Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду				131
Параметризуємо шлях переміщення:
		a cost,
	x	a cost,
			0 t .
		b sin t,	0 t .
	y	b sin t,


	[2.13.7]
A ydx xdy		(b sint ( a sint) a cost b cost)dt
L		0

ab (sin2 t cos2 t)dt ab.

14.2.Знайти циркуляцію векторного поля a x2y3i j zk , вздовж кон-

туру L : {x2 y2 R2, z z0 } (орієнтованого проти годинникової

стрілки якщо дивитися з додатного напряму осі Oz).

Розв’язання. [2.14.2.]																									z
Циркуляцію векторного поля													вздовж кривої L знаходять за
												a
												a															k L
формулою					[2.14.2]																						k L
					[2.14.2]
						)	Pdx Qdy Rdz
				CL(a		)	Pdx Qdy Rdz																		O			x
								L																	y
						x2y3dx dy zdz.																		Рис. до зад. 14.2
						L
Параметризуємо рівняння кола L.
											R cost,
								x			R cost,

																					
											R sint,						0 t				
								y			R sint,						0 t				2 .

											z				,
								z			z			0	,
														0
																					[2.13.6]
						CL(				) x2y3dx dy zdz
						CL(			a	) x2y3dx dy zdz
				2									L
				2
				(R2 cos2 t R3 sin3 t( R sint) R cost 0)dt
				0
						2										2						20
					R6 sin6 tdt R6 sin4 tdt R sint


		2					0									0
		2					2																					6
															[2.3.8]					1	3 5		1 3			R		6
	6			6							4							6		1	3 5		1 3			R
4R				sin tdt					sin tdt								4R											.
4R				sin tdt					sin tdt								4R											.
																					4 6						8
			0				0												2 2		4 6	2 2 4					8
			0				0

Коментар.Змінювання параметра t																	від 0 до				2 відповідає напряму обходу

контуру, заданого в умові задачі.

132	Розділ 2. Визначені інтеграли

x a cos3 t, 0 t 2 .

14.3. Знайти площу фігури, обмежену астроїдою

y a sin3 t,

Розв’язання. [2.14.3.]			y
Площу, фігури D, обмежену замкненим контуром L, обчис-			y	L
люють за формулою:			OD	L
[2.14.3]	1	xdy ydx.	OD	x
S(D)	2	xdy ydx.
		L
S 21 xdy ydx		x 3a cos2 t sint,	Рис. до зад. 14.3
S 21 xdy ydx		y 3a sin2 t cost
L

1 (3a2 sin2 t cos4 t 3a2 sin4 t cos2 t)dt 2 0

3a2	2				3a2	2			3a2		2
3a2	sin2 t cos2 tdt				3a2	sin2 2tdt			3a2		(1 cos 4t)dt
2	0				8	0			16		0
	0					0	2				0
		3a	2					3 a		2
			2							2
						sin 4t					.
				t							.
		16							8
		16				4	0		8
						4	0

14.4. Знайти функцію за її диференціалом

		y	)		e	y
	2x(1 e		)		e

du				dx				1
du				dx				1	dy.
	2	2			x		2
	(1 x	)		1	x

Розв’язання. [2.15.2, 2.15.5.]

[Переконуємося в тому, що du є повним диференціалом.]:

P(x,y)

2x(1 ey )

,Q(x,y)

x2)2

1 x2

[2.15.2]

2xe

2x(1 e

)

2 2

(1 x

)

(1 x

)

1 x

Вираз du є повним диференціалом.

Функцію u(x, y) відновлюють за формулою

[2.15.5] x

u(x,y) P(t,y0)dt Q(x,t)dt C.

1 .

Вибираємо за початкову точку M0(0; 0). 

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду

133

u(x,y)

0dt

1 dt

0 1

y C.

1 x

Коментар. Точку можна вибирати довільно, але так,					щоб функції P(x, y) та
Q(x, y) були у ній неперервними.
Запис P(t, y0 ) означає, що у функцію P(x, y) підставляють t							замість x і y0 за-
мість y.
Запис Q(x,t) означає, що у функцію Q(x, y) підставляють t							замість y, а змінну
x залишають без змін і під час інтегрування вважають сталим.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи

14.5. Знайдіть роботу поля F	(4x 5y)	i	(2x y)	j		вздовж дуги AB кри-
вої L, де A(1; 9), B(3; 3), якщо:

1)L — ламана APB, де P(1; 3);

2)L — ламана AQB, де Q(3; 9);

3)L — відрізок AB.

14.6. Знайдіть роботу поля F уздовж дуги AB кривої L, якщо:

2xyi

, L : y x2 1, A(1; 0), B(2; 3);

3xy2

(x y)

, L : y2 x 1, A(0;1), B(3;2);

x a(t

sint),

F yi

A(0;0), B(2 a;0);

xj ,L :

cost),

y a(1

, L : x2 y2 1, y 0, A(1;0), B( 1;0);

2xj

5)F (yz;zx;xy),L — ламана ABCD, де A(1;1;1), B(2;1;1),C(2;3;1), D(2;3; 4).

14.7.Знайдіть модуль циркуляції векторного поля a вздовж вказаного замкненого контуру L :

1)a y2i z2 j x 2k , L : {x y z 3, x 0,y 0, z 0};

2)a yi zj xk , L : {x 2 y2 z2 R2, x 0,y 0, z 0};

134	Розділ 2. Визначені інтеграли

3) a yi xj zk , L : {x2 y2 z2 4, x2 y2 z2, z 0};

4) a zi xj yk , L : {z x 2 y2 10, z 1}.

14.8. Обчисліть площу фігури, обмежену:

1) еліпсом x2 y2 1; a2 b2

2)кардіоїдою x a(2 cost cos 2t), y a(2 sin t sin 2t).

14.9.Відновіть функцію u за її повним диференціалом:

1)du (e2y 5y3ex )dx (2xe2y 15y2ex )dy;

2) du (3x 2 2xy y2 )dx (x2 2xy 3y2 )dy;
3) du	dx dy dz	;	4) du	dx 3dy	3y x z3	dz.
	x y z			z	z2

Відповіді

14.5.1) 22; 2) 106; 3) 64.

14.6.1) 0; 2) 1133 ; 3) 6 a2; 4) 32 ; 4) 24.

14.7.1) 27; 2) 43 R2; 3) 4 ; 4) 9 .

14.8.1) ab; 2) 6 a2.

14.9. 1) u xe2y 5y3ex C; 2) u x3 x2y xy2 y3 C;

3)	u ln	x y z	C; 4) u	x 3y	z2	C.

				z	2

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

Навчальні задачі

15.1. Обчислити (x2 y2 3z2)d за частиною поверхні конуса

z x2 y2 , відтятою площиною z 1.

Розв’язання. [2.17.4.]

Поверхня однозначно проектується на площину Oxy у круг


			2	2
		x		y ,		2		2
z		x		y ,	x	2	y	2	1.
D :	0	z		1	x		y		1.
	0	z		1

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

135

[Записуємо формулу для диференціал поверхні і знаходимо його.]

[2.16.4]

1 z 2

z 2dxdy.

d 3d 4

2 2 .

,zy

;

x2 y2

2dxdy.

x2 y2

Рис. до зад. 15.1

[2.16.4]

(x2 y2 3z2)d

(x2 y2

3(x2 y2))

2dxdy

[2.7.4]

(x2

y2)dxdy

3d d 4

d 3d 2

15.2. Знайти площу частини поверхні : x2

y2 z2 3,

вирізаної повер-

хнею : 2z x2

y2.

Розв’язання. [2.17.1.]

Площу поверхні знаходять за формулою

S( ) d .

Частина поверхні сфери, вирізаної параболоїдом, проекту-

ється на площину Oxy у круг, обмежений колом:

Рис. до зад. 15.2

Верхню півсферу задає рівняння z 3 x2 y2 .

[2.16.4]

1 zx2

zy2dxdy.

,zy

;

3 x2 y2

dxdy

dxdy.

3 x2 y2

136	Розділ 2. Визначені інтеграли

[2.16.4]

[2.7.4]

d d

S( ) d

dxdy

3 x2

3 2

DOxy

2 d(3 2)

3 d

3 2

3 2 |

2 (6 2

3) .

15.3.1. Знайти

масу частини поверхні

: z2 2px, відтятою

поверхнями

: y x,y x,z 0,z ( z y z, 0)

густиною

Розв’язання. [2.17.2.]

Масу поверхні з густиною (x,y,z) знаходять за формулою

[2.17.2]

(x,y,z)d 0d .

m( )

Частина поверхні параболічного циліндра

: x

DOyz

однозначно проектується на площину Oyz в область DOyz .

[2.16.4]

2 y

1 xy2 xz2dydz

dydz.

Рис. до зад. 15.3.1

[2.16.4]

m( ) 0d 0

dydz

DOyz

0 1 p2 dz

dy 0( ) z

1 p2 dz

3 2

( ) p

15.3.2. Знайти масу частини поверхні : 2az x2 y2,a 0, вирізаної поверхнею : x2 y2 a2, з густиною 15 z .

Розв’язання. [2.17.2.]

Масу поверхні з густиною знаходять за формулою

[2.17.2]

m( ) (x, y, z)d 15 z d .

															15. Поверхневий інтеграл 1-го роду																																										137
Частина				поверхні														гіперболічного																		параболоїда																		y
z	x2	y2																																x2 y2												a2								a
z		2a		, вирізана коловим циліндром																														x2 y2												a2										D
		2a
проектується на площину Oxy у круг D : x2																																	y2							a						2.
проектується на площину Oxy у круг D : x2																																	y2							a						2.								O			a x
									[2.16.4]																																													O			a x
									[2.16.4]
					d												1 zx2						zy2dxdy																												Рис. до зад. 15.3.2

				1		x2					y2			dxdy										a2 x2 y2											dxdy.
				1		a		2			a2			dxdy															a						dxdy.																				[2.7.4]
						a		2			a2																		a
		m x, y, z d 15																												x2	y2								a2 x2									y2

																																																				dxdy
																															2a															a						dxdy
																								D							2a															a
											15													D

																				cos2					sin2											a2 2										d
											2									cos2					sin2											a2 2										d
											2a
													15					2					a																										
																		d					2				cos 2							a2 2											d

													2
													2
												2a				0							0
									4							0							0
		15				1																a
																																3

																											2				2							2						2					2					2		2
				8					cos 2 d																	a	2				2				a			2						2					2		a			2		2
																																									a									d
			2																																						a									d
		2a				2
		2a				2				0											0
										0					4						0																																a
					15																2				2			2 5 2							2a		2					2						2 3 2



									sin 2														a																a
							2		sin 2												5		a												3				a
							2														5														3
					a										0																																						0
					a

																4 2 1

												3																2 2 1														3
																												2 2 1

										30a																														4a							2 1 .
																			5									3
																			5									3

																			[2.3.7]						4										[2.3.5]											4
Коментар. 										cos 2							d			4									cos 2				d										8 cos 2 d .
Коментар. 										cos 2							d			4									cos 2				d										8 cos 2 d .
																			T						4																					0
																			T						4																					0
																					2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.4. Обчисліть:

(x2

y2)d , де — сфера x2 y2 z2 a2;

y2 z2 d , де — півсфера y

R2 x2

z2 ;

x2 y2d , де — бічна поверхня

конуса

b);

(0 z

138	Розділ 2. Визначені інтеграли

4) (x y z)d , де		— частина площини x 2y 4z 4,

x 0,y 0,z 0;

5) xyzd , де — частина поверхні параболоїда 2z x2 y2, z 1.

15.5. Обчисліть площу частини:
1)		сфери	x2 y2 z2			a2,	що	міститься	всередині	циліндра
x2 y2 ax			0;
2)		сфери	x2 y2 z2			2a2,	що міститься		всередині	конуса
x2		y2 z2;
3)	конуса x2		y2 z2, розташованої в 1-му октанті й обмеженою пло-
щиною y z a;

4)		конуса	z		x2 y2 , що			міститься	всередині	циліндра
x2		y2 2x;
5)		параболоїда		2z x2		y2,	що	міститься	всередині	циліндра
(x2 y2 )2 x 2 y2 ;
6)		параболоїда		2z x2		y2,	що	міститься	всередині	циліндра
x2		y2 1;

7) гіперболічного параболоїда az xy, що міститься всередині цилінд-

ра (x 2 y2 )2 2a2xy;

8) сфери x2 y2 z2

a2, що міститься всередині циліндра

(x 2 y2 )2 2a2xy.

15.6. Обчисліть масу, розподілену:

1) по сфері x2 y2 z2 R2 з густиною 0

x2 y2 ;

2)по частині параболоїда x2 y2 2z, z 1, з густиною 0z.

15.7.Знайдіть координати центра мас однорідної поверхні:

1)x2 y2 z2 R2, x 0,y 0, z 0;

2) z R2 x2 y2 , x 0,y 0, x y R;

3) z x2 y2 , x2 y2 x.

					16. Поверхневий інтеграл 2-го роду					139
Відповіді

	8				2 a2	a2 b2
15.4. 1)	8	a4	; 2)	2 R4; 3)	2 a2	a2 b2	; 4) 7	21	; 5) 0.
15.4. 1)	3	a4	; 2)	2 R4; 3)		3	; 4) 7	3	; 5) 0.
	3					3		3

	1) 2a2( 2);									2 a2(2
15.5.	1) 2a2( 2);							2)		2 a2(2					2); 3)
a2 (20 3 ); 8) 2( 4 4
a2 (20 3 ); 8) 2( 4 4												2)a2.
9
		2			3		2 (1 6					3) 0
15.6.	1) 0			R		; 2)								.
15.6.	1) 0			R		; 2)			15					.
									15

			R						2			2			2 1
	R		R			R			2			2			2 1
15.7.	1)	;			;	; 2)					R;		R;
15.7.	1)	;		2	;	; 2)			4		R;	4	R;

	2					2

a2 ; 2

R ; 3)

	20 3			2
4) 2; 5)	20 3	;	6)	2	(2	2 1);	7)
	9			3

1		16
1	; 0;	16
	; 0;		.
2
2		9

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

Навчальні задачі

16.1.1. Обчислити (2z x)dydz 3zdxdy (x 2z)dzdx,

де — верхній

бік трикутника x 4y z 4,x,y,z 0.

Розв’язання. [2.18.6.]

Поверхня : z 4 x 4y

однозначно проектується на

площину Oxy.

Щоб обчислити інтеграл скористаємося формулою

[2.18.6]

(a,n0 )

(a,n

dxdy.

cos

DOxy

z z(x,y)

Нормальний вектор до верхнього боку площини

12 42 12 18;

;

Рис. до зад. 16.1.1

									1				4										1
	0			n																									cos
											i								j							k		;
n
n
				n				3		2			3					2					3	2
							(2x z)
															i		3zj					(x 2z)k									.
						a									i		3zj					(x 2z)k									.

																											2x z

												1						4			1
					0			)

		(a			,n								;							;							3z
												2	3					2	3
										3		2	3					2	3				2
																									x 2z

			2x z 12											z		x 2z 3x														13z .
												3	2																3	2

1 .

140	Розділ 2. Визначені інтеграли

(			,		0 )
		a		n		(3x 13z)	z 4 x 4y	52 10x 52y.
		a		n
	cos

						z 4 x 4y
						z 4 x 4y

(2z x)dydz (x 2z)dzdx 3zdxdy

			[2.7.1]
(52 10x 52y)dxdy			[2.7.1]
(52 10x 52y)dxdy
	DOxy
1	4 4y	(52 10x 52y)dx 128 .
dy		(52 10x 52y)dx 128 .
0	0		3
0	0

Коментар. У загальному рівняння площини Ax By Cz D 0 коефі-


цієнти	A,B,C є відповідними			координатами нормального вектора. Вектор
(1;4;1)T	утворює гострий кут з віссю Oz і задає верхній бік поверхні (нижній
бік поверхні задає вектор			( 1; 4; 1)T ).
		n
16.1.2. Обчислити (5x2 5y2				z2 )dxdy, де — зовнішній бік частини пі-

всфери z 4 x2 y2 , вирізаної конусом z x2 y2 .

Розв’язання. [2.18.5.]

Поверхневий інтеграл обчислимо за формулою			z

R(x,y,z)dxdy	[2.18.5]	n
R(x,y,z)dxdy	R(x,y,z(x,y))dxdy.
	DOxy
	DOxy			y
На зовнішньому боці поверхні нормаль утворює гост-				y
На зовнішньому боці поверхні нормаль утворює гост-			x
рий кут із віссю Oz, отже перед інтегралом вибираємо			x
рий кут із віссю Oz, отже перед інтегралом вибираємо		Рис. до зад. 16.1.2
знак « ».		Рис. до зад. 16.1.2
знак « ».
Частина поверхні однозначно проектується в область, обмежену кривою


					x	2			2	,
		z			x		y			,				2		2
												x		2	y	2		2.


					4 x			2	y		2
		z			4 x				y

					[2.18.5]
(5x2 5y2 z2)dxdy						(5x2 5y2										(4 x2 y2))dxdy
										DOxy
4 (1 x2										[2.7.4]			4 (1 2) d d
4 (1 x2					y2)dxdy								4 (1 2) d d
	DOxy
			2			2								2				4	2
			2											2				4	2

													2				4
4		d		(1 ) d 4 2																16 .
4		d		(1 ) d 4 2																16 .
			0																0
			0																0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc