- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
Выше мы определили линейное ( векторное ) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.
Определение1. Линейное пространство Е называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, которая любым двум векторам этого пространства ставит в соответствие вещественное число
(( х , у)→α) ;
операция скалярного произведения определяется следующими аксиомами:
( х , у) = ( у , х) ;
( х + у, z ) = ( x , z ) +( y , z ) ;
( λх , у) = λ( x , y) для ;
( х , x) ;( х , x) = 0 х
Величину называют нормой или длиной вектора х.
Вектор, длина которого равна единице, называют нормированным.
Для любых двух векторов х и у евклидова пространства справедливы
1) неравенство Коши- Буняковского |( x , y )|2 ( x, x ) ∙ ( y, y )
2) неравенство треугольника |( x + y )|| x | +| y |.
Величину φ, определяемую из соотношения cos φ= , называют углом между векторамиx и y .
Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, при этом cos φ=0 и φ= π/2.
Определение 3. Система векторов называется ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогональны.
Определение 4. Базис (е1 , е2 , … , еn) называют ортонормированным, если
(ei., ej ) =
Если в евклидовом пространстве размерности n задан произвольный базис ( f1, f2 , …, fn), то с помощью процесса ортогонализации Грама- Шмидта по нему можно построить ортонормированный базис
(е1 , е2 , … , еn) :
g1= f1 , е1 = ,
g2 = f2 – (f2 , е1)∙ е1 , е2 = ,
g3 = f3 – (f3 , е1)∙ е1 -(f3 , е2)∙ е2 , е3 = ,
………………………………………………………………
gn = fn – (fn , е1)∙ е1 -(fn , е2)∙ е2 -…-(fn , еn-1)∙ еn-1 , еn = .
В ортонормированном базисе (е1 , е2 , … , еn) скалярное произведение векторов х и у находят по формуле
( х , у) = х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn .
Пример. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис по базису евклидова пр-ва
1=,2=
1=1 , ; 1===
2=2 - (2,1) ∙1=-∙
2=
; 1┴2
Ответ:1=2=.
12.5.n- мерное арифметическое пространствоRn. Скалярное произведениеn-мерных векторов, длина вектора. Угол междуn-мерными векторами
Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства Rn.
Определение 1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), где хi - i – я компонента вектора х.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), а соответствующие цены - вектором у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) .
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если хi = уi , i = 1, 2, … , n.
Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов , т.е.
zi =xi+yi , I = 1,2, … , n.
Произведением вектора х на действительное число λ называется вектор u = λ х , компоненты ui которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора х, т.е. ui = λ xi .
Нулевым n-мерным вектором называется вектор , все компоненты которого равны нулю: О = ( 0, 0, … , 0, … 0 ) .
Противоположным к вектору х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) называется вектор
-х = (- х1, - х2, … , -хi , … ,- xn ) .
Определение 2. Множество всех n-мерных векторов с введенными в нем операциями сложения векторов и умножения векторов на действительные числа называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается Rn.
Пространство Rn является линейным пространством.
Определение 3. Скалярным произведением двух n-мерных векторов
х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) и у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) называется
число ( х , у) = х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn =.
Пространство Rn является евклидовым пространством, так как в нем определено скалярное произведение элементов.
Длина п-мерного вектора вычисляется по формуле =.
Угол φ между двумя п-мерными векторами определяется по формуле
φ=arccos =.