Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

y(1 x z2) x

			3. Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт					61
3) zu 2u(yxy 1 yx ln y yx ln y xyx 1),
z	2v(yxy 1 yx ln y yx ln y xyx 1);
v
4)	zu (sin y y sin x)		1			(x cos y cos x)v,
			v
				u
zu				u
zu	(sin y y sin x)				2		(x cos y cos x)u.
				v	2
				v
2.15. 1) dz		z2e2x xe2z				dx; 2) dz z cos x sin(x z) dx;
2.15. 1) dz						dx; 2) dz z cos x sin(x z) dx;
	x2e2z ze2x						sin(x z) sin x

3) dz y2(z 3x2 )dx (3y4 zezy )dy ; 4) dz zdx z(1 x2z2)dy . y(ezy xy)

2.16. 1) d2u (2x2 y2)dx2 2xydxdy (x2 2y2)dy2 ;

x2 y2

2) d2u xy3dx2 2dxdy x3ydy2 . (1 x2y2 )3

3)d2u exy(y(y2 xy 2)dx2 2(x y)(xy 2)dxdy x(x2 xy 2)dy2);

4)d2u x1 dx2 y2 dxdy yx2 dy2;

5)d2u 2(dxdy dxdz dydz);

6)d2u exyz((yzdx zxdy xydz)2 2(zdxdy xdydz ydzdx)).

2.17. d2u(0, 0, 0) 2dx2

4dy2

6dz2 4dxdy 8dxdz 4dydz.

4x(3y2 x2)

2.18. 1)

2y3(2 xy2)exy

; 2)

;

)

fxy fxz

y fyz

x fzz

x y

fz xy ;

x y

u 2sf 2sf 2tf , u 2tf

2tf

2sf .

z t

2.19. 1) 2, 22; 2) 257, 41.

3. Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт

Навчальні задачі

3.1.1. Знайти похідну функції u(M ) xy2 z2 xyz у точці M0(1;1; 2) за на-

прямом l (1; 2;1)T .

Розв’язання. [1.5.3.] [Записуємо формулу для похідної за напрямом.]

u(M

) [1.5.3]

u(M

)

u(M

)

u(M

)

cos

cos .

62	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

де l 0 (cos ; cos ; cos )T .

[Обчислюємо частинні похідні.]

u	(y2 yz) \|	1;
	(y2 yz) \|	1;
x	(1;1;2)
x	M
	0

uyuz

(2xy xz) |(1;1;2) 0;

(2z xy) |(1;1;2) 3.

[Обчислюємо напрямні косинуси вектора

cos

;

cos

;

cos

l .]

12 (2)2 12 2;

1	, cos	1	, cos	1 .

2		2		2

[Підставляємо знайдені частинні похідні і напрямні косинуси у формулу.]

u(M0 )	( 1)	1		0	1	3	1		1.
l			2					2
				2

3.1.2. Знайти				одиничний					вектор внутрішньої нормалі до
		x	2	y	2	z	2				1
		x		y		z		1	у точці M0		1
S	:									1;1;			.


		4		4		1
		4		4		1						2

Розв’язання. [1.5.4, 1.5.5, 1.7.2.]

[Записуємо рівняння поверхні у вигляді F(x, y, z) 0.]

					F(x, y, z)					x			2		y2			z2		1.
					F(x, y, z)						4				4			1		1.
											4				4			1
[Записуємо формулу для вектора нормалі до поверхні S. ]
									[1.7.2]
							(M0 ) grad F(M0 ).
						n	(M0 ) grad F(M0 ).
[Записуємо формулу для grad F(M0 ).]
					[1.5.4]			F(M			)					F(M			)			F(M	)
								F(M		0	)					F(M			)			F(M	)
		grad F(M			)					0			i					0		j		0		k .
		grad F(M			)								i							j				k .
			0						x								y					z
									x								y					z
[Обчислюємо частинні похідні.]
F (M		) x		1	; F (M				) y					1 ; F (M							) 2z \|				2
																									2

x	0	2		2	y			0	2						2			z		0		M0		2
				M0								M0

[Підставляємо знайдені похідні ]

