Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
семестр 1. лекции по ЛА.docx
Скачиваний:
375
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
1.8 Mб
Скачать
  1. 12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации

Выше мы определили линейное ( векторное ) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение1. Линейное пространство Е называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, которая любым двум векторам этого пространства ставит в соответствие вещественное число

(( х , у)→α) ;

операция скалярного произведения определяется следующими аксиомами:

  1. ( х , у) = ( у , х) ;

  2. ( х + у, z ) = ( x , z ) +( y , z ) ;

  3. ( λх , у) = λ( x , y) для ;

  4. ( х , x) ;( х , x) = 0 х

Величину называют нормой или длиной вектора х.

Вектор, длина которого равна единице, называют нормированным.

Для любых двух векторов х и у евклидова пространства справедливы

1) неравенство Коши- Буняковского |( x , y )|2 ( x, x ) ( y, y )

2) неравенство треугольника |( x + y )|| x | +| y |.

Величину φ, определяемую из соотношения cos φ= , называют углом между векторамиx и y .

Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, при этом cos φ=0 и φ= π/2.

Определение 3. Система векторов называется ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогональны.

Определение 4. Базис (е1 , е2 , … , еn) называют ортонормированным, если

(ei., ej ) =

Если в евклидовом пространстве размерности n задан произвольный базис ( f1, f2 , …, fn), то с помощью процесса ортогонализации Грама- Шмидта по нему можно построить ортонормированный базис

(е1 , е2 , … , еn) :

g1= f1 , е1 = ,

g2 = f2 – (f2 , е1)∙ е1 , е2 = ,

g3 = f3 – (f3 , е1)∙ е1 -(f3 , е2)∙ е2 , е3 = ,

………………………………………………………………

gn = fn – (fn , е1)∙ е1 -(fn , е2)∙ е2 -…-(fn , еn-1)∙ еn-1 , еn = .

В ортонормированном базисе (е1 , е2 , … , еn) скалярное произведение векторов х и у находят по формуле

( х , у) = х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn .

Пример. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис по базису евклидова пр-ва

1=,2=

1=1 , ; 1===

2=2 - (2,1) ∙1=-

2=

; 12

Ответ:1=2=.

  1. 12.5.n- мерное арифметическое пространствоRn. Скалярное произведениеn-мерных векторов, длина вектора. Угол междуn-мерными векторами

Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства Rn.

Определение 1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), где хi - i – я компонента вектора х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), а соответствующие цены - вектором у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) .

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если хi = уi , i = 1, 2, … , n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов , т.е.

zi =xi+yi , I = 1,2, … , n.

Произведением вектора х на действительное число λ называется вектор u = λ х , компоненты ui которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора х, т.е. ui = λ xi .

Нулевым n-мерным вектором называется вектор , все компоненты которого равны нулю: О = ( 0, 0, … , 0, … 0 ) .

Противоположным к вектору х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) называется вектор

-х = (- х1, - х2, … , -хi , … ,- xn ) .

Определение 2. Множество всех n-мерных векторов с введенными в нем операциями сложения векторов и умножения векторов на действительные числа называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается Rn.

Пространство Rn является линейным пространством.

Определение 3. Скалярным произведением двух n-мерных векторов

х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) и у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) называется

число ( х , у) = х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn =.

Пространство Rn является евклидовым пространством, так как в нем определено скалярное произведение элементов.

Длина п-мерного вектора вычисляется по формуле =.

Угол φ между двумя п-мерными векторами определяется по формуле

φ=arccos =.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]