DifYr

1.16.Приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений первого

порядка

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.17.Применение дифференциальных уравнений

первого порядка

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Глава 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.1.Определения. Теорема Кош´и

Дифференциальным уравнением n-го порядка (n 2 N) называется соотношение

связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные до n-го порядка включительно, где F – заданная непрерывная функция всех своих аргументов, определённая в области B Rn+2. При этом левая часть соотношения (2.1) явно зависит от старшей производной y(n). Всякое уравнение порядка выше первого называется уравнением высшего порядка.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решением дифференциального уравнения n-го порядка

F x; y; y0; y00; : : : ; y(n) = 0

на интервале (a; b) называется всякая дифференцируемая функция ' : (a; b) -! R, которая, будучи подставлена в уравнение, обратит его в тождество на интервале (a; b), то есть 8x 2 (a; b) :

F x; '(x); '0(x); '00(x); : : : ; '(n)(x) = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Мы ввели новые понятия, по отношению к которым возникают следующие вопросы:

существует ли решение дифференциального уравнения (2.1) на некотором интервале (a; b)?

если существует, то единственное ли это решение?

если существует и единственное, то, как его найти?

если существует и не единственное, то, как описать совокупность всех решений?

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Обозначим через D R2, множество точек (x0; y0) 2 R2,

для которых x0; y0; y0; y00; : : : ; y(n) 2 B Rn+2. Мно-

жество D R2 называют областью определения уравнения (2.1).

Очевидно, что, как и дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков, если имеют решения на интервале (a; b), то их бесчисленное множество. График каждого решения y = '(x) на интервале (a; b) является частью некоторой интегральной кривой, проходящей через точку

(x0; y0) 2 D, где x0 2 (a; b); y0 = '(x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit