Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

		11. Потрійний інтеграл					111
	2		cos5		2
	2		cos5		2
	cos4	sin d					.
2	cos4	sin d	2	5		10	.
2	0		2	5	0	10
	0				0

Коментар.  Від декартових до сферичних координат [2.1.5] у потрійних інтегралів доцільно переходити для областей, обмежених сферами, конусами та площинами, які проходять через вісь Oz.

11.3.1. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями y 16
	2x,y 2x,

z 0,x z 2.

Розв’язання. [2.10.1.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

[2.10.1]	dxdydz.
V(G)	dxdydz.
	G

Тіло G — циліндричне в напрямі осі Oz; на площину Oxy воно проектується в область DOxy , яка є правильною у напрямі осі Oy.

												0	x 2,										[2.9.5]
V dxdydz																							[2.9.5]
V dxdydz										2x y 16										2x,
G										0 z 2 x
				2 x
2	16 2x			2 x					2					16 2x
dx			dy dz					dx											(2 x)dy
0		2x		0					0							2x
2															2			3 2			2			2
2


(2 x)15			2xdx 15						2				2				x					x	5 2
(2 x)15			2xdx 15						2				2				x					x
															3						5
0															3						5			0
0																								0
						8	2				8		2
						8	2				8		2
	15																32.
	15				2	3						5					32.
						3						5

z G y

2 x

Рис. до зад. 11.3.1

Коментар. Тіло G			обмежено поверхнями: параболічними	циліндрами
			твірні яких паралельні осі Oz; площиною Oxy : z 0,
y 16 2x, y		2x,
площиною x z	2, яка паралельна осі Oz.
11.3.2. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями 2z x2 y2, z				2.
Розв’язання. [2.10.1.]
Об’єм тіла G знаходять за формулою

[2.10.1]

V(G) dxdydz.

112	Розділ 2. Визначені інтеграли

Тіло G циліндричне в напрямі осі Oz і проектується на площину Oxy в об-

ласть DOxy , обмежену колом:

			2	2	,
2z x				y	,		2		2
						x	2	y	2	4.
						x		y		4.
	2
z	2
										z
	[2.9.4]					2				z	G
V dxdydz	[2.9.4]	dxdy				2					G
V dxdydz		dxdy					dz

G					DOxy	x2 y2
			x	2	y	2
			x		y

		2
		2			2	dxdy.
	D				2
	D
	Oxy

У подвійному інтегралі переходимо до полярних коорди-

нат [2.1.1]:

x2 y2 4;

2 4; 2;

0 2; .

O y

DOxy

2 x

[2.7.4]

		2
		2

2	2
	2
			d d

	2			2		Рис. до зад. 11.3.2
						Рис. до зад. 11.3.2
d		2	2		d 4 .
			2
	0

Коментар.  Тіло G обмежено поверхнями: параболоїдом 2z	x 2 y2 і
площиною z 2 0 .
11.3.3. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями x2 y2	4x, z x,

z 2x.

Розв’язання. [2.10.1, 2.10.6.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

V(G) dxdydz.

Тіло циліндричне в напрямі осі Oz.

Проекція D тіла на пло-

щину Oxy є круг x2 y2

4x.

Обчислимо інтеграл у

циліндричній

системі координат

[2.1.3] :

cos ,

sin ,

0, ( ; ]

;

[Записуємо рівняння поверхонь у циліндричних координатах.]

Рис. до зад. 11.3.3

						11. Потрійний інтеграл													113
				x2 y2		4x;	2	4 cos ;				4 cos .
						z x;		z	cos ;
						z 2x; z			2 cos ;
					( ) 4 cos 0;										.
											2			2
									[2.9.6]
				V(G) dxdydz						d d dz
			2			G				2	G
			2	4 cos		2 cos				2	4 cos
				d		d	dz				d		z \|2 coscos				d
			2		0	cos				2		0
			2		4 cos					2			3		4 cos
			2							2

			d			2 cos d					cos		3			d
			2		0					2			3		0
			2		0					2					0
			2			[2.3.5]	2					[2.3.8]				3 !!
						[2.3.5]						[2.3.8]
	64			cos4	d 128				cos4 d				128						8 .
	3	2					3	0						3		4 !!		2
		2						0
Коментар.  Тіло G обмежене коловим циліндром x2																y2		4x і площина-
ми z x і z		2x.

 Від декартових до циліндричних координат [2.1.3] у потрійних інтегралів доцільно переходити для областей з осьовою симетрією.

11.3.4. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями x2 y2 z2 2Rz.

Розв’язання. [2.10.1.]

Об’єм тіла G знаходять за формулою

V(G) dxdydz.

Тіло G обмежено сферами:

x2 y2 z2 R2, x2 y2 (z R)2 R2

і міститься ззовні сфери з центром у точці O . Переходимо до сферичних координат [2.1.5]:

x2 y2 z2 R2,

Рис. до зад. 11.3.4

x2 y2 z2 R2; r2 R2; r R;
x2 y2 z2	2Rz; r2 2Rr cos ; r 2R cos .

r R,			1
		cos	1	;		.


r 2R cos ;			2		3
			2		3

114	Розділ 2. Визначені інтеграли

[2.9.8]

V(G) dxdydz

r2 sin d d dr

2R cos

d sin d r2dr

2 sin r3

2 R3

11 R3

(cos

1)sin d

11.4. Знайти масу тіла G,

заданого нерівностями

y, z 0,

з густиною розподілу маси (x,y, z)

5(x2

y2 )

Розв’язання. [2.10.2.]

Масу тіла G з густиною (x,y, z) знаходять за формулою

[2.10.2]

(x,y,z)dxdydz

5(x

2 y2)

m(G)

dxdydz.

Тіло G — циліндричне в напрямі осі Oz.

Обмежене: знизу площиною z 0, зверху — конусом z 8x2 y2 ; і проектується на площину Oxy у півкруг.

m(G)				5(x2	y2)				[2.9.4]
				5(x2	y2)		dxdydz
					4		dxdydz
		G			4
		G
	5					8		x2 y2
	5	(x2	y2)dxdy						dz
	4	D					0
		Oxy
10 (x2 y2)3 2dxdy						[2.7.4]
10 (x2 y2)3 2dxdy							10 4d d

y x

DOxy

2 x

Рис. до зад. 11.4

DOxy
	2	5	2

10 d 4d 10 \|0		5	0
0	0

10 325 64 .

Коментар.  Тіло G	обмежують поверхні: конус z2 64(x2 y2); циліндр
x2 y2 4, y 0, z	0 — площини Oxz та Oxy .

			11. Потрійний інтеграл	115
11.5. Знайти		координати центра мас тіла G,		заданого нерівностями
x	y2	z2	3,x 0, з густиною розподілу маси (x,y,z) 0.
6

Розв’язання. [2.8.4.]

Оскільки вісь Ox є віссю симетрії тіла, то yC zC 0.

Абсцису xC центра мас тіла знаходять за формулою

[2.10.4] M

xc mOyz ,

де

[2.10.3]

MOyz x (x,y,z)dxdydz;

[2.10.2]

m (x,y,z)dxdydz.

y z

z DOzy

O y

Рис. до зад. 11.5

Тіло циліндричне в напрямі осі Ox			і проектується на площину Oyz у круг
y2 z2	3.
			[2.9.4]			6(y2 z2 )
	m(G) 0dxdydz			0 dydz			dx
	G				DOyz	0
			[2.7.4]
	6 0 (y2	z2)dydz			6 0 3d d
	DOyz
		3			2 9 27 0.
	6 0 d 3d 6 0				2 9 27 0.
		0			4
		0
			[2.9.4]			6(y2 z2 )
	MOyz 0xdxdydz			0 dydz			xdx
	V				DOyz	0
			[2.7.4]
	18 0 (y2	z2)2dydz		18 0 5d d
	DOyz

18 0 d 5d 18 0 2						27	162 0.
		0				6
		0
x	c		MOyz	162 0	6.
x			m	27 0	6.

Центр мас C(6;0; 0).

116	Розділ 2. Визначені інтеграли

Коментар.  Тіло G обмежене	поверхнями: параболоїдом обертання
x 6(y2 z2),коловим циліндром y2	z2 3, твірні якого паралельні осі Ox,
площиною Oyz.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

11.6. Обчисліть потрійний інтеграл:

dxdydz

, де G — область, обмежена площинами x 0,

y z

y 0,z 0,x y z 1;

(x z)dxdydz, де G —

область,

обмежена

поверхнями

x y 1, x y 1,x z 1,z 0,x 0;

x2 z2dxdydz, де G —

область,

обмежена

поверхнями

y x2 z2,y 1;

xydxdydz,

де G — область, обмежена поверхнями x2 y2 1,

z 0, z 1, x 0,y 0;

(x2 y2

z2 )dxdydz, де G : 1

x2 y2

z2 4, x 0, y 0,

z 0;

dxdydz, де G : x2 y2 z2 R2, z

x2 y2 ;

x2 y2 z2

dxdydz, де G — область, обмежена еліпсоїдом

1 x2

z2dxdydz, де

G — область, обмежена еліпсої-

дом

11. Потрійний інтеграл

117

11.7. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

1) x 4,y 4, z x2 y2 1, x 0, y 0,z 0; 2) z 2x2 y2 1, x y 1, x 0, y 0,z 0;

3) y x,y 2x, x z 6, z 0; 4) y x 2,y 1, z 0, z x2 y2; 5) az x2 y2, 2az a2 x2 y2 ; 6) x2 y2 z2 2a2,az x 2 y2 ;

7)x2 y2 2az, x2 y2 z2 3a2 ;

8)z x2 y2 , z 6 x2 y2;

9)x2 y2 a2, x 2 y2 z2 a2 ;

10)2(x2 y2) z2,x2 y2 z2 a2;

11)z 64 x2 y2 ,x2 y2 60, z 1;

12)z 0,z ae (x2 y2 ),x2 y2 R2;

13)	z 0, x2 y2 2ax, x 2 y2 z2;
14)	x2 y2	2Rx, z x2 y2, z 0;
15)
15)	x2 y2	y, x2 y2 4y, z 0, z	x 2 y2 ;

16)x2 y2 z2 a2, x2 y2 ax, z 0;

17)x2 y2 z2 a2, x2 y2 z2 ;

18)x2 y2 z2 2az, x2 y2 z2 ;

19)	64 x2		y2		z2	169,z				x2	y2
										x2	y2
											99	,y 0,y 3x;
											99

20) 16 x2			y2		z2	100, 0		z			x2 y2		,y 0,y	x	;
												24
														3
														3
21)	x2	y2		z2	1;
21)	a2	b2		c2	1;
	a2	b2		c2
22)	x2	y2		z2	1,	x2	y2		z2	.
22)	1	4		9	1,	1	4		9	.
	1	4		9		1	4		9

118	Розділ 2. Визначені інтеграли

11.8. 1. Знайдіть масу сферичного шару між поверхнями x2 y2 z2 R2 та x2 y2 z2 4R2, якщо густина в кожній його точці обернено пропорційна віддалі точки від початку координат.

2. Знайдіть масу циліндра з радіусом R та висотою H, якщо густина пропорційна висоті та дорівнює 1 на нижній основі.

3. Знайдіть масу тіла, обмеженого еліпсоїдом

з гус-

тиною (x,y, z) k

4. Знайдіть

масу тіла,

обмеженого поверхнями

x2 y2

(y 0), y2

x2 z2,

з густиною (x,y,z) k(x2

z2 ).

5.Знайдіть масу тіла, обмеженого поверхнями z h та x2 y2 z2, якщо густина в кожній точці пропорційна аплікаті цієї точки.

6.Знайдіть масу тіла, обмеженого поверхнями z h та x2 y2 z2,

якщо густина в кожній точці дорівнює 0z2.

11.9. Знайдіть координати центра мас тіла з густиною :

1) x2 y2 z2 R2, x 0,	0	;


	x2 y2

2) 1 x2 y2 z2 4,y 0, 0(x2 y2 z2 );

3)x2 y2 z h, (x,y, z) 0z2;

4)x2 y2 z h, (x,y,z) 0 h z;

5) z	y2	,x 0,y 0,z 0,2x 3y 12 0, (x,y,z) 1;
	2

6) y x,y 2x,z 0,x z 6, (x,y,z) 1.

11.10.Знайдіть моменти інерції щодо осі Oz однорідного ( 1) тіла:

1) x2 y2 R2, 0 z H ;

2) x2 y2 z2 R2, z 0.

Відповіді

11.6. 1) 12 ln 2 165 ; 2) 125 ; 3) 415 ; 4) 18 ; 5) 3110 ; 6) R6 3 ; 7) 45 abc; 8) 6 2.

																					12. Криволінійний інтеграл 1-го роду																																				119
			560										3												88							a3			a3										a3									32
																		48		6
																		48		6
11.7. 1)							;			2)				;		3)						;	4)					; 5)						; 6)		(8			2 7); 7)									(6		3 5);				8)			;
11.7. 1)				3			;			2)			4	;		3)		5				;	4)		105			; 5)				12		; 6)	6	(8			2 7); 7)						3			(6		3 5);				8)		3	;
				3									4					5							105							12			6										3											3
9) 4 a3(2																		4	a3(																12) a(1 e R2 );													32 a3; 14)					3 R4
							2 1); 10)											4						2 1);						11) 276 ;													13)										3 R4			;
							2 1); 10)											3						2 1);						11) 276 ;													13)											2		;
3																		3																														9						2
						a		3														2 a3																												4 abc
15) 28; 16)						a		3			(3 4); 17)											2 a3										2); 18) a3; 19) 337 ; 20)												52 ; 21)						4 abc				;
																										(2																								3
							9																3			(2
							9																3
22) 4 (2
22) 4 (2							2).
															R2H														4						k R5										kh				4		h5
11.8. 1) 6k R2;												2)			R2H												3)		4		k abc; 4)				k R5						2); 5)				kh				4	6)	h5
																			(H 2);																		(2												;			0			.
																2			(H 2);										5						5		(2										4		;						.
																2													5						5												4					5
					8R															105																								12				8
					8R															105													5h					4h				6		12				8
11.9. 1)									;0;0 ; 2)									0;					;0 ; 3)							0;0;				; 4) 0;0;						;	5)		;			;			;
11.9. 1)							2		;0;0 ; 2)									0;					;0 ; 3)							0;0;				; 4) 0;0;						;	5)		;			;			;
							2													124																									5
			3																	124													6					7				5			5			5

	18 15					6				12
	18 15					6				12
6)		;						;

	7		16							7			.
	7		16							7

11.10.		1)				HR4						;	2)				4 R5			.
11.10.		1)		2		HR4						;	2)			15				.
				2												15

12. Криволінійний інтеграл 1-го роду

Навчальні задачі

12.1.1. Обчислити (x2

y2 z2)dl,

де L — відрізок прямої AB, між точка-

ми A(1;1;1) та B(3; 0; 3).

Розв’язання. [2.11.5.]

Запишімо параметричні рівняння прямої AB :

2t 1,

x 1

y 1

z 1

t 1,

2t 1.

Відрізку AB прямої відповідає відрізок t [0;1].

[Записуємо формулу для диференціала дуги і обчислюємо його.]

[2.11.5]

x 2

y 2

z 2dy.

xt 2,yt 1,zt 2;

dl 22 ( 1)2 22 3dt.

[Обчислюємо інтеграл.]

[2.11.5]

(x2 y2 z2)dl

3 ((2t 1)2

(1 t)2 (2t 1)2)dt

120	Розділ 2. Визначені інтеграли

3 (9t2 6t 3)dt 9.

Коментар. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки M1(x1;y1; z1) і

M2(x2;y2; z2 ):

x x1					y y1			z z1				.

x	2	x	1	y		2	y	z	2	z	1
							1

12.1.2. Обчислити ydl, де L : y x3, 0	x 1.
L
Розв’язання. [2.11.7.]

ydl

12.1.3.

								[2.11.7]
								[2.11.7]				y 2dx;
							dl				1	y 2dx;
													x
						y		3x2, dl 1 9x 4dx.
						x								y
[2.11.7]	1								1	1				y
[2.11.7]	1									1
	x3			1 9x 4dx						1 9x4d(1 9x4 )
	x3			1 9x 4dx				36		1 9x4d(1 9x4 )
	0							36		0
	0						1			0
	1	2				3 2				1

					4						10 10 1 .			O	1 x
			1 9x		4									O	1 x
	36	3	1 9x				0			54				Рис. до зад. 12.1.2
	36	3								54

Обчислити x2 y2dl, де L : a(1 cos ), 0 .

Розв’язання. [2.11.8.]

			[2.11.8]
			[2.11.8]				2		2d .
			dl				2		2d .

			a sin						;
																						O	2a P
[2.11.8]																						O	2a P
	dl		a2 sin2			a2(1 cos )2d																Рис. до зад. 12.1.3
																		d .

a sin2		1 2 cos cos2									d 2a				cos
																	2
								[2.11.8]												d
				x2 y2dl								a(1 cos )2a cos								d
		L											0							2
		L											0
									3				[2.3.8]				2		16
					2	cos			3							2	2		16		2
			8a							d				8a							a	.
			8a							d				8a							a	.
									2							1	3			3
						0			2				2			1	3			3
						0

Коментар. Крива a(1 cos ) є кардіоїдою.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc