Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

171

[Крок 3. Записують частинний розв’язок ЛНДР з невизначеними коефіцієнтами.]

Оскільки права частина

f (x) 6x2 2x 5

є многочленом 2-го степеня, а число k 0 є коренем кратності s 1 характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо у вигляді:

y x Ax2 Bx C Ax3 Bx2 Cx.

[Крок 4. Визначаємо коефіцієнти, підставляючи частинний розв’язок у ЛНДР.]

		y 3Ax2 2Bx C;


		y 6Ax 2B;
		y 6A.

6A 5 6Ax 2B 6 3Ax2 2Bx C								6x2 2x 5.
18Ax2 (12B 30A)x (6A 10B 6C) 6x2 2x 5.
[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях.]
									1
									1	,
					A					,
	18A 6,
									3
									3
									1,
	12B 30A 2,			B					1,

									1
	6A 10B 6C 5,								1	.
					C					.
									2
Частинний розв’язок ЛНДР має вигляд									2
Частинний розв’язок ЛНДР має вигляд
				2				1
		x						1
	yчаст. неодн. y x				x

									.
			3					2
			3					2
[Крок 5. Записуємо загальний розв’язок ЛНДР.]
y	заг. неодн.	C C e2x C e	3x			1	x3 x2				1	x .
y		C C e2x C e					x3 x2					x .
		1 2 3			3					2
		заг. одн.
		заг. одн.					част. неодн.
							част. неодн.
23.3.2. Знайти загальний розв’язок ДР y y 6y									(12x 15)e x .

Розв’язання. [3.6.3, 3.7.]

Маємо ЛНДР 3-го порядку зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною.

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

y y 6y 0;

3 2 6 0;

1 0 y1 1; 2 2 y2 e2x ; 3 3 y3 e 3x . yзаг. одн. C1 C2e2x C3e 3x .

172	Розділ 3. Диференціальні рівняння

Оскільки права частина ДР має вигляд [3.7.2]:

f (x) (12x 15)e x ,

число k 1

не є коренем характеристичного рівняння, а f (x) 12x 15 —

многочлен 1-го степеня, то частинний розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

(Ax B)e x .

y Ae x (Ax B)e x

e x (A B Ax);

A B

Ax Ae

(Ax B 2A);

y e x (Ax B 2A) Ae x

e x 3A B Ax .

[Підставимо ці вирази в рівняння та скоротимо на e x .]

6Ax 5A 5B 12x 15.

12,

5B 5A 15,

част. неодн.

(2x 5)e x .

заг. неодн.

C e2x

C e 3x (2x 5)e x .

23.4. Розв’язати задачу Коші

y 4y sin 2x,y(0)

1,y (0) 2.

Розв’язання. [3.6.3, 3.7.]

Маємо задачу Коші для ЛНДР 2-го порядку зі спеціальною правою частиною.

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

	y	4y 0;
		y			cos 2x,
2 4 0;	k1,2	2i	1		sin 2x.
		y			sin 2x.

				2
				2
yзаг. одн.	C1 cos 2x C2 sin 2x.

Оскільки права частина ДР має вигляд [3.7.5]

f (x) sin 2x 0 cos 2x 1 sin 2x,

числа k 2i є коренями кратності s 1 характеристичного рівняння, то частинний розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

y x A cos 2x B sin 2x .

Звідси:

y A cos 2x B sin 2x 2x( A sin 2x B cos 2x); y 4A sin 2x 4B cos 2x 4x( A cos 2x B sin 2x).

Підставимо ці вирази в рівняння

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

173

4A sin 2x 4B cos 2x 4x( A cos 2x B sin 2x)4x(A cos 2x B sin 2x) sin 2x;

4A 1, 4B 0 A 14 , B 0.

yчн. неодн. y 4 x cos 2x.

Загальний розв’язок ЛНДР

y C1 cos 2x C2 sin 2x 4 x cos 2x.

[Визначаємо значення довільних сталих, тобто частинний розв’язок ЛНДР, який справджує початкові умови.]

y 2C	1	sin 2x		2C			2	cos 2x 1 cos 2x 1 x sin 2x.
	1						2	4			2
								4			2
			C		1,						1,
y(0)			C	1	1,				C	1	1,
				1						1
								,
			2C			1		,			7 .
y (0)			2C		2	1		2	C	2	7 .
					2					2
							4				8
							4				8

Розв’язок задачі Коші:

y cos 2x 78 sin 2x 14 x cos 2x.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

23.5.Складіть загальний розв’язок рівняння y 3y 2y f(x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1) f (x) 10e x ;	2) f (x) 3e2x ;
3) f (x) 2 sin x;	4) f (x) 2x3 30;
5) f (x) x e 2x 1;	6) f (x) sh x.

23.6.Складіть загальний розв’язок рівняння 2y 5y f (x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1)	f (x) 5x2 2x 1;						2)	f (x) 29 cos x;
3)	f (x)		1	e 2,5x 25 sin	5x	;	4)	f (x) 3 ch	5x .
		10			2
									2

23.7.Складіть загальний розв’язок рівняння y 4y 4y f (x) , підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1) f (x) 1;

2) f (x) e x ;

174	Розділ 3. Диференціальні рівняння

3) f (x) 3e2x ;

4) f (x) sh 2x.

23.8.Складіть загальний розв’язок рівняння y y f (x), підбираючи його частинний розв’язок, якщо:

1)	f (x) 2x3 x 2;	2)	f (x) 8 cos 3x;
3)	f(x) cos x;	4)	f (x) sin x 2e x .

23.9. Розв’яжіть задачу Коші:

1) 4y 16y 15y 4e 3x2, y(0) 3,y (0) 5, 5;

2)y y 2(1 x), y(0) 1,y (0) 1;

3)y 2y ex (x2 x 3), y(0) 2,y (0) 2;

4)y y sin 2x, y( ) y ( ) 1;

5) y y 5e x (sin x cos x), y(0) 4,y (0) 5;

6)y 2y 2y 4ex cos x, y( ) e ,y ( ) e ;

7)y 2y y 2e 2x , y(0) 2,y (0) 1,y (0) 1;

8)y y 3(2 x2 ), y(0) y (0) y (0) 1;

9)y(4) y 8ex ,y(0) 0, y (0) 2,y (0) 4,y (0) 6.

23.10.Знайдіть загальний розв’язок рівняння:

1) y y ctg2 x;

2) y 2y y

;

3) y y

4) y y e2x

;

1 e2x ;

5) y y e2x cosex ;

6) y y

;

sin5 x cosx

7) y 2y 2y

ex sin x

Відповіді

23.5. y C1ex C2e2x y , 1) y 53 e x ; 2) y 3xe2x ; 3) y 35 cos x 15 sin x;

												24. Системи лінійних диференціальних рівнянь																											175
4) y	x3					9 x2					21 x 15					; 5) y x							5				1		e 2x ; 6) y								1	e x	1 xex .
4) y	x3					9 x2					21 x 15					; 5) y x							4			12			e 2x ; 6) y									e x	1 xex .
						2					2			4							2		4			12										12			2
23.6. y C					C e 5x 2								y		,	1)		y	1 x3 3 x2											7		x; 2) y			5 sin x 2 cos x;
23.6. y C				1	C e 5x 2								y		,	1)		y	1 x3 3 x2													x; 2) y			5 sin x 2 cos x;
				1					2											3				5					25
																				3				5					25
				5x							5x			1			5x 2									1			5x 2				5x
3) y	cos			5x			sin				5x			1	xe		5x 2		;4) y					3		1			5x 2			xe	5x		2
																												e							.
																												e							.
				2							2			50
				2							2			50									10 5
23.7.	y e		2x		(C				C x) y						,	1)		y		1	;	2) y						1		x	;	3) y			3	2 2x		;
23.7.	y e				(C			1	C x) y						,	1)		y			;	2) y							e		;	3) y				x e		;
								1			2									4								9							2
																				4								9							2
				2			2x			1
4) y		1		2			2x			1	e	2x
4) y		x e									e		.
										8
		4								8
23.8. y C1 cos x C2 sin x y , 1) y																					2x3				13x 2; 2)									y	cos 3x;
3) y	x sin x; 4) y x cos x e x .
		2												2
23.9. 1) y (1 x)e 3x													2 2e 5x 2;						2) y ex						x2; 3)							y ex (ex				x2		x 1);
4) y		1 sin 2x 1 sin x cos x;																5) y 2ex					(sin x 2 cos x)e x 4;
		3							3
6) y [ cos x									( 1 2x) sin x]ex ;												7) y 4						3e x e 2x ;

8) y ex x3; 9) y 2xex .

23.10. 1) y 2 C1 cos x C2 sin x cos x ln tg x2 ;

2)	y ex (C			1	C x ln	x2 1			x arctg x); 3)						y ex(x C					) (ex 1)ln(ex 1) C		;
				1	2											1					2
4)		1	ex arcsin ex ex							C1			1				C2;
	y	1						1 e	2x				1	(1 e2x )3
	y	2						1 e	2x					(1 e2x )3
		2										3
5)	y C ex				cosex C		; 6) y C					cos x C				sin x		4
											1				2			4	cos x		ctg x;
																			cos x		ctg x;
		1				2										3
																3

7)y (C1 x)e x cos x C2 ln sin x e x sin x.

24.Системи лінійних диференціальних рівнянь

Навчальні задачі

24.1.1. Розв’язати систему ДР

ним методом.

Розв’язання. [3.8.]


x 5x 8y,
	методом виключення і матрич-
	методом виключення і матрич-
y 3x 3y

Це однорідна система ЛДР.

Метод виключення. [Виражаємо з 1-го рівняння y і підставляємо його в 2-го рівняння. Дістанемо ЛОДР 2-го порядку щодо функції x(t).]

176	Розділ 3. Диференціальні рівняння

								x		5x
								x		5x
	x	5x									,
	x	5x
			,		y
y		8	,						8
		8					5x		8			x 5x
					x		5x					x 5x
y 3x 3y,									3x 3				.
y 3x 3y,

							8					8
							8					8
				x 8x			9x 0;
				2 8 9 0;
				1	1, 2				9;
			x(t)		C e t C e9t .
						1				2

[Знаходимо функцію y(t).]

	x	(t) C e t 9C e9t ;
					1				2
	x (t) 5x(t)		C e t			9C e9t				5C e t 5C e9t
y(t)					1				2	1	2
y(t)	8			3				1		8
	8									8
					C e t				C e9t .
				4	C e t				C e9t .
				4	1		2		2

Відповідь. x C1e t C2e9t,y 43C1e t 12C2e9t,C1,C2 .

Матричний метод.

[Крок 1. Записуємо систему в матричному вигляді.] x Ax,

					5	8

	x		x				.
де x		,x		,A
					3	3
	y		y

[Крок 2. Записуємо характеристичне рівняння.]

5	8	0.
3	3	0.
3	3

[Крок 3. Розв’язуємо характеристичне рівняння.]

5 8		2		1,

	0		1
	0		8 9 0
3 3				9.
3 3			2	9.

[Крок 4. Оскільки корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то знахо-

димо власні вектори, які відповідають власним числам.]

				4			4				4
				4			4				4
6	8		1			C
			1		1	C		1
				3	1		3	1			3
				3			3		A		3	.
	4								1
3	4			0		C
		0		0	2	C	1			1
					2		1

9 :

			24. Системи лінійних диференціальних рівнянь																									177
					8								2C
	4				8		1		2			1	2C					1								2
												1						1		A
																				A								.
		3								0			C									2
		3		6			0			0		2	C				1					2			1
												2					1

[Крок 4. Записуємо загальний розв’язок системи.]
														4
			4											4							t
			4		t					9t						C e					t	2C				,
x					t		2			9t	x					C e						2C			2	,
			3											3					1						2		C1,C2 .
	C1		3	e		C2		e						3													C1,C2 .
															t								9t
y							1								t					C e			9t	,
	1										y C e									C e				,
													1									2
Коментар.У системі x та y є функціями змінної t : x																						x(t),y y(t).
Із 1-го рівняння, яке містить x ,								можна виключити змінну y (або з 2-го рівняння,
яке містить y , — змінну x).
										x y,
							x			x y,

24.1.2. Розв’язати систему ДР
													t	.
							y			x y e				.

Розв’язання. [2.19.4.]

Це неоднорідна система ЛДР.

[Розв’яжемо її методом виключення змінних. Виражаємо з 1-го рівняння функцію y.]

				x
y	x x ,		y	x		x ,

		t				t
	x y e			x	y e .
y	x y e		y	x	y e .

x x x (x x ) et ; x 2x 2x et .

[Для функції x(t) маємо ЛНДР 2-го порядку зі спеціальною правою частиною.]

x(t) xзаг. одн.(t) xчаст. неодн.(t).

2 2 2 0;									1 i;
								1,2
x	0	C et			cost C et sin t.
	0		1					2
		f(t) et ,k 1 .
									1,2
				x		Aet .

		x Aet ;x					Aet .

Aet 2Aet						2Aet			et ;
				A 1.
		x	част. неод.			x		et .
			част. неод.

x C1et cost C2et sin t et .

[Знаходимо функцію y(t).]

178	Розділ 3. Диференціальні рівняння

x C1et (cost sin t) C2et(sin t cost) et ; y x(t) x (t) C1et sin t C2et cost.

Відповідь. x C1et cost C2 sin t et ,y C1et sin t C2et cost.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

24.2. Знайдіть загальний розв’язок системи:


dx		dx
	2x y,
	2x y,

1) dt		2) dt
dy		dy
	3x 4y;
	3x 4y;

dt		dt

x 3y,

3x y;


dx		t
		t	,
	2y 5x e		,

3) dt
dy		2t
	x 6y e	2t		;
	x 6y e			;

dt

24.3. Розв’яжіть задачу Коші:


dx
	3x 4y,
	3x 4y,

dt
1) dy
	2x 5y,
	2x 5y,

dt

x(0) 1,y(0) 4;

	dx		dy
	dx		dy
				3x sint,
4				3x sint,
	dt		dt
4)	dt		dt
dx
		y cost.
		y cost.

dt

dx
		x 5y,
		x 5y,

dt
2) dy
		x 3y,
		x 3y,

dt

x(0) 2,y(0) 1.

Відповіді

							C e		t		C e				5t		,										t	(C		cos 3t C					sin 3t),
				x			C e				C e						,				x e							(C	1	cos 3t C				2	sin 3t),
24.2.								1						2															1					2
24.2.			1)			C et							3C e5t ;							2)										sin 3t C					cos 3t);
				y		C et							3C e5t ;								y et(C								1	sin 3t C			2		cos 3t);
								1								2													1				2
																	7					1
							4t						7t				7			t		1			2t									t			3t
							4t						7t							t					2t									t			3t
		x C e						C e											e					e			,			x C e						C e		,
		x C e						C e											e					e			,			x C e						C e		,
3)					1						2						40					5									1					2
3)				1													40					5	3					4)								3C e 3t cost.
				1														1					3							y C e t						3C e 3t cost.
	y				C e 4t C e 7t															et						e 2t ;					1					2
	y				C e 4t C e 7t															et						e 2t ;					1					2
						1						2
				2														40					10
				2														40					10
										t						7t																t
							2e						3e					,						(sin t					2 cost)e						,
24.3.				x			2e						3e					,	2)		x			(sin t					2 cost)e						,
24.3.			1)			e t						3e 7t				;			2)				e t cost.
				y		e t						3e 7t				;					y		e t cost.

Додаток

Д1. Основні правила і формули диференціювання

(Cu)

Cu ,C const

(u v)

u v

(uv) u v uv

u v uv

f(u) x fu ux

y y(ln y)

(u ) u 1u

lna

(a )

u ,a 0

(e )

(log u)

(ln u) u

u lna

(sinu)

cosu u

(cosu) sin u u

(tg u)

(1 tg2 u)u

(ctg u)

(1 ctg2 u)u

cos2 u

sin2 u

(arcsin u)

1 u2

(arccos u)

1 u2

(arctg u)

(arcctg u)

1 u2

(shu)

chu u

(ch u)

shu u

(th u)

(cth u)

ch2 u

sh2 u

180 Додаток

Д2. Основні формули інтегрування

u 1

u du

( 1)

eudu eu C

a du

lna

sin udu C cosu

cosudu sinu C

tg u C

C ctg u

sin2 u

cos2 u

sh udu ch u C

ch udu sh u C

th u C

C cth u

sh2 u

ch2 u

u2 a

arcsin a

a2 u2

a 0

1 arctg u C,

u a

a 0

sin u

cosu

tg udu

C ln

cosu

ctg udu ln

sin u

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc