методичка 2 семестр интегралы

 Q

P ;

R

Q ;

P

R

Pdx Qdy Rdz

x

y

y

z

z

x

L

не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy Rdz dU

Pdx Qdy Rdz 0 L

є повним диференціалом

L

 Q

P

Pdx Qdy

x

y

L

не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy dU

Pdx Qdy 0 L

є повним диференціалом

L

Інтеграл від повного диференціала

dU U(B) U(A)

AB

Відновлення функції за її

x

диференціалом

U(x, y, z) P(t, y0, z0 )dt

dU Pdx Qdy Rdz

x0

y

z

Q(x, t, z0 )dt R(x, y, t)dt C

y0

z0

Відновлення функції за її

U(x, y)

диференціалом

x

y

dU Pdx Qdy

P(t, y0 )dt Q(x, t)dt C

x0

y0

Розділ 2. Визначені інтеграли

33

Поверхневий інтеграл 1-го роду від

z

Mi( i ; i ; i )

функції f (x, y, z) за поверхнею

i

f (x, y, z)d

n

lim

f ( i, i, i ) i,

O

y

max di 0 i 1

n

x

де i

— площа ділянки; di — її діаметр.

Геометричний зміст поверхневого

інтеграла 1-го роду. Маса,

f (x, y, z)d m( )

розподілена на поверхні з густиною

f (x, y, z) 0

Поверхня : z z(x, y)

f (x, y, z)d

однозначно проектується в область

DOxy

f (x, y, z(x, y))

1 zx2 zy2dxdy

DOxy

d

1 z 2

z 2dxdy

x

y

Площа поверхні

S( ) d

Маса розподілена на поверхні

m( ) (x, y, z)d

з густиною (x, y, z)

34

Розділ 2. Визначені інтеграли

Статичні моменти поверхні

z

щодо координатних площин

xy

(x, y, z)d

M

y

xz

x

yz

Координати центра мас

x

Myz

;y

Mxz

; z Mxy

поверхні

c

m

c

m

c

m

Моменти інерції поверхні

2

z

щодо координатних площин

I

xy

2

(x, y, z)d

y

xz

x

2

yz

Моменти інерції поверхні

2

z

2

y

2

щодо осей координат

Ox

z

2

I

x

(x, y, z)d

Oy

y2

x2

Oz

Момент інерції поверхні

IO (x2

y2 z2) (x, y, z)d

щодо початку координат

2.18. Поверхневі інтеграли 2-го роду

Орієнтовані поверхні. Поверхню

n

, у кожній точці якої вказано

нормальний вектор

й напрям обходу

n

контуру ,

називають орієнтованою.

Поверхневий інтеграл 2-го роду

z

0

i

від вектор-функції

n

(Mi )

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

a

a

i

j

R(x, y, z)k

Mi

за вибраним боком поверхні

Pdydz Qdxdz Rdxdy

O

y

(a

,

0)d

x

n

де i

— площа ділянки;

n

di — її діаметр

lim

(a

(Mi ),

0(Mi )) i

n

max d

0

i 1

i

n

Скалярне поле

u(M) u(x, y, z), M G 3

Поверхня рівня

u(x, y, z) C const

Градієнт

grad u

u

u

u k

i

j

x

y

z

Правила обчислення градієнта

4)

grad(uv) v grad u u grad v;

1)

gradC

grad

u

v grad u u grad v

;

0,C const;

5)

v

2)

grad(Cu) C grad u,C const;

v2

3)

grad(u v) grad u grad v;

6)

grad f(u) f (u) grad u

Похідна за напрямом

0

u

l

(grad u,

0 )

l

l

Векторне поле

(M) P(x, y, z)i

a