякі визначні криві

P

P

a

O

P

a 1

0 a 1

P

Спіраль Архімеда

Логарифмічна спіраль

a

a

a

y

y

b 2a

a

x

O

P

x

O

a

P

Кардіоїда

O

P

Коло x2 y2

2ay,

Коло x 2 y2

2ax,

2a(cos 1)

2a sin ,a 0

y

O

P

a

a

x

O

P

a sin 3

a cos 3

(x2 y2)2 a2(x2

y2),

y

a

cos 2

2a

y

y

2a

a

O

a

2 a

x

O

x

O

x

Кучер Аньєзі

Астроїда

Циклоїда

3

2 3

2 3

2 3

a(t

sin t),

8a

x

y

a

,

x

y

2

2

3

x

4a

t,

x a cos

t

[0;2 ]

y a sin3 t,

z

z

z

c

a

b y

y

x

x

x

y

Еліпсоїд

Еліптичний параболоїд

Гіперболічний

x2

y2

z2

x2

y2

параболоїд

a2 b2 c2 1

a2 b2 2z

x2

y2

z

x

a2

b2

2z

z

O

x

O

y

x

z

y

Еліптичний циліндр

Параболічний циліндр

Гіперболічний циліндр

x2

y2

y

2

2px

2

2

a2 b2 1

x2

y2 1

z

z

a

b

z

O

y

y

x

y

x

x

Конус

Однопорожнинний

Двопорожнинний

x2

y2

z2

гіперболоїд

гіперболоїд

a2

b2

x2

y2

z2

x2

y2

z2

z

a2 b2 c2 1

a2 b2 c2 1

x

Сфера

Циліндрична гвинтова

Конічна гвинтова лінія

2

2

2

2

лінія

at sin t,

x

y

z

a

x at cost,y

ht

x a cost,y

a sin t, z

z bt

2

4.7. 1) z

(1, 0) 1; 2) z

(0, 0)

10;

3) z

1,

1

0; 4)

z

(3, 2) 108;

min

max

max

min

2

5) zmin(5; 2) 30;

6)zmin(1, 3)

10 18 ln 3;

7)

zmin( 2, 0)

2

;

8) максимум у точках

e

(1; 0) та ( 1; 0),

якщо a b,

максимум у точках (0;1)

та (0; 1),

якщо a b, при a b —

максимум у точках кола x2 y2

1.

1

1

1

1

1

1

4.8. 1)

,

max z(x, y) z

,

,

min

z(x, y) z

;

2

2

2

2

(x;y) D

(x;y) D

2

2

2)

max

z(x,y) z(2, 0) z( 2, 0)

4,

min

z(x, y) z(0, 2)

z(0, 2)

4;

(x;y) D

(x;y) D

3)

max

z(x, y) z( 3, 0)

z(0, 3) 6,

min

z(x, y) z( 1, 1)

1;

(x;y) D

(x;y) D

4)

max z(x, y) z(0, 5)

41,

min

z(x, y) z( 2, 1)

3;

(x;y) D

(x;y) D

5)

max

z(x, y) z(2, 1)

13,

min

z(x, y) z( 1, 1)

z(0, 1)

1.

(x;y) D

(x;y) D

6)

max

z(x, y) z(1, 2)

17,

min

z(x, y) z(1, 0)

3.

(x;y) D

(x;y) D

1

1

1

1

4.9. 1) zmin

,

1 2 2,

zmax

,

1 2 2;

2

2

2

2

2

1

2

1

2) zmin

,

5, zmax

,

5;