57. 10.3. Операции с комплексными числами

Сумма двух комплексных чисел

определяется формулой:

₁ + ₂ = (₁+₂)+(₁+₂).

При этом их радиус-векторы складываются по правилам параллелограмма:

Аналогично ₁ - ₂ = (₁-₂)+(₁-₂).

Произведение комплексных чисел определяют следующим образом:

Произведение комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах имеет вид:

= .

Таким образом: , аArg() =Arg₁ + Arg₂.

При возведении в степень n комплексного числа его модуль возводится в степеньn, а аргумент увеличивается в n раз, то есть имеем:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме пользуются умножением числителя и знаменателя дроби на число, сопряжённое к знаменателю , то есть.

Пример:

В тригонометрической форму при делении комплексных чисел получают:

(cos(₁-₂) + sin(₁-₂)), то есть , а

Arg = Arg₁ - Arg₂.

Определение. называется комплексное числоW, такое что .

Пусть ,r и известны,требуется определить.,. Два комплексных числа, записанные в показательной или тригонометрической формах равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное, то естьОтсюда получим

и

k=0,1,2,…,n-1. Корень n-ой степени из комплексного числа имеетn различных значений, которые располагаются на окружности радиуса с центром в точке 0+0i, а аргументы двух соседних корней отличаются на слагаемое .

58. Лекция 11. Многочлены

11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители

11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби. Выделение целой части неправильной дроби

11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших

60. 11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители

Определение 1. Многочленом (полиномом) степени n от одной переменной называется выражение вида

(1)

(- действительные числа,n - целое неотрицательное число.

Многочлен нулевой степени (n=0) совпадает с постоянной.

Два многочлена считают равными, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях

Деление многочленов. Разделить многочлен на многочленQ(– значит найти многочлены М( частное) иN((остаток) такие, что при любомвыполняется равенствоQ(МN(, причем степень многочленаN(меньше степени многочленаQ(

Пример. 2,

где делитель Q(

N(.

Если остаток от деления N(тогдаQ(Ми говорят, чтоделится наQ(нацело.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на разность-а равен , т.е. –а) М.

Определение 2. Число , для которого, называется корнем многочлена.

Следствие. Если а – корень многочлена , то многочленделится нацело на разность-а , т.е. –а) М, где степень многочлена Мна единицу меньше степени многочлена

Разложение многочлена на множители

Если многочлен удается представить в виде произведения других многочленов, то говорят, что данный многочлен разложен на множители.

Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n ( n имеет n корней ( в общем случае комплексных).

Следовательно, каждый многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей:

,

.

могут оказаться одинаковые:

, числа кратности корней,.

Если корень α = β + γi многочлена с действительными коэффициентами имеет кратностьk , то корнем той же кратности k этого многочлена будет число = β - γi комплексно сопряженное с корнем α .

(х- α)(х-β + γi β - γi =((хβ) – γi)((β )+ γi )=

(хβ)² – γ² i² = х²- 2 βх+ β²+γ² = х²+px+q , где p= -2β, q= β²+γ²,

p²-4q

Вывод. Каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов в степенях, равных кратностям корней:

=...,

где +=n , - 4j = 1,2,…, s