Федеральное агентство по образованию

Сочинский государственный университет

Факультет информационных технологий и математики

Линейная алгебра

Лекции для студентов

Сочи-2013

ББК 22.1я73

УДК 517

Рекомендовано к печати кафедрой прикладной математики факультета информационных технологий и математики Сочинского государственного университета

я 47

Яковенко Т.Ю., Якунина Н.Ф. Линейная алгебра. Лекции для студентов: учеб.пос./ Т.Ю. Яковенко, Н.Ф.Якунина. – Сочи, 2013. – 80 с.

Предлагаемое учебное пособие содержит 15 лекций по основным разделам курса линейной алгебры, читаемым, как правило, студентам экономического, естественных и других факультетов в первом семестре. Очевидно, что лекции по курсу линейной алгебры отличаются от учебников по этому курсу простотой языка и динамикой изложения, сочетая, при этом, краткость с достаточным уровнем строгости и полноты подачей материала.

JSBN 978-5-88702-298-7 ББК 22.1я73

УДК 517

© Яковенко Татьяна Юрьевна, 2013

© Якунина Наталья Федоровна, 2013

Содержание

От авторов

1.Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка. 11

3. 1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами 11

4.1.2. Умножение матриц 13

5.1.3 Определители n-го порядка и их свойства 16

6.1.4. Обратная матрица 19

- квадратная матрица n-го порядка. 20

7.Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение 22

9.2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия 23

10.2.2. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера 24

11.2.3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом 26

12.2.4. Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса 28

13.2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли 31

14.2.6. Однородные системы 33

15.Лекция 3. Решение матричных уравнений 35

16.3.1. Решение матричных уравнений 35

17.3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы 35

18.3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 35

19.3.1. Решение матричных уравнений 35

Замечания. 35

1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения. 36

20.3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы 38

21.3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 42

22.Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве 51

24.4.1. Векторы и линейные операции над ними 51

25.4.2. Проекция вектора на ось 52

26.4.3. Скалярное произведение векторов 55

27.4.4. Векторное произведение векторов 56

28.4.5 Смешанное произведение векторов 59

29.Лекция 5. Координатный метод 60

5.1. Системы координат на плоскости 60

30.5.2.Системы координат в пространстве 62

31.Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве 66

33.6.1. Плоскость в пространстве 66

34.6.2. Прямая в пространстве 69

35.6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 72

37.Лекция 7. Прямая линия на плоскости 73

40.7.1. Уравнения прямой на плоскости 74

41.7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости 77

43.Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка 79

44.8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия 79

1)при эта кривая является окружностью; 83

2)при эта кривая является эллипсом; 83

3)при эта кривая является гиперболой; 83

4)при или при эта кривая является параболой. 83

45.8.2. Поверхности второго порядка 83

46.Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике 85

48.9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами 85

49.9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества 89

51.9.3. Множество действительных чисел R и его основные подмножества 91

52.9.4. Окрестность точки, элементы топологии 92

53.Лекция 10. Действительные и комплексные числа 93

55.10.1. Действительные числа и их основные свойства 93

56.10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел 94

57.10.3. Операции с комплексными числами 97

58.Лекция 11. Многочлены 99

60.11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители 100

61.11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби 101

63.11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших 102

64.Лекция 12. Линейные пространства 106

66.12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств 106

67.12.2. Подпространство линейного пространства 109

68.12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств 109

69.12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации 112

70.12.5. n- мерное арифметическое пространство Rn. Скалярное произведение n-мерных векторов, длина вектора. Угол между n-мерными векторами 114

71.Лекция 13. Линейные операторы 116

73.13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из Х в У 116

74.13.2. Свойства линейных операторов, действующих из Х в Х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора 119

75.13.3. Матрица линейного оператора 120

76.13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису 122

77.13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 125

78.13.6. Линейная модель обмена 130

79.Лекция 14. Квадратичные формы 132

80.14.1. Понятие квадратичной формы 133

81.14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных 134

82. 14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 136

83.14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность 140

84.Лекция 15. Математические структуры 144

85.15.1. Понятие структуры 145

86.15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля 146

87.15.3. Матричные алгебраические структуры 150

Рекомендуемая литература 151

1.Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка. 10

3. 1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами 10

4.1.2. Умножение матриц 12

5.1.3 Определители n-го порядка и их свойства 15

6.1.4. Обратная матрица 18

- квадратная матрица n-го порядка. 19

7.Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение 21

9.2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия 22

10.2.2. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера 23

11.2.3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом 25

12.2.4. Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса 27

13.2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли 30

14.2.6. Однородные системы 32

15.Лекция 3. Решение матричных уравнений 34

16.3.1. Решение матричных уравнений 34

17.3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы 34

18.3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 34

19.3.1. Решение матричных уравнений 34

Замечания. 34

1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения. 35

20.3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы 37

21.3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 41

22.Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве 50

24.4.1. Векторы и линейные операции над ними 50

25.4.2. Проекция вектора на ось 51

26.4.3. Скалярное произведение векторов 54

27.4.4. Векторное произведение векторов 55

28.4.5 Смешанное произведение векторов 58

29.Лекция 5. Координатный метод 59

5.1. Системы координат на плоскости 59

30.5.2.Системы координат в пространстве 61

31.Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве 65

33.6.1. Плоскость в пространстве 65

34.6.2. Прямая в пространстве 68

35.6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 71

37.Лекция 7. Прямая линия на плоскости 72

40.7.1. Уравнения прямой на плоскости 73

41.7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости 76

43.Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка 78

44.8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия 78

1)при эта кривая является окружностью; 82

2)при эта кривая является эллипсом; 82

3)при эта кривая является гиперболой; 82

4)при или при эта кривая является параболой. 82

45.8.2. Поверхности второго порядка 82

46.Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике 84

48.9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами 84

49.9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества 88

51.9.3. Множество действительных чисел R и его основные подмножества 90

52.9.4. Окрестность точки, элементы топологии 91

53.Лекция 10. Действительные и комплексные числа 92

55.10.1. Действительные числа и их основные свойства 92

56.10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел 93

57.10.3. Операции с комплексными числами 96

58.Лекция 11. Многочлены 98

60.11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители 99

61.11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби 100

63.11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших 101

64.Лекция 12. Линейные пространства 105

66.12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств 105

67.12.2. Подпространство линейного пространства 108

68.12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств 108

69.12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации 111

70.12.5. n- мерное арифметическое пространство Rn. Скалярное произведение n-мерных векторов, длина вектора. Угол между n-мерными векторами 113

71.Лекция 13. Линейные операторы 115

73.13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из Х в У 115

74.13.2. Свойства линейных операторов, действующих из Х в Х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора 118

75.13.3. Матрица линейного оператора 119

76.13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису 121

77.13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 124

78.13.6. Линейная модель обмена 129

79.Лекция 14. Квадратичные формы 131

80.14.1. Понятие квадратичной формы 132

81.14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных 133

82. 14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 135

83.14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность 139

84.Лекция 15. Математические структуры 143

85.15.1. Понятие структуры 144

86.15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля 145

87.15.3. Матричные алгебраические структуры 149

Рекомендуемая литература 150

Посвящается Авджяну Аршавиру Семёновичу.

Уважаемый читатель! Книгой, которую ты держишь в руках, авторы попытались выразить глубокую признательность и любовь к человеку, являющемуся создателем курса лекций, который с некоторыми изменениями и дополнениями, читается до сегодняшнего дня студентам нашего университета. В книгу вошла базовая часть материала, читаемого в первом семестре. Авторы, продолжая традиции, заложенные Авджяном Аршавиром Семёновичем, надеются на то, что книга поможет вам в изучении математики.

Желаем успеха!