методичка 2 семестр интегралы

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

L : a cos 2 , k ;

L : a(1 cos ), k

L : x t cost,y t sin t,z

t, 0 t 2 ,

x2 y2 z2 ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

															12. Криволінійний інтеграл 1-го роду																																			121

12.2.1. Знайти довжину дуги кривої y ln x,																																			3 x						15.
Розв’язання. [2.12.1.]																																										y
Довжину дуги кривої L знаходять за формулою																																										y				y ln x
													[2.12.1]																																	y ln x
													[2.12.1]					dl.
												l						dl.																																	x
																			L																					O
																																															3
[2.11.7]																																																		15
																			2
																														1
																														1
dl						1														dx								1
																																		dx.											Рис. до зад. 12.2.1
											ln x																					2		dx.											Рис. до зад. 12.2.1
																														x		2
																														x
													15														 15
													15			1 x2											 15
								l								1 x2								dx x 1 1 x2 1 2 dx
								l																dx x 1 1 x2 1 2 dx
																			x
													3						x										3
													3																3
	m 1,n 2																1 x2 t2
	m 1,n 2																1 x2 t2																			15
	p			1													d(1 x2 ) dt2																	x 2 1 x2 1												2 xdx
				2														xdx tdt
				2																																3
	m 1 0


		n	4																	4																4					4
			4							t										4			(t2 1) 1													4					4				dt
														tdt																			dt dt
							t		2				1	tdt											t	2	1						dt dt										t	2
			2				t						1							2					t		1									2					2		t			1
			2															4		2																2					2
					1						t 1																			1					3				1									3
					1						t 1																			1					3				1									3

t			ln																	4 2													ln			ln						2 ln							.
t			ln																	4 2													ln			ln						2 ln							.
					2						t 1
					2						t 1							2													2 5								3									5
																		2																														5
Коментар. Скористаємось теоремою Чебишова.
12.2.2. Знайти довжину дуги кривої																										3e3 4,																	.
																																				2							2
Розв’язання. [2.12.1.]
Довжину дуги кривої L знаходять за формулою																																																3e3 4
															l(L) dl.
[2.11.8]																							L																							O
																							L

									81				3 2									3 2							15					3	4													3		P
									81				3 2									3 2							15					3	4													3		P
dl									16e										9e					d					4 e						d .										Рис. до зад. 12.2.2
									2														15			4 e3 4						2																
									2
									e3 4d
l			15						e3 4d																										5		e3 8 e 3 8
			4				2																4			3						2
							2																									2
															10						e3 8 e 3 8													10 sh				3		.
															10																			10 sh						.
																										2											8

122	Розділ 2. Визначені інтеграли

Коментар. Крива 3e3 4 є логарифмічною спіраллю.

sh x ex e x . 2

12.3.Знайти масу, розподілену з густиною 2z x2 y2

L : x t cost,y t sint,z t,t [0;2 ].

Розв’язання. [2.12.2.]

Масу кривої L з густиною (x,y,z) знаходять за формулою

	[2.12.2]
m(L)			(x,y,z)dl (2z x2 y2 )dl.
			L	L
[2.11.6]
dl		(cost t sint)2		(sint t cost)2 1dt

2 t2dt.

уздовж кривої

Рис. до зад. 12.3

						2		2t
			m(L)					2t			t2 cos2 t t2 sin2 t						2 t2dt
	2					0	1 2
	2														1				3 2
					2					2			2					2
					2					2			2					2
t 2				t dt			2		2	t d 2 t						2		4		2 2 .
	0						2		0						3
	0								0
Коментар. Крива L є конічною гвинтовою лінією.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
12.4. Обчисліть криволінійний інтеграл:
1) xydl,					де L — контур прямокутника з вершинами A(0; 0), B(4; 0),
	L
C(4;2),D(0;2);
2) xdl				уздовж параболи y x2 від точки A(2; 4) до точки B(1;1);
	L
3) xydl,										2				2
3) xydl,					де L — частина еліпса x2								y2		1,			що лежить у 1-й чверті;
	L											a		b
	L
															a(t sint),
		2												x	a(t sint),
4)		2
4)		y dl,			де L — перша арка циклоїди										a(1 cost);
														y	a(1 cost);
	L
	L

12. Криволінійний інтеграл 1-го роду

123

, де L — відрізок прямої, що з’єднує точки O(0;0) та

x2 y2

A(1;2);

де

— перший

виток гвинтової лінії

x a cost,y a sin t, z bt;

7) (x2

y2 )2dl,

де L — дуга логарифмічної спіралі aem (m 0)

від точки A(0;a) до точки O( ; 0);

8) (x y)dl,

де L — права пелюстка лемніскати a

cos 2 ;

2y2 z2dl, де L — коло x2 y2 z2 a2, x y.

12.5. Знайдіть довжину кривої:

1) y

від точки x 0

до точки x 1;

2) y a ch x

від точки x 0

до точки x a;

a(t

sint),

2 3

3) x

;

a(1

cost), 0

t 2 ;

5) 2a(1 cos );

6) a , перший виток;

7)x t cost,y t sin t,z t, 0 t 2;

8)x aet cost,y aet sin t, z aet , t 0.

12.6.Визначте масу, розподілену з лінійною густиною вздовж кривої L :

L : y

;

,A 1;

,B(2;2),

L : y

x,A(1;1),B(4;2), y;

L :

;

124	Розділ 2. Визначені інтеграли

		sint),
	x a(t	sint),		3 2
4)			0 t 2 , y	3 2	;
4)	L :	cost),	0 t 2 , y		;
	y a(1	cost),

8) L : x aet cost,y aet sin t,z aet , t 0, kz.

12.7.Визначте координати центра мас однорідної:

x a(t sin t),

1) дуги циклоїди

y a(1 cost), 0 t ;

2) кардіоїди a(1 cos ).

12.8.Знайдіть момент інерції Ix однорідного кола x2 y2 R2.

Відповіді

																									ab(a2				ab b2)								256
									17				17 5								5				ab(a2				ab b2)								256	a3; 5) ln					5 3
12.4. 1) 24;						1)																;	3)											; 4)												;
12.4. 1) 24;						1)									12							;	3)				3(a b)							; 4)			15							2		;
															12												3(a b)										15							2

	a2 b2											2 b									a5 1 m2							; 8) a2
6)	a2 b2						arctg					2 b				; 7)					a5 1 m2											2; 9) 2 a2.
6)		ab					arctg						a			; 7)									5m							2; 9) 2 a2.
		ab											a												5m
12.5. 1) ln(2
											5)							5			; 2) a sh 1; 3) 6a; 4) 8a; 5) 16a;
											5)							2			; 2) a sh 1; 3) 6a; 4) 8a; 5) 16a;
								4										2
												a
			1 4 2																					1 4 2 ); 7)
6) a																																					2 1); 8) a
6) a												2 ln(2																		2			ln(				2 1); 8) a				3.

																																					2						2	b	2
				5 5						2 2									17 17 5 5																		2					a	2		2
				5 5						2 2									17 17 5 5																	a b						a
																															2
12.6. 1)														;	2)													; 3) 2 b											arcsin								;
								6															12													2		2					a
								6															12												a	2	b	2					a
																																			a		b
																													4 (1 2 2)3 2 1
					5 2																		3 2																	3ka2
					5 2																		3 2																	3ka2
4) 3 2 a						; 5)				k a2; 6) k(2a)																; 7)												; 8)					.
4) 3 2 a						; 5)				k a2; 6) k(2a)																; 7)							3					; 8)		2			.
																																	3							2
					4a												4a
					4a	;		4a									4a
12.7. 1)						;				; 2)										; 0 .
					3			3								5
					3			3								5

12.8. R3.

13. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду

125

13. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду

Навчальні задачі

13.1.1. Обчислити xydx zdy (x2 y2 )dz,

Розв’язання. [2.13.6.]

Інтеграл обчислюємо за формулою [2.13.6]:



x a cost,

	0	t
де L: y a sint,	0	t	.

			2
			2
z bt,

						t2

	Pdx Qdy Rdz [P(t)x (t)												Q(t)y (t) R(t)z (t)]dt,
	L					t1

де P(t) P(x(t), y(t), z(t)),Q(t) Q(x(t), y(t), z(t)), R(t) R(x(t), y(t), z(t))
	P(x,y, z) xy,Q(x,y,z) z,R(x,y,z) x2 y2;
				2												2	.
	P(t) a				sin t cost,Q(t)						bt, R(t) a						.
	x a sin t,y a costdt, z bdt.
						[2.13.6] 2
xydx zdy (x2 y2)dz									a3 cost sin2 t bat cost a2b dt
L										0
			2							2			2
	ab t costdt a2b dt a3 cost sin2 tdt
			0							0			0					[2.3.3]
			u t						du dt									[2.3.3]
			u t						du dt				; cost d(sint)
		dv costdt						v sint					; cost d(sint)
													2
					2		a		3		3				a	3					2
									3							3					2
																					a b
										sin							ab			ab		.
	ab cost abt sint a bt									sin		t					ab			ab		.
								3							3				2		2
								3							3				2		2
													0
													0
13.1.2. Обчислити			(x3 y)dx (x y3 )dy,											уздовж ламаної ABC, якщо
			ABC

A(1;1), B(3;1),C(3;5).

Розв’язання. [2.13.8.]

Оскільки контур складається з ділянок AB та BC , то

	[2.13.5]		.

ABC		AB	BC

126	Розділ 2. Визначені інтеграли

Для обчислення	скористаємось формулою [2.13.8]
AB
P(x,y)dx Q(x,y)dy		[2.13.8] b

		[P(x,y(x)) Q(x,y(x))y (x)]dx.
L		a

На відрізку AB : y 1,y 0,x [1;3].

5 C

1 A B O 1 3 x

Рис. до зад. 13.1.1

(x3 y)dx (x y3 )dy (x3 1)dx

На відрізку BC : x 3,x 0,y [1;5].

(x3 y)dx (x y3 )dy (3 y3 )dy

(x3 y)dx (x y3 )dy 22

ABC

		4				3
		4				3
x
								22.

			x
	4
	4					1
				y	4		5
					4		5

3y								168.


				4
				4			1
							1

168 190.

13.2.1. Обчислити інтеграл		(1 x2 )ydx x(1 y2 )dy за формулою
	L:x2 y2 R2

Остроградського — Ґріна і безпосередньо.

Розв’язання. [2.13.7, 2.13.9.]

[Записуємо формулу Остроградського — Ґріна і перевіряємо умови її застосовності.]

			Q	P

	Pdx Qdy
	Pdx Qdy			dxdy.
L		D x		y

де

P(x,y) (1 x2)y,Q(x,y) x(1 y2).

Оскільки ці функції неперервні та мають неперервні частинні похідні в замкненій області D, коло є гладкою кривою, то формула Остроградського — Ґріна застосовна.

R x

Рис. до зад. 13.2.1

(1 x2)ydx x(1 y2)dy

[2.13.9]

Qx 1 y2,

Py 1 x

(1 y2

(1 x2))dxdy (x2 y2)dxdy

[2.7.4]

3d d d 3d 2

R4.

[Обчислимо криволінійний інтеграл безпосередньо.]

13. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду			127

x R cost,
	0	t 2 .
Параметризуємо рівняння кола: L :	0	t 2 .
y R sin t,


	[2.13.7]
(1 x2)ydx x(1 y2)dy

((1 R2 cos2 t)R sint( R sint) R cost(1 R2 sin2 t)R cost)dt

(R2 cos 2t 2R4 sin2 t cos2 tdt) 2 R4.

13.2.2. Обчислити інтеграл			xdy ydx		безпосередньо і за формулою
		R2	x2	y2
	L:x2 y2	R2

Остроградського — Ґріна.

Розв’язання. [2.13.7, 2.13.9.]

[Обчислюємо інтеграл безпосередньо, параметризуючи криву.]

	L :
	xdy ydx
	x2 y2
L

	R cost,
x	R cost,
						(0	t 2 ).
						(0	t 2 ).
y R sint,


[2.13.7]		2	R2 cos2 t R2 sin2 t
			R2 cos2 t R2 sin2 t								dt 2 .
			R	2		2	t R	2	2	t	dt 2 .
		0	R		cos		t R		sin	t
		0

[Перевіряємо умови застосовності формули Остроградського — Ґріна.]

Функції P(x,y)	y	,Q(x,y)		x	мають розрив в точці O(0;0),

	x2 y2		x2	y2

яке лежить усередині круга.

Формула Остроградського — Ґріна не застосовна. Коментар. Ось чому, хоча і


		x				y
	2				2			, (x;y) D \ O,
	2	y	2		2	y	2
x x		y		y x		y

криволінійний інтеграл може бути відмінним від нуля.

13.3.1. Перевірити чи є підінтегральний вираз повним диференціалом та обчис-

(1;1)

лити (x2 y2 )dx 2xydy.

(0;0)

Розв’язання. [2.15.2.]

[Записуємо умову того, що підінтегральний вираз є повним диференціалом і перевіряємо її.]

128	Розділ 2. Визначені інтеграли

	P(x, y) x2 y2,Q(x, y) 2xy.
P	Q	:		(x2 y2) 2y		( 2xy).
y	x		y		x

Підінтегральний вираз є повним диференціалом і інтеграл не залежить від того, якою кривою сполучено точки O(0; 0) і A(1;1).

Обчислимо інтеграл вздовж прямої y x, x [0;1].

(1;1)					[2.13.8]
(x2 y2)dx 2xydy				(x2 y2)dx 2xydy
(0;0)			y x,
			x [0;1]
1				1	2.
	y 1	(0 2x2 1)dx 2 x2dx
	y 1	(0 2x2 1)dx 2 x2dx
					3
0				0	3
0				0

13.3.2. Перевірити чи є підінтегральний вираз повним диференціалом та обчис-

(3;2;1)
лити	yzdx zxdy xydz.
(1;2;3)

Розв’язання. [2.15.1.]

[Перевіряємо умови того, що підінтегральна функція є повним диференціалом і криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування.]

P yz,Q zx, R xy.

P	:	(zx)		z	(yz)			;
y			x			y

Q	:	(xy)		x		(zx)			;
z			y			z

R	:	(yz)		y		(xy)	.
x			z
						x

Підінтегральний вираз є повним диференціалом і інтеграл не залежить від шляху інтегрування. Вибираємо шлях інтегрування вздовж ламаної ACB, де

A(1;2;3),.C(3;2;3),B(3;2;1):

AC :x t, y 2,z 3, t [1;3]

CB:x 3, y 2,z t, t [3;1]

13. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду

129

2 3dt 3 2dt 0.

Коментар. Ця умова еквівалентна тому,

що rotF

0, де

Rk .

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

13.4. Обчисліть криволінійний інтеграл уздовж кривої L, від точки A до точ-

ки B :

1) xdy ydx, A(0;0), B(1;2), якщо: а) L — відрізок AB; б) L — дуга

параболи y 2x2; в) L — ламана ACB, де C(0;1).

	(1;1)
2)			2xydx x2dy		уздовж лінії: а) y x, б) y x2.
	(0;0)

			2	2		x a cost,
3)			2	2			що об-
3)		y dx x dy, де L				— верхня половина еліпса	що об-
						y b sint,
	L
	L

ходиться проти руху годинникової стрілки.

4)	(x y)dx (x y)dy				, де L — коло x2 y2 a2.

	x	2	y	2
L

5) xdx ydy (x y 1)dz, де L AB,A (1;1;1), B(2;3;4).

6) ydx zdy xdz, де L : x a cost,y a sin t, z bt, 0 t 2 .

13.5. Застосовуючи формулу Остроградського — Ґріна, обчисліть криволіній-

ний інтеграл уздовж кривої L :

1) (2xy y)dx x2dy, де L — еліпс x		2	y	2	1;
1) (2xy y)dx x2dy, де L — еліпс x		2	y	2	1;
L	a		b
L
2) (x y)2dx (x2 y2 )dy, де L			—	трикутник з вершинами
L
A(1;1), B(3;2),C(2;5);

130	Розділ 2. Визначені інтеграли

3) (1 x2 )ydx x(1 y2 )dy, де L — коло x2 y2 R2;

		2	2
4) (xy x y)dx (xy x y)dy, де L : а) еліпс x				y	1; б) ко-
4) (xy x y)dx (xy x y)dy, де L : а) еліпс x		2		2	1; б) ко-
L	a			b
L

ло x2 y2 ax.

13.6.Переконайтесь у тому, що підінтегральний вираз є повним диференціалом і обчисліть криволінійний інтеграл:

(2;3)

(1;1)

xdy ydx;

2) (x y)(dx dy);

( 1;2)

(0;0)

1;1

y dx

x dy;

0;1

cos

sin

dy.

Відповіді

13.4. 1) а) 0; б)

; в) 2; 2) 1; 3) 4 ab2; 4) 2 ; 5)

13; 6) a2.

13.5. 1) ab; 2)

140

;

4) а) 0;

б)

13.6. 1) 8; 2) 12; 3)

2; 4) 1 .

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду

Навчальні задачі

14.1. Знайти

роботу

сили

вздовж верхньої

половини

еліпса

(y 0)

від точки M(a;0) до точки N( a;0).

Розв’язання. [2.14.1.]

вздовж кривої L знаходять за

Роботу силового поля F

формулою

[2.14.1]

a x

P(x,y)dx Q(x,y)dy ydx xdy

AL(F)

Рис. до зад. 14.1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc