22. Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве

4.1. Векторы и линейные операции над ними

4.2. Проекция вектора на ось

4.3. Скалярное произведение векторов

4.4. Векторное произведение векторов

4.5. Смешанное произведение векторов

24. 4.1. Векторы и линейные операции над ними

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается .

Определение. Модуль (длина) вектора – длина порождающего вектор отрезка. Обозначается .

Определение. Нулевой вектор – это вектор, начало и конец которого совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю, направление он не имеет.

Определение. Единичный вектор – это вектор, длина которого равна 1.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направление.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов

2. Умножение вектора на число. Произведением вектора на числоназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) ; 2)Если;

3) Если; 4)

Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов): .

25. 4.2. Проекция вектора на ось

Определение. Прямая L с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат – совокупность точки О – начала координат и трёх взаимно перпендикулярных осей ox, oy, oz с выбранными на них единицами масштаба, где единичные векторы координатных осей ox, oy, oz соответственно.

Обозначим – угол между положительным направлением осии вектором, отсчитываемый в направлении против движения часовой стрелки. Проекциейна осьназывается числоA'B', при этом A'B'>0, если ,A'B'<0 если . В обоих случаях пр._L= .

Свойства проекций векторов

1) ;

2)

Определение. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

Обозначается , гдеa_x – пр._Ox; a_y – пр._Oy; a_z – пр._Oz.

Длина вектора с помощью его координат определяется по формуле

.

Выражение вида называется разложениемпо единичным векторам.

Пусть – углы, которые образуетсоответственно с осямиоx, оy, оz, тогда – направляющие косинусы вектора, причёми.

Если заданы координаты начала вектора A(x_A,y_A,z_A) и его конца B(x_A, y_A, z_A), то координаты вектора .

Замечание

Если векторы заданы в координатной форме, то есть ,, то линейные операции над векторами выполняются по правилам:

1.

2.

26. 4.3. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними, то есть.

Если векторы заданы в координатной форме, то есть ,, то.

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

C помощью скалярного произведения можно вычислить:

1) косинус угла между векторами

2) длину вектора ;

3) проекцию одного вектора на другой .

Если векторы заданы в координатной форме, то

1) ;

2) ;

3) .

Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: или. Из необходимого и достаточного условия параллельности двух векторов вытекает пропорциональность их координат.