Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка 2 семестр интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

9. Заміна змінних у подвійному інтегралі

101

[Побудуймо область D.]
x2 y2	4x (x 2)2 y2	4,
x2 y2	8x (x 4)2 y2	16.

[Вибираємо систему координат, у якій обчислювати-

мемо інтеграл. ]

Інтеграл обчислюватимемо у полярних координатах:

x cos ,

y sin , x2 y2 2, ( ; ].

J ;

y 2x

y x

O	2 4	8 x
	Рис. до зад. 9.2

[Записуємо рівняння ліній, що обмежують область інтегрування, в полярних координатах.]

x2 y2	4x;	2	4 cos ;		4 cos .
x2 y2	8x;	2	8 cos ;		8 cos .

				tg 1,
y x; sin cos ;								.
y x; sin cos ;								.
				( ; ];			4
							4


				tg 2,
y 2x; sin 2 cos ;						arctg 2.
y 2x; sin 2 cos ;						arctg 2.
				( ; ];

[Записуємо подвійний інтеграл у полярних координатах.]

dxdy

[2.7.4]

d d

2 2

)

arctg 2,

arctg 2

8 cos

4 cos 8 cos

4 cos

1 arctg 2		1		8 cos		3	arctg 2	d	3		arctg 2

					d					tg
2			2			128		2	128
	4			4 cos			4	cos			4

1283 .

Коментар. Змінюючи систему координат чи залишаючись у декартовій, зважаємо на таке:

1)правильна чи неправильна щодо якоїсь з осей область у декартових координатах (якщо неправильна, то на скільки правильних областей її треба розбити);

2)чи спрощує відповідним чином підібрана заміна змінних область інтегрування (скажімо, вона стає правильною) і підінтегральну функцію.

До полярних координат [2.1.1] доцільно переходити, якщо:

1)областю інтегрування є круг (кругове кільце) або круговий сектор;

2)підінтегральна функція залежить від x2 y2 (у разі переходу до полярних координат x2 y2 2).

102	Розділ 2. Визначені інтеграли

a b	1 x2 a2
			x	2	2
9.2.2. Обчислити dx		9				y	dy.
				2		2
0	0	a			b

Розв’язання. [2.7.5.]

Переходимо до узагальненої полярної системи координат:

		a cos ,
x		a cos ,			2		2
				x	2	y	2
				x		y		2
								2
y		b sin ,							, ( ; ].
y		b sin ,							, ( ; ].
				a	2	b	2
	J		ab ;	a		b
	J		ab ;

[Записуємо рівняння ліній, що обмежують область інтегрування, в узагальнених полярних координатах.]

x2		y2	1;	2 1; 1;
a2		b2	1;	2 1; 1;
a2		b2			.
	0 x a; 0				.
					2


O	a x
	Рис. до зад. 9.3

1 x2

[2.7.5]

9 x2

y2 dy

9 x2

y2 dxdy



9 2ab d d ab d

9 2 d

ab2

d 9 2

9 2

3 2

27 16 2

3 (9 2)

Коментар. До узагальнених полярних координат [2.1.2] доцільно перехо-

дити, якщо:

1) область інтегрування обмежена еліпсами (еліпсом)

2 2

a k

b k

підінтегральна функція

залежить

від

(за

такого переходу

Оскільки область інтегрування D еліптичний сектор, то переходимо до узагальненої полярної системи координат.

Такі повторні інтеграли (сталі межі інтегрування в обох інтегралах і підінтегральна функція кожного інтеграла залежить лише від однієї змінної) можна обчислювати незалежно.

9. Заміна змінних у подвійному інтегралі			103
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
9.3. В інтегралі f (x,y)dxdy,	де область D обмежена лініями		xy 2,
D
xy 1,y 3x,y 4x, замінити змінні за формулами: xy u,y vx.
9.4. Розставте межі інтегрування в подвійному інтегралі		f (x,y)dxdy, пе-
рейшовши до полярних координат, якщо:		D
рейшовши до полярних координат, якщо:
1) D — круг x2 y2 R2;	2) D — круг x2	y2 ax;

3)D — круг x2 y2 by;

4)D — область, обмежена колами x2 y2 4y, x2 y2 8y і прями-

ми y x,y 2x.

9.5.Обчисліть подвійні інтеграли, перейшовши до інших координат:

R	R2 x2
1) dx		ln(1 x2 y2 )dy;

2)(h 2x 3y)dxdy,D — круг x2 y2 R2;

3)
3)			R2 x2 y2dxdy, D — круг x2 y2				Rx;
		D
4)		arctg		y	dxdy,	D — частина кільця	x2 y2 1, x2 y2 4,
4)		arctg			dxdy,	D — частина кільця	x2 y2 1, x2 y2 4,
		D		x
		D
	x
	x	y x 3;

3
3

5) a2 x2 y2dxdy, D — область, обмежена пелюсткою лемніска-

ти Бернуллі (x2 y2 )2 a2(x2 y2 )(x 0);

6) x x2 y2dxdy, D — обмежена пелюсткою лемніскати Бернуллі

D
(x2 y2 )2	a2(x2 y2 )(x 0);
7) xydxdy, D — область, обмежена еліпсом x		2	2
7) xydxdy, D — область, обмежена еліпсом x		2	y2	1, яка ле-
D	a		b
D

жить у 1-й чверті;

104	Розділ 2. Визначені інтеграли


8)			xydxdy, D —		обмежена кривими y2		2x,y2 3x, xy 1,
	D
xy 4;

	a	a2 x2
9)	dx			ex2 y2dy;	10)		(x2 y2)4dxdy.
	0	0				D:x2 y2 2Rx

Відповіді

				1	4	dv	2		u
9.3.		f(x,y)dxdy		1		dv			u
				2		v			v
								f
	D				3		1
	2		R

9.4. 1) d f ( cos , sin ) d ; 2)

, uv du.

2	a cos
	d	f ( cos , sin ) d ;

		0			0															2			0
			b sin																arctg 2				8 sin
3) d					f ( cos , sin ) d ; 4)																	d				f ( cos , sin ) d .
0				0																4			4 sin
						2						2						2				2				R		3			4					2
						2						2						2				2				R					4
9.5.	1)			(1	R			)ln(1				R		)	R				; 2) R h; 3)													;		4)			;
		4																																	16
		4																									3				3				16
											3									2		2																	126
			16		2						3	2			2		4			2		2			14				3					a2									10
			16		2	20 a						2			2		4			a b					14				3					a2									10
5)												; 6)					a ; 7)						8)						; 9)						1); 10)							R .
5)	3				9					2		; 6)					a ; 7)			8		;	8)				ln		; 9)		4		(e		1); 10)							R .
	3				9					2				15						8					9				2		4								5
														15											9				2										5
10. Застосування подвійного інтеграла
Навчальні задачі
10.1.1. Знайти									площу фігури,											обмеженої									лініями					x2 y2				12,					x
10.1.1. Знайти									площу фігури,											обмеженої									лініями					x2 y2				12,					x	6	y2
			(x 0).
Розв’язання. [2.8.1.]																																								y
[Записуємо формулу, виходячи																					із	шуканого								застосування										y
інтеграла.]
інтеграла.]																																							6						D
Площу плоскої області D знаходять за формулою																																							6						D
Площу плоскої області D знаходять за формулою																																														x
															[2.8.1]																												6			x
													S(D)				dxdy.																							O			6	2 3
																			D
Область D є правильною в напрямі осі Ox
Область D є правильною в напрямі осі Ox																																									6
				2						2
							y					12,																											Рис. до зад. 10.1.1

				x												x1 2								6,x2						6.

							6 y2
				x			6 y2

але x 0					x								6, а отже y1								6, y2									6.

				10. Застосування подвійного інтеграла																																			105
Область D проектується на вісь Oy у відрізок
Область D проектується на вісь Oy у відрізок																									6 y							6,
											1					y2, справа дугою кола x
і обмежена: зліва параболою x											1																											12 y2 .

											6
											6

											12 y2
					6						12 y2										6												y		2
																					6									2					2
																														2


S			dxdy				dy										dx									12 y										dy
		D								y2																									6
		D			6					y2				6								6													6

6											6									2
6						2			y	3	6								y					3 sin t,							y				0			6
2		12 y2dy								3									y					3 sin t,							y				0			6

								3			0								dy 2				3 costdt.								t				0

0					6																																	4
	4																											4
													costdt 4 12 cos2 tdt 4
			12 12 sin2 t2
			12 12 sin2 t2									3
	0																						0
		4																									4							3
		4

6 (1 cos 2t)dt											4 6									sin 2t									4								1.
6 (1 cos 2t)dt											4 6							t											4								1.
																				2															2
	0																			2							0								2
	0																										0							y2 4y x2
10.1.2. Знайти		площу			фігури,										обмеженої											лініями								y2 4y x2					0,

y2 8y x2 0, x 3y,x 0.

Розв’язання. [2.8.1.]

Площу плоскої області D знаходять за формулою

[2.8.1]

S(D) dxdy.

Область D обмежена колами

(y 4)2 x2 16,(y 2)2 x2 4,

і прямими x 0, x 3y.

Виходячи з форми області D, доцільно перейти до полярних координат [2.1.1]:

x cos ,

y sin , x2 y2 2, ( ; ].

J ;

y2 4y x2 0; 2 4 sin 0; 4 sin . y2 8y x2 0; 8 sin

sin cos	; tg	1	; 1		.

		3
3		3		.	6
cos 0; cos 0;			2	.
			2	2
				2

y
4	D
2	1
O	x

Рис. до зад. 10.1.2

106	Розділ 2. Визначені інтеграли

	[2.7.4]
S dxdy			d d				6	2 ;
D							4 sin 8 sin
2	8 sin		2	2	8 sin				2
2	8 sin		2	2	8 sin				2
d		d		2	4 sin	d 24 sin2 d
6	4 sin		6	2					6
6	4 sin		6						6
2										2
2										2
							sin 2				4 3
							sin 2					3.
12 1 cos 2 d 12												3.
							2
6							2
6										6

10.2.1.Знайти масу пластинки D, яка обмежена лініями 2y x2, x y 4, з густиною розподілу маси (x, y) 2.

Розв’язання. [2.8.2.]

Масу пластинки D з густиною (x,y) знаходять за формулою

[2.8.2]	(x, y)dxdy 2dxdy.
m(D)	(x, y)dxdy 2dxdy.
	D	D

Область D правильна в напрямі осі Oy. Залишаємось у декартових координатах.

[Щоб визначити межі інтегрування знайдемо абсциси точок перетину параболи і прямої.]

	2	,				x
	2y x	,		2		x	1
			x	2	2x 8 0		1
			x		2x 8 0
x y 4
x y 4					x2

D 4

4 2 x

Рис. до зад. 10.2.1

						2 x 4,
m 2 dxdy						зверху y 4 x,
		D				знизу y		x2
						знизу y		2
	2
					x	2			x	2
						2				2

2			4	x				4x
2			4	x			dx 2	4x
					2				2
4					2				2
4

24 x

2 dx dy

4 x2

			2
x	3	2
	3	2

			36.
			36.
6
6		4
		4

10.2.2. Знайти		масу пластинки D, яку задано нерівностями			y x	0,
					4
1	x2	y2 3, з густиною розподілу маси (x,y)	x	.
1	16	y2 3, з густиною розподілу маси (x,y)	y5	.
	16		y5

Розв’язання. [2.8.2.]

Масу пластинки D з густиною (x,y) знаходять за формулою

10. Застосування подвійного інтеграла

107

[2.8.2]

(x, y)dxdy

m(D)

dxdy.

Виходячи з форми пластинки доцільно перейти до

узагальнених полярних координат [2.1.3]:

3 D

x 4 cos ,

4 x

y sin ,

4 .

Рис. до зад. 10.2.2

1 2 3; 1 3.

4 sin 4 cos 0; tg 1;

4 cos

cos

3 d

dxdy

4 d d 16

sin

10.3.Знайти координати центра маси однорідної матеріальної пластини, обмеженої кривими y2 4x 4, y2 2x 4 .

Розв’язання. [2.8.4]

Пластина однорідна, тому (x, y) 0 const .

Пластина симетрична відносно осі Ox , тому yC 0.

Абсцису центра маси шукають за формулою xC Mmy ,

1 C 2 x

де M				1			xdxdy;				m				xdxdy.																			2
де M	y						xdxdy;				m				xdxdy.
	y		m				0										0																	Рис. до зад. 10.3
					D									D
																					2			(4 y2 ) 2
							My x 0dxdy 0 dy																						xdx
										D											2			(4 y2 ) 4
								1		2		1				2	2				1				2			2
								1				1	4 y			2					1		y		2
									0																	4				dy
									0																	4				dy
								2													16
								2		2 4											16
		3				2				2			4						3								8y		3		y	5	2		16
						2																							3			5	2

							16 8y y							dy
					0															0		16y														0.
		16			0													16		0		16y						3			5				5	0.
		16				0												16										3			5		0		5
						0																											0

108	Розділ 2. Визначені інтеграли

	2		(4 y2 ) 2				2		1		4							1		y
	2						2		1									1
																	2				2
0dxdy 0 dy						dx 0									y
																		4
	2		(y2 4) 4					2 2										4
	2			3 2									y	3		2
	2													3		2

2 0		3			y												8		0.

						dy	2 3y
				4									4
	0			4									4			0
	0		x	c		16 0		1		2		.				0
						16 0		1		2
								8 0
						5			5
						5			5

4 dy

	2
	2
Центр маси даної пластини міститься в точці C		; 0 .

5

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

10.4. Обчисліть площі фігур, обмежених лініями:

1) y2 2x,y x; 2) y x2,y 2x x2;


3)	x 0,y x,y 2 x2 (x 0); 4) x2 y2 4,y2 4 4x,x 1;
5) x2 y2 2x,x2 y2 4x,y x,y 0;
6) x2 y2 3y,x2 y2 5y,y		x	,x 0;

7) (x2 y2)2 x2 y2,x2 y2 2x 0;

8) a(1 cos ), a cos (a 0);

	x	2		y		2	2		x	2	y	2
	x			y					x		y
													(лемніската);
9)													(лемніската);
	4				9				4		9
	4				9				4		9
		x	2			y	2 2
		x				y
								4xy			(лемніската);
10)								4xy			(лемніската);
			2			b	2
	a					b

11)x2 3y,x2 4y,y2 x,y2 2x;

12)y2 ax,y2 bx,xy ,xy (0 a b, 0 ).

10.5. Знайдіть масу пластини D з густиною (x,y):

1)D : x2 y2 ax, x2 y2 2ax,y 0, (x,y) x2 y2;

2)D : (x2 y2)2 a2(x2 y2),(x 0), (x,y) x x2 y2 ;

11. Потрійний інтеграл

109

3) D : x2 y2

4,x2

y2 16,x 0, y 0, (x,y)

y x

;

x2 y2

4) D : 1

2, x 0, x

y, (x,y)

27x

10.6.Для пластинки D з густиною (x,y) знайдіть: а) масу; б) координати центру мас; в) моменти інерції щодо осей Ox та Oy, якщо:

1)D : x2 y2 2ax, (x,y) 0 x2 y2 ;

2)D : x y a,a x 0,a y 0, (x,y) x.

Відповіді

		2 ;		1						7			6 8								3				3						4
10.4. 1)			2)	1		; 3)				7	; 4)		6 8				;	5)			3				3		;		6)		4			3; 7)
10.4. 1)			2)	3		; 3)				6	; 4)						;	5)				4			2		;		6)		3			3; 7)
		3		3						6				3								4			2						3
10) 2a2b2;11)				1		; 12)					1					b
10) 2a2b2;11)				3		; 12)					3 ( )ln a .
		45
10.5. 1)		45	a4; 2)							2		2 a4;		3) 4; 4) 1.
		64								15
10.6. 1) а)			32	a	3			;		б) x				6	a,y				0;				в)		I						512		a	5		, I
10.6. 1) а)				a			0	;		б) x					a,y				0;				в)		I	xx							a		0	, I	yy
			9				0					C		5			C									xx					525				0		yy
			9											5																	525
2) а)	a3	; б) x							3a		,y			5a		; в)			I					3a5				, I				a5		.
2) а)		; б) x									,y					; в)			I	xx								, I		yy				.
	3		C							4		C		8						xx			20							yy			5
	3									4				8									20										5

1 ; 8) 5 a2; 9) 6;

2 4

1024175 a5 0;

11. Потрійний інтеграл

Навчальні задачі

11.1. Обчислити I zdxdydz, якщо область G обмежена поверхнями:

z x2 y2, x y 1, x,y,z 0.

Розв’язання. [2.9.4.]

Область інтегрування G є циліндричною в напрямі осі Oz.

знизу площиною z 0, зверху — параболоїдом z x 2 y2. на площину Oxy .

	[2.9.4]	зверху z x2 y2,						x2 y2
								x2 y2
zdxdydz							dxdy
zdxdydz		знизу z 0					dxdy
G		знизу z 0					DOxy	0
G				z2	x2	y2	DOxy	0
					x2	y2
						dxdy
				2

			D		0
			D		0
			Oxy

Вона обмежена:

Проектуємо тіло

zdz

110	Розділ 2. Визначені інтеграли

			1	(x2								1	x 1,											z
																								z

							y2)2dxdy					зверху y 1 x,													G
			2

				DOxy								знизу y 0
				DOxy								знизу y 0													y
					1	1	1 x																x		y


						dx			(x4 2x2y2 y4 )dy														y
					2	0		0															y
						0		0										1 x					1
					1	1				2				y	5										D
						1									5										D
											2 3														Oxy
							4				2 3														Oxy
							x y				x y								dx
					2		x y			3	x y			5					dx
					2	0				3				5				0
	1	1				0		2										0	5		7		O		1 x
		1
				4						2		3
				4						2		3				(1 x)


									x (1 x)													.
			x (1 x)						x (1 x)											dx		.
	2 0							3									5				180		Рис. до зад. 11.1
Коментар. Оскільки область DOxy																є трикутником, залишаємось у декартовій

системі координат. Вибираємо інтегрування вздовж осі Oy (область правильна в обох напрямах.)

11.2. Обчислити
11.2. Обчислити	x2 y2 z2dxdydz.
V :x2 y2 z2 z

Розв’язання. [2.9.8.]

Оскільки область є кулею, обмеженою сферою x2 y2 z 12 2 14 ,

то інтеграл зручніше обчислювати у сферичній системі координат

[2.1.6]:

		r cos sin ,
x		r cos sin ,
						r 0,
		r sin sin ,				r 0,
y		r sin sin ,
				( ; ], [0; ],
		r cos ,		( ; ], [0; ],
z		r cos ,
					2		2		2	2
					2		2		2	2
	J		r2 sin ;	x		y		z		r	.

[Записуємо рівняння поверхонь у сферичній системі координат.] x2 y2 z2 z; r2 r cos 0; r cos .

r cos 0; 0 2 .

O y

Рис. до зад. 11.2

			[2.9.8]
x2	y2	z2dxdydz		r3 sin drd d
G				G
	2	cos		2		cos

d sin r3d 2 sin r4						d
	0	0		0	4	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20194.29 Mб92Методическое пособие для барменов.doc
#
09.11.2019540.16 Кб2Методическое____пособие_инструктору_АФФ.doc
#
11.11.2019304.13 Кб9методичка 5 курс (правильная).doc
#
17.03.20161.6 Mб139Методичка (дискретка).pdf
#
05.11.2018265.73 Кб5методичка 2 курс спецфакультет (1).doc
#
12.05.20155.01 Mб42методичка 2 семестр интегралы.pdf
#
12.11.2019111.71 Кб2Методичка 4 курс МП ММІ .doc
#
12.05.2015265.22 Кб37МЕТОДИЧКА 5 КУРС.doc
#
09.11.2019181.25 Кб0Методичка 5курс (1 часть).doc
#
09.11.2019143.36 Кб2Методичка 5курс (2 часть).doc
#
20.12.2018287.74 Кб1Методичка VC++6укр.doc