методичка 2 семестр интегралы

Розділ 2. Визначені інтеграли

21

Невластивий інтеграл 1-го роду

Невластивий інтеграл 2-го роду

A

b

b



f (x)dx lim

f (x)dx,



f (x)dx

lim

f(x)dx,

A

0

a

a

a

a

f — неперервна на кожному [a; A]

a — точка нескінченного розриву,

f C(a;b]

Ознака порівняння. Якщо на

Ознака порівняння. Якщо у лівому

проміжку [a; ) означено дві

(правому) околі точки b (точки a)

невід’ємні функції f та , інтегровні

означено дві невід’ємні функції f та ,

на кожному скінченному відрізку

причому x a : 0 f (x) (x), то

[a;b], причому x a :

зі збіжності

0 f (x) (x) , то зі збіжності

b

(x)dx випливає збіжність

(x)dx випливає збіжність

a

a

b

b

f (x)dx, а з розбіжності f (x)dx

f (x)dx, а з розбіжності f (x)dx

a

a

a

a

b

випливає розбіжність (x)dx.

випливає розбіжність (x)dx.

a

a

Гранична ознака порівняння. Якщо

Гранична ознака порівняння.

на проміжку [a; ) визначено дві

Нехай функції f та додатні на

додатні функції f та , інтегровні на

проміжку [a;b],a — точка

будь-якому скінченному відрізку

нескінченного розриву функцій f та

[a;b],

й існує скінченна

. Тоді якщо існує скінченна

lim

f (x)

A 0,

lim

f (x)

A 0, 0,

x (x)

x a

(x)

b

b

то

f (x)dx та (x)dx одночасно

то f (x)dx

та (x)dx одночасно

a

a

a

a

збігаються або одночасно

збігаються або одночасно

розбігаються.

розбігаються.

Розділ 2. Визначені інтеграли

23

2)

f (x, y)

g(x, y)dxdy

g(x, y) dxdy f (x, y)dxdy

D

D

D

(лінійність);

3)

f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f(x, y)dxdy (адитивність);

D1 D2

D1

D2

4) mS(D)

f (x, y)dxdy MS(D), де m

(x;y) D

(x;y) D

min

f (x, y), M max f (x, y)

Область

y

y 2(x)

Пряма x

(a b) перетинає

правильна в

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Oy

точках.

b

2(x )

y 1(x)

f (x, y)dxdy dx

f (x, y)dy

O

a

b

x

D

a

1(x )

Область

y

Пряма y (c d) перетинає

x (y)

правильна в

d

1

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Ox

точках.

c

x 2(y)

d 2 (y)

f (x, y)dx

f (x, y)dxdy dy

O

x

D

c

1(y)

Заміна змінних у подвійному інтегралі

Перехід до нових координат

f(x, y)dxdy

x(u, v),

x

D

y(u, v)

f(x(u, v), y(u, v))

J(u, v)

dudv

y

D

з якобіаном J(u, v)

x

x

u

v

y

y

u

v

24

Розділ 2. Визначені інтеграли

Перехід до полярних координат

f(x, y)dxdy

cos ,

D

x

f ( cos , sin ) d d

sin ,

y

D

J

Перехід до узагальнених полярних

f (x, y)dxdy

координат

D

x a cos ,

f(a cos ,b sin )ab d d

D

y b sin ,

J

ab

Перехід до повторних інтегралів у полярних координатах

Криволінійний сектор («радіальна

Будь-який промінь

область»)

( ) перетинає межу області

2( )

не більше ніж у двох точках.

f ( , ) d d

1( )

D

2( )

O

P

d f ( , ) d .

1( )

Криволінійний сектор

( )

( )

O

P

f( , ) d d d f( , ) d

0

D

2.8. Застосування подвійних інтегралів

Площа плоскої області

S(D) dxdy

D

Маса пластинки у формі області

m (x, y)dxdy

D з густиною (x, y)

D

Розділ 2. Визначені інтеграли

25

Статичні моменти пластинки

Mx

y (x, y)dxdy,

щодо осей

D

My

x (x, y)dxdy

D

Координати центра мас

xc

My

, yc

Mx

пластинки

m

m

Моменти інерції пластинки

Ix

y

(x, y)dxdy,

2

щодо осей

D

Iy

x2 (x, y)dxdy

D

Моменти інерції пластинки

IO

(x

2

y

2

) (x, y)dxdy

щодо початку координат

D

2.9. Потрійні інтеграли

Потрійний інтеграл від функції

z

u f (x, y, z) за областю G

G

f(x, y, z)dxdydz

Vi

G

n

O

y

lim f ( i, i, i ) Vi,

x

M

( ;

; )

max di 0 i 1

i

i i

i

n

де Vi

— об’єми елементарних областей; di — їхні діаметри.

Геометричний зміст потрійного

(x, y, z)dxdydz m(G)

інтеграла. Маса тіла G з густиною

G

(x, y, z) 0

26

Розділ 2. Визначені інтеграли

Обчислення потрійних інтегралів

Область

z

2

Будь-яка вертикальна пряма перетинає

циліндрична в

межу області не більше ніж у двох

напрямі осі Oz

точках.

2

: z z2(x, y),

O

f (x, y, z)dxdydz

1 : z z1(x, y)

1 y

G

z2 (x,y)

x

D

dxdy

dz

DOxy

z1(x,y)

Область циліндрична в напрямі

f (x, y, z)dxdydz

осі Oz; проекція DOxy правильна у

b

G

y2 (x)

z2 (x,y)

напрямі осі Oy :

dx dy f (x, y, z)dz

x b,

a

a

y1(x)

z1(x,y)

D

:

(x)

Oxy

y (x) y y

1

2

Перехід до циліндричних

f (x, y, z)dxdydz

координат

G

f ( , , z) d d dz,

cos ,

x