Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

4. Екстремуми функції кількох змінних

z (t) 2 sin t 2 cos t 0; tg t 1; t1 4 , t2 54 . M1(2; 2), M2( 2; 2).

z M1 z(2; 2) 22; z(M2 ) z( 2; 2) 22.

max z(M) z(2, 2) 22;

M D

min z(M ) z( 2, 2) 22.

M D

4.4.1. Дослідити на екстремум функцію z (3x2 4y)2 13 x 23 y за умови

зв’язку 34 x2 y 16 0 методом виключення змінних.

Розв’язання. [1.9.2.]

[Виражаємо одну із змінних з рівняння зв’язку.] y(x) 34 x2 16 .

[Підставляємо вираз у функцію z(x, y).]

z(x, y(x)) (x) 12 x2 13 x 59 .

[Досліджуємо на локальний екстремум одержану функцію.]

(x) x 13 0 x0 13 .

[Перевіряємо виконання достатніх умов існування локального екстремуму.]

								1
								1
										1 0 .
								3
								3
У точці x0			1	функція (x) має локальний мінімум.
			3
З умови зв’язку знаходимо відповідне значення
				y	0		3 1				1				1 .
					0		4		9				6			4
							4		9				6			4
	1		1
	1		1
Точка M0		;		є точкою локального умовного мінімуму функції z(x, y).
Точка M0		;		є точкою локального умовного мінімуму функції z(x, y).
	3		4
	3		4
[Обчислюємо значення функції z(x, y)в цій точці.]
											1		1				1
											1		1				1
				zmin		z						,						.
				zmin		z						,						.
											3						2
											3			4			2

72	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

4.4.2. Дослідити на екстремум функцію z (3x2 4y)2 13 x 23 y за умови

зв’язку 34 x2 y 16 0 методом множників Лаґранжа.

Розв’язання. [1.9.2, 1.9.7.]

[Крок 1. Записуємо функцію Лаґранжа для задачі.]
		2					2		1					2					3				2				1
		2					2		1					2					3				2				1
L(x, y; ) (3x			4y)								x				y						x				y				,
L(x, y; ) (3x			4y)								x				y						x				y				,
									3					3
									3					3				4										6
де — невизначений Лаґранжів множник.
[Крок 2. Знаходимо стаціонарні точки Лаґранжової функції.]
												1			3
												1			3	x	0;
L 12x(3x2 4y)																x	0;
	x
												3			2
												3			2
				2								2
				2	4y)							2	0;
L 8(3x					4y)								0;
	y											3
												3
			3		2					1
	(x, y)		3	x	2	y				1			0.
	(x, y)			x		y							0.
			4							6
			4							6
		1					1													1				1
x		1	, y				1	,					6 M0							1		;		1
x			, y					,					6 M0									;				; 6 .
		3					4													3				4
		3					4													3				4

[Крок 3. Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму для функції Лаґранжа в точці M0.]

[Знаходимо похідні 2-го порядку Лаґранжової функції.]

12(9x

4y)

32;

Lxx

, Lxy

48x, Lyy

(M )

9, L

16, L

(M )

)

32.

[Записуємо другий диференціал функції L(x, y; ) в точці

;

; 6 .]

d2L(M0 ) 9dx2

32dxdy 32dy2 .

[Щоб визначити знак 2-го диференціала при наявності зв’язку, встановлюємо зв’язок між dx та dy з умови зв’язку.]

	3		2		1		3
	3		2		1		3
d( (x, y)) d		x		y		0		xdx dy 0.
d( (x, y)) d		x		y		0		xdx dy 0.
					6		2
4					6		2

У точці M0 :

12 dx dy 0, dy 12 dx .

[Підставляємо dy у вираз для d2L(M0 ).]

	4. Екстремуми функції кількох змінних											73
2		2			1			1	2		2
2		2	32dx		1			1		dx	2	0 .
d L(M0 ) 9dx			32dx			dx	32		dx	dx		0 .
					2			2
					2			2
У точці M0	функція L(x, y; ) має локальний мінімум
			L	L(M ) 1 ,
			min			0	2
							2

а функція

z (3x2 4y)2 13 x 23 y

при наявності зв’язку

				3 x2	y		1		0
				4			6
	1		1
	1		1
має у точці M0		;		локальний умовний мінімум
має у точці M0		;		локальний умовний мінімум
	3
	3		4
						1		1		1
						1		1		1
				zmin z			,				.
				zmin z			,				.
						3				2
						3		4		2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.5.	Розвиньте функцію	f (x, y) x2 3xy y2 за степенями		(x 1) та
	(y 1), знайшовши члени 2-го порядку включно.
4.6.	Розвиньте функцію	f (x, y) arctg y за степенями (x 1)	та y, знайшо-
		x

вши члени 2-го порядку включно.

4.7.Знайдіть точки екстремуму функції:

1) z x2 y2 xy 2x y;

2) z 2xy 3x2 2y2 10;

3)z x 3 8y3 6xy 1;

4)z x3y2(6 x y), x 0, y 0;

5) z xy 50x 20y , x 0, y 0;

6) z x2 y2 2 ln x 18 ln y, x 0,y 0;

7)z ex2(x y2 );

8)z e x2 y2 (ax2 by2 ), a 0, b 0.

74	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

4.8.Знайдіть найбільше та найменше значення функції

1)z xy у крузі x2 y2 1;

2)z x2 y2 у крузі x2 y2 4;

3) z x2 y2 xy x y у трикутнику, обмеженому лініями x 0, y 0 та x y 3 0;

4) z x2 xy 2y2 3x 2y 1 у трикутнику, обмеженому осями координат і прямою x y 5 0;

5) z x 3 y3 3xy	у прямокутнику, обмеженому прямими x 0,
x 2,y 1,y 2;

6) z x2 2xy 4x 8y у прямокутнику, обмеженому прямими x 0,

y0,x 1,y 2.

4.9.Знайдіть умовні екстремуми функції:

1) z x y	4	при x2 y2 1;
2

2)z 2x y при x2 y2 1;

3)z x2 y2 xy x y 4 при x y 3 0;

4)z xy2 при x 2y 1.

4.10.1. З усіх прямокутних паралелепіпедів, які мають заданий об’єм V, знайдіть той, який має найменшу поверхню.

2. Для яких розмірів відкрита прямокутна ванна місткістю V має найменшу площу поверхні.

Відповіді

4.5.f (x, y) 5 5(x 1) 5(y 1) 21![2(x 1)2 6(x 1)(y 1) 2(y 1)2 ] ....

4.6.f (x, y) y (x 1)y ...

Решту відповідей див. на С. 183.

Розділ 2. ВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ

5. Обчислення визначеного інтеграла

Навчальні задачі

5.1.1. Обчислити . e x ln x

Розв’язання. [2.3.2.]

dxe x ln x

 e2

[2.3.2]

d ln x dx

d ln x

ln x

ee2

ln x

ln e2

ln e

ln 2.



Коментар. Знаходимо первісну для підінтегральної функції методом внесення функції під знак диференціала.

За формулою Ньютона — Лейбніца від значення первісної у верхній межі віднімаємо значення первісної у нижній.

	5	dx
5.1.2. Обчислити		dx	.

	x2
	x2	2x 10
	2
Розв’язання. [2.3.2.]


5	dx	 5	dx	[2.3.2]	1		x 1		5
5	dx	 5	dx	[2.3.2]	1		x 1		5
2		2			3 arctg		3
	x2 2x 10		(x 1)2 9		3 arctg				2
	x2 2x 10		(x 1)2 9						2
	1 arctg 2		1 arctg 1	1 arctg 2				.
	1 arctg 2		1 arctg 1	1 arctg 2				.
	3		3	3		12

Коментар. Вилучаємо повний квадрат у знаменнику дробу.

	x
5.1.3. Обчислити x sin		dx.
	2
0

Розв’язання. [2.3.3.]

				u x				du dx			[2.3.3]
x sin x dx				dv sin	x	dx	v	2 cos		x
0	2			dv sin	2	dx	v	2 cos		2
					2					2
2x cos x									0 4 sin x
2x cos x		2 cos x dx 2 cos							0 4 sin x
	2	0	0	2				2			2	0
	2	0	0								2	0

4 sin 2 4 sin 0 4.

76	Розділ 2. Визначені інтеграли

	3
5.1.4. Обчислити x2					9 x2dx.
	0
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.8, 2.3.9.]
							
							
														;		,
						x 3 sin t, t								;		,
3				[2.3.9]									2		2		x		0	3		[2.3.4]
x2	9 x2dx					dx 3 cos tdt;
	9 x2dx					dx 3 cos tdt;												t	0
							9 x2					9 9 sin2 t						t	0
0							9 x2					9 9 sin2 t								2
						3		cos t			3 cos t.
						3		cos t			3 cos t.
	2										2
	81 sin2 t cos2 tdt								81 sin2 t(1 sin2 t)dt
	2	0				2					0
	2					2					[2.3.8]					1					81
											[2.3.8]
		2							4
81 sin		2	tdt 81 sin						4	tdt			81				1 3						.
81 sin			tdt 81 sin							tdt			81										.
																					16
	0			0											2 2		2 4				16
	0			0

Коментар. Обчислюючи визначений інтеграл заміною змінних, на відміну від невизначеного інтегрування, не потрібно вертатись до старої змінної. Використовуємо тригонометричну підстанову і не забуваємо змінити межі ви-

значеного інтеграла:

x 0 3 sin t 0; t 0. x 3 3 sint 3, t 2 .

				3				dx
5.1.5. Обчислити								dx			.


							(1 x2 )5
				3 3			(1 x2 )5
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]																								,
										x tg t, t												;
										x tg t, t												;
																			2				2
3
3			dx					[2.3.9]					dt												x		3		3	[2.3.4]
								[2.3.9]																			3			[2.3.4]
										dx					;
										dx				2	;
																											3
		3 (1 x2 )5											cos			t										t
	3	3 (1 x2 )5											cos			t		1								t	6		3
										1 tg2 t								1			.

																		2
																	cos			t
			3 cos5 tdt							3								3
										cos3 tdt						(1 sin2 t)d sin t
					cos	2		t		cos3 tdt						(1 sin2 t)d sin t
			6		cos			t		6								6
												sin3 t				3
					sin t				3							3			3				3		11			.
									3										3				3		11
									6				3			6						8			24
									6				3									8			24

										5. Обчислення визначеного інтеграла																													77

						4			3
						4			3			x2 4
5.1.6.	Обчислити																dx.
5.1.6.	Обчислити												x				dx.
									2				x
									2
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]
																								2				[0; )

		4			3										[2.3.9]				x							, t						x	2	4	[2.3.4]
								x2 4
								x2 4														cos t
													dx															2
																												2						3
									x										dx 2 sin tdt .													t	0
		2							x										dx 2 sin tdt .													t	0	6
									6															cos2 t					6
																								cos2 t
																	4						sin tdt
										cos t							4				4		sin tdt						2 tg2 tdt
										cos t						cos		2			4			cos	2		t		2 tg2 tdt
									0							cos			t					cos			t	0
							6			1																6					6		2
				2						1																6					6		2
														1 dt							2 tg t					0			2t		0						.
											2


													t																				3			3
						0			cos				t																				3			3
						0
								4
5.2.1.	Обчислити									3
5.2.1.	Обчислити									3	sin xdx.
								4
Розв’язання. [2.3.6.]
																								4						[2.3.6]
Оскільки 3																											3			[2.3.6]
Оскільки 3			sin x				— непарна функція, то																				3		sin xdx			0.
																								4
								4
5.2.2.	Обчислити
5.2.2.	Обчислити									tg x					dx.
								4
Розв’язання. [2.3.5.]
Оскільки		tg x			— парна функція, то
Оскільки		tg x			— парна функція, то
	4								[2.3.5]				4											4														0 4
				tg x			dx					2				tg x				dx	2 tg xdx 2 ln													cos x
				tg x			dx									tg x				dx

	4												0											0

2 ln cos 4 2 ln cos 0 ln 2.

5.2.3. Обчислити sin5 xdx.

Розв’язання. [2.2.6, 2.3.6, 2.3.7.]

Функція sin5 x має період 2 .

78	Розділ 2. Визначені інтеграли

6	[2.2.6] 2	4	6	[2.3.7]
sin5 xdx	sin5	xdx sin5	xdx sin5 xdx
0	0	2	4
		[2.3.6]

3 sin5 xdx 3 0 0.

Коментар. Використовуючи властивість адитивності, розбиваємо проміжок інтегрування на відрізки завдовжки 2 .

5.2.4. Обчислити sin4 xdx.

Розв’язання. [2.2.6, 2.3.5, 2.3.6, 2.3.8.]

Функція sin4 x має період T .

2	[2.2.6]			2			[2.3.6]
sin4 xdx		sin4 xdx sin4 xdx							2 sin4		xdx
0			0						0
2		[2.3.5]	2	[2.3.8]			3 !!				1 3	3 .
2 sin4 xdx			4 sin4 xdx		4		3 !!	4			1 3	3 .
2			0			2	4 !!			2	2 4	4
2			0

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.3.Обчисліть:

	1					dx					13					dx
1)						dx			;		2)					dx		;

							3
							3							5 (3 x)4
	2	(11 5x)										2		5 (3 x)4
	1											e				dx
3) (ex 1)4exdx;											4)					dx			;


													x			1 ln2 x
	0											1	x			1 ln2 x
	2			1 x								1			y2dy
5)			e			dx		;			6)				y2dy		;
				x		2
						2
	1											0			y6 4
	3						dx					1				dx
7)							dx			;	8)					dx				;

			2x		2
					2											8 2x x2
	2						3x 2				0,5					8 2x x2
	4											3
9)	sin2						d ;				10)	tg4 xdx.

5. Обчислення визначеного інтеграла

5.4.Обчисліть:

	2											2
1)				cos x cos3 xdx;								2)	1 x	dx;
1)				cos x cos3 xdx;								2)	1 x	dx;
	2											0
												2
3) ex2 sin xdx;												4)	(cos2 x x2 sin x)dx;
												2
	2											4	x7 3x5 2x3 x 4
5) (x5 5x4 3x3 x)dx;												6)	x7 3x5 2x3 x 4				dx;
5) (x5 5x4 3x3 x)dx;												6)			2	x	dx;
	2											4			cos	x
	2											4
	2							x	2	,	0	x 1,
								x		,	0	x 1,
7)		f	(x)dx, якщо f

					(x)		2	x,			1	x 2;
	0						2	x,			1	x 2;
	0
	1								x			0 x	t,
									x			0 x	t,

8)		f	(x)dx, якщо f
8)		f	(x)dx, якщо f		(x)			1 x
								1 x			,	t x	1.
						t					,	t x	1.
	0							1 t
								1 t

5.5.Знайдіть похідну функції:

	x				0
1)	F(x) ln tdt, x 0;			2)	F(x)		1 t4dt;
	1				x

	1	sin t				x
3)	F(x)	sin t	dt;	4)	F(x) sin t2dt.
3)	F(x)		dt;	4)	F(x) sin t2dt.
	0	t			1 x
	0				1 x

5.6.За допомогою інтегруванням частинами, обчисліть:

	1		3	xdx
1)	xe xdx;	2)		xdx	;
1)	xe xdx;	2)		2	;
	0		4	sin x
	0		4
	e		1
3)	ln3 xdx;	4)	arccos xdx.
	1		1

80	Розділ 2. Визначені інтеграли

5.7.Застосовуючи Валісову формулу, обчисліть:

2 2

1)	sin5 xdx;				2)	cos8 xdx;
	0					0
			x			4
3)	sin6		x	dx;	4)	cos7 2xdx;
3)	sin6	2		dx;	4)	cos7 2xdx;
	0	2				0
	0					0

5)	sin9 xdx;				6)	sin8 xdx.

5.8.Заміняючи змінну, обчисліть:

	8	xdx
1)		xdx			;

		1 x
	3	1 x
	3

	3
	3	1 x		2
3)		1 x		2		dx;

		x	2
	1	x
	1

5) 2 x5 x2 1;

7) 23 x x2 1;

9) 0 2 cos x 3;

5.9. Оцініть:

1) 4 x2dx;

	29
	29			3 (x					2)2dx
2)				3 (x					2)2dx									;
2)																		;
	3		3 3						(x 2)2
	1
	1					1 x2
4)						1 x2
														dx;
							x	6						dx;
	1	2					x
	1	2
	ln 2
6)							1 e2xdx;
	0
	2					dx
8)						dx							;

		(4 x								2		2
	2	(4 x										)
	4								dx
10)									dx								.

				1				2 sin							2
	0			1				2 sin								x
	0
	1				dx
2)					dx						.
2)			8 x					3			.
	1		8 x
	1

Відповіді

		7						(e 1)5						1		1 ln	4
					5(1 5								1 ln		5 ; 7)

5.3. 1)				; 2)			16); 3)		; 4)		; 5) e	e; 6)						; 8)		;
5.3. 1)		72		; 2)			16); 3)	5	; 4)	2	; 5) e	e; 6)		2			3	; 8)	6	;
		72						5		2			3	2		5	3		6
9)		1	; 10)			8	3 .
	8	4			6	27

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc