- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
Рассмотрим взаимное расположение прямых в двух случаях, когда прямые заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коффициентами.
1) Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями:
Тогда
Если – необходимое и достаточное условие параллельности прямых.
Если необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
2) Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
Определение. Углом между двумя пересекающимися упорядоченными прямыми l1 и l2 называется угол, отсчитываемый от l1 до l2 против движения часовой стрелки.
Пусть – угол между прямымиl1 и l2, тогда .
Еслиили-необходимое и достаточное условие параллельности прямых.
Если , но, так как-необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
8.1. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Основные понятия
8.2. Поверхности второго порядка
8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
Определение. Линия на плоскости, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка.
Общее уравнение линий 2-го порядка имеет вид:
Если это уравнение определяет кривую, то это может быть либо окружность, либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.
Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от фиксированной точки, называемой центром.
Если r – радиус окружности, точка C(a, b) – центр окружности, то уравнение окружности имеет вид:
Если центр совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет вид:
Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получится общее уравнение окружности, которое имеет вид: , причём. Если, то окружность вырождается в точку с координатами. Если, то уравнение определяет мнимую окружность.
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, причём 2a>2c, где 2c – расстояние между фокусами.
Для эллипса a>c. Если оси декартовой системы координат выбрать так, что фокусы эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то уравнение эллипса имеет вид:
–каноническое уравнение эллипса.
Точки A и A′, B и B′ называются вершинами эллипса, отрезки OA=a – большая полуось, OB – малая полуось, причём .
Точку пересечения осей называют центром эллипса. Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом и, так какa>c. Если a=b, то c=0 и , фокусы сливаются в одну точку – центр и эллипс превращается в окружность.
Если центр эллипса смещён и находится в точке C(x1,y1), a оси симметрии эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид:
.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, причём 2a<2c.
Если оси декартовой системы координат выбрать так, что фокусы гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то уравнение гиперболы имеет вид: – каноническое уравнение гиперболы.
Точки A(a, 0) и A′(-a, 0) – вершины гиперболы, отрезок AA′=2a – действительная ось гиперболы, отрезок BB′ – мнимая ось гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично
относительно осей гиперболы и касающийся её в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали принадлежат асимптотам гиперболы, уравнения которых и
Эксцентриситет гиперболы , т.к.a<c. Если a=b, то гипербола является равнобочной. Если уравнение гиперболы имеет вид , то действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси оy равный 2b.
Гиперболы иназываются сопряжёнными.
Если центр смещён и находится в точке C(x1,y1), a оси симметрии гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы имеет вид:
.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки F, называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы равно p, p>0 – параметр параболы.
Если ось абсцисс декартовой системы координат проходит через фокус параболы перпендикулярно директрисе и направлена от директрисы к фокусу, то начало координат находится посередине между фокусом и каноническое уравнение параболы имеет вид:
.
Точка – фокус параболы, прямая– директриса параболы, точка пересечения параболы с осью называется её вершиной. Парабола имеет одну ось симметрии.
Если парабола лежит в левой полуплоскости, то её уравнение имеет вид:
.
Её фокус находится в точке и уравнение директрисы.
Если ось параболы совмещена с осью ординат, то парабола имеет уравнение , если лежит в верхней полуплоскости, и, если лежит в нижней полуплоскости.
Уравнения смещённых парабол с вершиной в точке C(x1,y1) имеют вид:
Замечание.
Если уравнение определяет кривую второго порядка, то
при эта кривая является окружностью;
при эта кривая является эллипсом;
при эта кривая является гиперболой;
при или при эта кривая является параболой.