- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
12.2. Подпространство линейного пространства
Определение. Множество L называется подпространством линейного пространства Е, если выполняются следующие условия:
Любой элемент х Є L является элементом множества Е,
Для любых х и у множества L элемент х + у Є L ,
Для любого х Є L и для любого действительного λ элемент λ х Є L .
Из определения следует, что линейное подпространство само является линейным пространством.
Примеры линейных подпространств
В линейном пространстве Е свободных векторов трехмерного пространства R3 линейное подпространство образуют:
а) все векторы, параллельные заданной плоскости ;
b) все векторы, параллельные данной прямой.
2. В линейном пространстве квадратных матриц порядка линейное подпространство образуют:
а) все симметричные матрицы;
б) все верхние ( нижние ) треугольные матрицы.
3. Пусть Е - линейное пространство, и х1, х2, х3, … , хn Є Е, тогда множество всех линейных комбинаций этих элементов вида α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + αn xn , где α1 , α2, α3 ,… , αn – действительные числа, является векторным подпространством пространства Е.
12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
Пусть Е = { x, y, z, t, … } - линейное пространство, его элементы x, y, z, t, … будем называть векторами.
Рассмотрим векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е
и действительные числа α1 , α2 , α3 , … , αi , … , αn.
Определение 1. Линейной комбинацией векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называется вектор
α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = Є E .
Определение 2. Векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называются линейно зависимыми, если равенство нулю их линейной комбинации α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = 0 (1) возможно хотя бы при одном из коэффициентов α1, α2, α3, …, αi , …, αn отличном от нуля.
Определение 3. Векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = 0 возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации α1 , α2 , α3 , … , αi, … , αn равны нулю.
Можно показать, что если векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.
Примеры
1.Любые два непараллельных вектора на плоскости линейно независимы. Однако любые три вектора на плоскости линейно зависимы.
2.Единичные векторы =,,линейно независимы вR3.
3. Функции х1 = , х2 =( , х3 = 1 линейно зависимы, так как α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 = α1 + α2 ( + α3 * 1 = 0 при α1 = 1, α2 = 1, α3 = - 1.
Отметим некоторые свойства системы векторов линейного пространства.
Если среди векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, х1 = 0 , то равенство (1) справедливо при α1 = 1, α2 = α3 = … = αi = … = αn = 0 .
Если система векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е содержит линейно зависимую подсистему, то такая система векторов линейно зависима.
Определение 4. Базисом линейного пространства Е называется совокупность линейно независимых векторов е1, е2, е3, …, еi , …, еn Є Е , если для любого элемента х Є Е существуют действительные числа α1, α2 , α3 , … , αi, … , αn такие, что
х = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3 + … + α i еi + … + αn е n (2)
Действительные числа α1 , α2 , α3 , … , αi, … , αn называются координатами вектора х в базисе е1, е2, е3, … , еi , … , еn .
Теорема 1. Каждый вектор х линейного пространства Е можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов.
Определение 5. Линейное пространство Е называется n - мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, и любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы.
Определение 6. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.
Теорема 2. Если размерность линейного пространства Е равна n , то любые n линейно независимых векторов являются базисом этого пространства.
Теорема 3. Если базис линейного пространства Е состоит из n линейно независимых векторов, то размерность линейного пространства равна n.
Замечание. Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если в нем существует любое конечное число линейно независимых векторов.