поверхні

	3. Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт									63
grad u(M0 ) 1				1						z

		i				j		2k	.
		i		2		j		2k	.		n
2				2
Вектор внутрішньої нормалі до еліпсоїда у точці M0												y
утворює тупі кути з осями координат, отже,										x
							T			x



			1	;	1	; 2				Рис. до зад. 3.1.2
			1		1					Рис. до зад. 3.1.2
l n(M0 )							.
					2
			2		2

[Знаходимо орт вектора нормалі.]
																															1							1																					5.
														n
			0				0								;																												(						2)2
	l
						n																n
						n																n
														n				T													22				22																				T				2

						2								1																	1												1									2

		0							1
	l											;			; 2																			;												;									.


														2																	10												10
								5 2						2																	10												10										5
3.2. Знайти				градієнт,										величину													і			напрям														найбільшої															зміни			функції

u(M )					x2 y2							z2				у точці M0(1; 2;1).
Розв’язання. [1.5.4, 1.5.6.] [Записуємо формулу для grad u(M0 ). ]
												[1.5.4] u(M											0		)						u(M									0		)						u(M								0	)
												[1.5.4] u(M													)						u(M											)						u(M									)
		grad u(M								0	)															i																		j														k .
		grad u(M									)							x								i							y											j								z						k .


[Обчислюємо частинні похідні функції u(M).]
								u																			x
								u																			x																			1				;
								x
													M0							x2 y2 z2																M
																																															6
																																									0						6


								u																			y
								u																			y																			2				;
								y																																										;
								y					M0							x2 y2 z2																M											6
													M0							x2 y2 z2																M					0
																																									0
								u																			z
								u																			z																			1				.
								z
													M0							x2 y2 z2																M
																																															6
																																									0
																																									0
[Знаходимо grad u(M0 ). ] 
								grad u(M									)							1								2													1						.
																0								1				i				2							j						1				k
																												i											j										k
																										6							6												6
																										6							6												6
[Обчислюємо довжину grad u(M0 ). ]
										grad u(M									0		)								1 4								1								1.
										grad u(M											)								1 4								1								1.
																													6				6									6
																													6				6									6													1				2	1


Найбільша зміна функції відбувається у напрямі вектора																																															;					;		; вели-
Найбільша зміна функції відбувається у напрямі вектора																																															;					;		; вели-
																																																								6			6
																																																								6			6		6

чина зміни дорівнює 1.

64	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Коментар.  Найбільша зміна функції відбувається у напрямі градієнта. Величина цієї зміни дорівнює довжині градієнта.

3.3. Скласти рівняння дотичної площини P та нормалі L до поверхні

S : x3 y3 z3 xyz 6 0 у точці M0(1; 2; 1).

Розв’язання. [1.7.3, 1.7.4.] [Записуємо рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні F(x, y, z) 0.]

P : Fx (M0 )(x x0 ) Fy(M0 )(y y0 ) Fz (M0 )(z z0 ) 0;

L : x x0 y y0 z z0 . Fx (M0 ) Fy (M0 ) Fz (M0 )

[Обчислюємо частинні похідні функції F(x, y, z).]

Fx (M0 ) (3x2 yz) |(1;2; 1) 1;

Fy(M0 ) (3y2 xz) |(1;2; 1) 11;

Fz (M0 ) (3z2 xy) |(1;2; 1) 5.

Рівняння дотичної площини P :

1(x 1) 11(y 2) 5(z 1) 0, x 11y 5z 18 0.

Рівняння нормалі L:

x 1	y 2	z 1 .
1	11	5

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

3.4.Знайдіть напрям і величину grad u(M0 ), якщо:

1) u x2 y2, M0(3; 2);

2) u

4 x2 y2 , M0(2;1);

3)u x2 y2 z2 2xyz, M0(1; 1; 2);

4)u x3 y3 z3 3xyz, M0(2;1;1).

3.5.

Нехай

x2 y2

z2 . Знайдіть

grad u,

zk , r

якщо:

1) u r2 ;

2) u

1 .

3.6.

1. Знайдіть кут між

градієнтами

функції

z arcsin

точках

x y

M1(1;1) та M2(3; 4).

3. Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт

2. Знайдіть

кут

між

градієнтами

функцій

x2 y2

та

у точці M0(3; 4).

v x 3y

3xy

3.7.

Знайдіть

кут

між

градієнтами

функцій

u x2

y2 z2

та

v arcsin

у точці M0(1;1;

7).

3.8.

Знайдіть похідну функції u у напрямі

у точці M0 ,

якщо:

1) u arctg xy, l

;

, M0(1;1);

2) u x sin(x y), l

( 1; 0), M0

;

3) u x3

3x2y 3xy2 1,

M M

, M

(3;1), M

(6; 5);

4) u 5x 10x2y y5,

M0M1, M0(1; 2), M1(5; 1);

5) u x

2xy

, l

;

3yz

, M0(3; 3;1);

6) u ln(x

), l

;

, M0(1; 2;1);

7) u xyz,

M0M1, M0(5;1; 2),

M1(9; 4;14);

8) u x2y2z2,

M0M1, M0(1; 1; 3), M1(0;1;1).

3.9.

Знайдіть найбільше значення u

у точці M0 , якщо:

2) u x

1) u xy2 3x 4y5, M0(1;1);

y , M0(2;1);

3) u ln xyz, M0(1; 2; 3);

4) u tg x x 3 sin y sin

ctg z, M

;

3.10.Знайдіть швидкість змінювання функції u xyz у точці M0(5;1; 8) у напрямі вектора l M0M1, M1(9; 4; 4).

66	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

3.11. Знайдіть напрям і величину найбільшого змінювання функції u(M) 5x2yz 7xy2z 5xyz2 у точці M0(1;1;1).

3.12.Знайдіть одиничний вектор, напрямлений уздовж нормалі до поверхні S у точці M0 , якщо:

1)S : (z2 x2 )xyz y5 5, M0(1;1; 2);

2)xy xz yz 3, M0(1;1;1).

3.13.Запишіть рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці M0 :

	1)	z 2x2					4y2, M0(2;1; 4);								2) z x2 y2, M0(1; 2; 5);
	3)		x2		y2			z2		0, M0(4; 3; 4);
	3)	16			9			8		0, M0(4; 3; 4);
		16			9			8
	4)	x2 y2					z2			2Rz, M0(R cos ; R sin ; R);
			x	2	y	2		z	2		a		b
	5)		x		y			z			a		b		c
										1, M0		;		;			;


				2		2			2
		a		2	b	2		c	2		3		3			3
		a			b			c			3		3			3
	6)	z y ln x							0, M0(1;1;1).
								z
3.14.	1. До поверхні x2 2y2 3z2											21 провести дотичні площини, які па-
	ралельні площині x 4y 6z											0.
	2. До поверхні x2 2y2 z2											1 провести дотичні площини, які пара-
	лельні площині x y 2z 0.
3.15.	Запишіть рівняння дотичної і нормальної площини до кривої:

1) x R cos2 t, y R sin t cos t, z R sin t, t0 4 ;

2) x t2, y 1 t, z t3, M0(1; 0;1).

Відповіді

3.4. 1)	6		4		; 2)	2					1			; 3) 6			6						; 4) 9
3.4. 1)	6	i	4	j	; 2)	2				i	1		j	; 3) 6	i		6			j	6k		; 4) 9		i	3	j	3k .
						3						3
												grad 1							.
3.5. 1)	grad r2				2				; 2)									r
							r											r
							r
														r			r3
3.6. 1)	cos				7			; 2)				cos						12				. 3.7.		.
3.6. 1)	cos							; 2)				cos										. 3.7.		.
					5	2										5		145						2

																					4. Екстремуми функції кількох змінних																										67
3.8. 1)			1		.2) 1;									3) 0; 4) 18; 5) 62; 6) 5																		; 7)					98		;		8) 22.
3.8. 1)					.2) 1;									3) 0; 4) 18; 5) 62; 6) 5																		; 7)					13		;		8) 22.
				2																										9							13
																				7 ; 4)
													29			; 3)									137			.
3.9. 1)				290; 2)									29			; 3)									137			.
													2							6					8
3.10. 92 .							3.11. grad u(M0) 8																				4									, max				u(M0)						grad u(M0)		12.
																									i				j		8k									u(M0)
																									i				j		8k
			13																				T																			l
						2							1							11			T												1
						2							1							11										1					1				1
3.12. 1)											;								;						; 2)								;					;				.
3.12. 1)											;								;						; 2)								;					;				.

					3 14 3 14 3 14																									3 3											3
3.13. 1) 8x 8y z 4, x 2 y 1																															z 4 ;
																				8							8						1
2) 2x 4y z 5 0, x 1 y 2 z 5																																					;
																				2						4						1
3) 3x 4y 6z 0, x 4 y 3 z 4																																			;
																		3				4									6
4) x cos y sin R 0,																							x R cos y R sin																				z R				;
																										cos												sin					0
	x		y				z															a										b											c

5)
5)														3, a				x								b y											c				z				;
	a		b c
	a		b c																				3											3										3
6) x y 2z 0; x 1																				y 1						z 1 .
															1							1			2
3.14. 1) x 4y 6z 21;																						2) x y 2z															11
3.14. 1) x 4y 6z 21;																						2) x y 2z															2 .
			x						R			y					R				z			R
3.15. 1)			x						2			y					2				z			2		, x 2 z 0;
				2
													0								2
													0								2
2)	x 1							y		z 1 , 2x y 3z 5 0.
2)	x 1					1				z 1 , 2x y 3z 5 0.
		2				1							3

4. Екстремуми функції кількох змінних

Навчальні задачі

4.1.Розвинути функцію z exy за Тейлоровою формулою з центром у точці M0(0;1) до членів 2-го порядку включно.

Розв’язання. [1.8.1.] [Записуємо Тейлорову формулу 2-го порядку з центром у точці M0(0;1).]

z(x, y) z(0, 1) 11! zx (0, 1)x zy(0, 1)(y 1)

21! (zx2 (0, 1)x2 2zxy(0, 1)x(y 1) zy2 (0, 1)(y 1)2 ) R2(x, y).

68	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

[Обчислюємо частинні похідні функції z у точці M0.]

z(M0 ) 1;

z(M0 )

x y 1

(0;1)

z(M0 )

x y

(0;1)

x y 1

z(M0 )

(0;1)

x y x

x y 1

z(M0 )

x y

(0;1)

x y x

x y 2x

z(M0 )

(0;1)

[Підставляємо обчислені похідні в Тейлорову формулу.]

exy 1 x 12 x2 x(y 1) R2(x, y).

4.2.Дослідити функцію z(x, y) x3 3xy2 15x 12y на екстремум.

Розв’язання. [1.8.2–1.8.6.]
[Крок 1.	Визначаємо область означення функції.]
		D(z) 2.
[Крок 2.	Знаходимо стаціонарні точки функції z із системи
	z 3x2	3y2 15, z 6xy 12.
	x	y

3x2 3y2 15 0,

6xy 12 0.

Стаціонарними є точки: M0(2;1), M1( 2; 1), M2(1; 2), M3(

		0,
z	x	0,
	x		.]
		0	.]
z		0

	y
	y

1; 2).

[Крок 3. Для кожної точки перевіряємо достатню умову існування екстремуму і висновуємо.]

[Знаходимо похідні 2-го порядку функції z.]

2z	6x;	2z	6y;	2z	6x;
x2		x y		y2

4. Екстремуми функції кількох змінних

det H(x, y)

36x2 36y2.

Для M0(2;1) :

A0 6x

M0 (2;1)

12, B0

M0 (2;1)

6,C0 6x

M0 (2;1) 12;

0 144 36

108 0, A0

0 M0 min .

Для M1( 2; 1):

12, B1 6,C1 12;

144 36 108 0, A1 12 0 M1 max .

Для M1(1;2):

6, B2 12,C2

не екстремум.

36 144 0

Для M3( 1; 2):

6, B3 12,C3 6;

36 144 0

не екстремум.

4.3.1. Знайти найбільше та найменше значення функції

zx2 y2 xy x y

вобласті D : x 0, y 0, x y 3.

Розв’язання. [1.9.1, 1.9.6.]					y
[Зображуємо область D D L1		L2 L3.]			y		D
[Зображуємо область D D L1		L2 L3.]			3		D
[Крок 1. Знаходимо стаціонарні точки, які потрапляють					3
[Крок 1. Знаходимо стаціонарні точки, які потрапляють					L1	D
			0,		L1	D	L
	z	x	0,				3
		x		]
усередину області D із системи			0.	]
	z		0.
		y
		y			O		L2	3 x
zx 2x y 1,					O		L2	3 x
zx 2x y 1,	zy 2y x 1.				Рис. до зад. 4.3.1

		0,
2x y 1		0,	x 1,
				M	(1;1) D.
	2y x 1	0.		M	(1;1) D.
	2y x 1	0.	y 1;	0

[Крок 2. Знаходимо стаціонарні точки на межі області і долучаємо до них кінцеві точки кожної ланки.]

На L1 x 0, 0 y 3 :

z(x, y)		z	(y) y2	y, y [0; 3].

	x 0	1

		1				1
z	2y 1 0;y	1				1	L .
			; M		0;
			; M		0;
1		2		1		2	1
		2				2

70	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

M2(0; 0) L1, M3(0; 3) L1.

На L2 y 0, 0 x 3 :

z(x, y)		z	(x) x2	x, x [0; 3].

	y 0	2

										1			1
z 2x 1							0; x			1			1				L .
z 2x 1							0; x				; M			; 0			L .
2										2		4						2
										2		2
			M2(0; 0), M5(3; 0) L2.
На L3 y 3 x, 0 x 3 :
z(x, y)				z		(x) 3x2 9x 6, x [0; 3].
z(x, y)				z		(x) 3x2 9x 6, x [0; 3].
	y 3 x				3					3			3		3
	y 3 x				3

z 6x					9		0; x				; M			;			L .
z 6x					9		0; x				; M			;			L .
3																		3
3										2		6			2			3
										2		2			2
			M3(0; 3), M5(3; 0) L3.
[Крок 3. Порівнюємо значення функції у знайдених точках.]
				z(M0 ) z(1, 1) 1;
			1					1
			1					1
z(M1) z		0,							; z(M2 )			z(0, 0) 0;
			2					4
			2					4
															1				1
z(M3 ) z(0, 3)					6;				z(M4 )			z			1				1	;
z(M3 ) z(0, 3)					6;				z(M4 )			z				, 0				;
																			4
														2					4
															3				3
z(M5 ) z(3, 0)					6;				z(M6 ) z						3	,	3		3	.
z(M5 ) z(3, 0)					6;				z(M6 ) z							,				.
																			4
														2			2		4

[Висновуємо.]

max z(M) z(0, 3) z(3, 0) 6;

M D

min z(M) z(1, 1) 1.

M D

4.3.2. Знайти найбільше та найменше значення функції z x y в області

D : x 2 y2 4.

Розв’язання. [1.9.1, 1.9.6.]

1. zx 1, zy 1 стаціонарних точок функція не має.

2.	Межу області коло x2 y2		4 задаємо	параметрично

x 2 cos t,
		(0 t 2 ).
		(0 t 2 ).
y 2 sin t

	z(x, y) \|x 2 cos t, z(t) 2 cos t 2 sin t, t
	z(x, y) \|x 2 cos t, z(t) 2 cos t 2 sin t, t			[0; 2 ].
		y 2 sin t

y D

2 x

Рис. до зад. 4.3.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc