52. 9.4. Окрестность точки, элементы топологии

Пусть 𝜺 – произвольное положительное число, 𝜺

Определение 1. 𝜺 – окрестностью точки x₀ Є R называется интервал

(x₀ –𝜺, x₀ + 𝜺) или х: |x - x₀| < 𝜺.

( . )

x₀ – 𝜺 x₀ x₀ + 𝜺

Пусть X – произвольное множество, &= { U_i, i Є I } – некоторое семейство его подмножеств, где множество I имеет произвольную мощность.

Определение 2. Семейство & определяет во множестве Х топологию, если

1) X и Ø Є U;

2) объединение любого числа множеств из семейства & принадлежит

семейству &;

3) Пересечение конечного числа множеств из семейства & принадлежит &.

Примеры топологических пространств (X, U) :

Х = R, & – семейство окрестностей. Понятия точки прикосновения, предельной точки, сходимости последовательности точек, непрерывности функций могут быть описаны в терминах открытых множеств (в терминах окрестностей точек).

53. Лекция 10. Действительные и комплексные числа

10.1. Действительные числа и их основные свойства

10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел

10.3. Операции с комплексными числами

55. 10.1. Действительные числа и их основные свойства

Множество действительных чисел состоит из двух множеств: рациональных и иррациональных чисел.

Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде несократимой дроби вида , гдеm и n, .

Иррациональными числами являются бесконечные, непериодические, единственным образом определены два действительных числа a + b и a b, называемые суммой и произведением и обладающие следующими свойствами:

1.

2. (a + b)+=a +( b +);

;

3. .

4. «0» - нейтральное число относительно суммы: a +0 = a.

5. «1» - нейтральное число относительно произведения:

6. Существует элемент «-a»: a +(- a) = 0.

7. Существует элемент «»:= 1.

Все действительные числа обладают свойством непрерывности, то есть если для любых ивыполняется неравенство, то существует хотя бы одно число:

.

Для любых двух различных действительных чисел установлено одно из отношений: a = b; a > b; a < b, причём если a > b и >0, то. И еслиa > b, то a +> b +.

Из перечисленных свойств вытекают все остальные свойства действительных чисел. Поэтому можно считать, что множество элементов, обладающих перечисленными свойствами, называется множеством действительных чисел, причём предложенное определение множества действительных чисел называется аксиоматическим.

56. 10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел

Определение. Выражение вида называется комплексным числом.

Элемент =называется «мнимой единицей». Элементыи- любые действительные числа. Числоназывается действительной частью комплексного числа и обозначается. Числоназывается мнимой частью комплексного числа и обозначается. Запись комплексного числа, представленного выше, называется алгебраической записью комплексного числа.

Модулем комплексного числа называется число.

Каждому комплексному числу соответствует пара действительных чисел (;) и наоборот. Поэтому комплексные числа удобно интерпретировать геометрически как точки на плоскости. Плоскость, содержащая комплексные числа называется комплексной и обозначается. В ней осьox - действительная, а ось oy - мнимая.

Определение Угол , образованный радиус-векторомс положительным направлением осиназывается аргументом комплексного числа и обозначается:Arg.

Наименьшее по модулю значение аргумента называется главным аргументом и обозначается: arg, Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого кратного:Arg= arg+2к.

Если учесть, что , а, то- тригонометрическая форма комплексного числа, где, а -аргумент комплексного числа.

- показательная форма записи комплексного числа, при этом =(формула Эйлера).