Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
семестр 1. лекции по ЛА.docx
Скачиваний:
166
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
1.8 Mб
Скачать
  1. 12.2. Подпространство линейного пространства

Определение. Множество L называется подпространством линейного пространства Е, если выполняются следующие условия:

  1. Любой элемент х Є L является элементом множества Е,

  2. Для любых х и у множества L элемент х + у Є L ,

  3. Для любого х Є L и для любого действительного λ элемент λ х Є L .

Из определения следует, что линейное подпространство само является линейным пространством.

Примеры линейных подпространств

  1. В линейном пространстве Е свободных векторов трехмерного пространства R3 линейное подпространство образуют:

а) все векторы, параллельные заданной плоскости ;

b) все векторы, параллельные данной прямой.

2. В линейном пространстве квадратных матриц порядка линейное подпространство образуют:

а) все симметричные матрицы;

б) все верхние ( нижние ) треугольные матрицы.

3. Пусть Е - линейное пространство, и х1, х2, х3, … , хn Є Е, тогда множество всех линейных комбинаций этих элементов вида α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + αn xn , где α1 , α2, α3 ,… , αn – действительные числа, является векторным подпространством пространства Е.

  1. 12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств

Пусть Е = { x, y, z, t, … } - линейное пространство, его элементы x, y, z, t, … будем называть векторами.

Рассмотрим векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е

и действительные числа α1 , α2 , α3 , … , αi , … , αn.

Определение 1. Линейной комбинацией векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называется вектор

α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = Є E .

Определение 2. Векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называются линейно зависимыми, если равенство нулю их линейной комбинации α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = 0 (1) возможно хотя бы при одном из коэффициентов α1, α2, α3, …, αi , …, αn отличном от нуля.

Определение 3. Векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 + … + α i x i + … + αn x n = 0 возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации α1 , α2 , α3 , … , αi, … , αn равны нулю.

Можно показать, что если векторы х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примеры

1.Любые два непараллельных вектора на плоскости линейно независимы. Однако любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

2.Единичные векторы =,,линейно независимы вR3.

3. Функции х1 = , х2 =( , х3 = 1 линейно зависимы, так как α1 х1 + α2 х2 + α3 х3 = α1 + α2 ( + α3 * 1 = 0 при α1 = 1, α2 = 1, α3 = - 1.

Отметим некоторые свойства системы векторов линейного пространства.

  1. Если среди векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, х1 = 0 , то равенство (1) справедливо при α1 = 1, α2 = α3 = … = αi = … = αn = 0 .

  2. Если система векторов х1, х2, х3, … , хi , … , хn Є Е содержит линейно зависимую подсистему, то такая система векторов линейно зависима.

Определение 4. Базисом линейного пространства Е называется совокупность линейно независимых векторов е1, е2, е3, …, еi , …, еn Є Е , если для любого элемента х Є Е существуют действительные числа α1, α2 , α3 , … , αi, … , αn такие, что

х = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3 + … + α i еi + … + αn е n (2)

Действительные числа α1 , α2 , α3 , … , αi, … , αn называются координатами вектора х в базисе е1, е2, е3, … , еi , … , еn .

Теорема 1. Каждый вектор х линейного пространства Е можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов.

Определение 5. Линейное пространство Е называется n - мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, и любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы.

Определение 6. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 2. Если размерность линейного пространства Е равна n , то любые n линейно независимых векторов являются базисом этого пространства.

Теорема 3. Если базис линейного пространства Е состоит из n линейно независимых векторов, то размерность линейного пространства равна n.

Замечание. Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если в нем существует любое конечное число линейно независимых векторов.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]