45. 8.2. Поверхности второго порядка

Определение. Поверхность R³, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется поверхностью второго порядка.

Общее уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостной или двуполостной гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхности второго порядка. Оно может также определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смысла. Если уравнение (2) определяет поверхность, среди сечений плоскостями которой имеются какие-либо кривые из линий второго порядка: окружность, гипербола, эллипс, парабола, то с помощью переноса начала координат и поворота осей координат уравнение (2) приобретает вид канонического уравнения соответствующей поверхности второго порядка. Приведем некоторые примеры:

–эллипсоид;

–однополостной гиперболоид;

–двуполостной гиперболоид;

–конус;

–эллиптический параболоид;

–гиперболический параболоид;

–эллиптический цилиндр;

–гиперболический цилиндр;

–параболический цилиндр.

Если , то эллипсоид обращается в сферу. Если лежащая в координатной плоскости кривая вращается вокруг какой-либо координатной оси, то образуется поверхность, называемая поверхностью вращения.

Например, если у эллипса a = b, то, вращая его вокруг оси оz, получим поверхность вращения - эллипсоид вращения, имеющий уравнение ,где.

46. Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике

9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами

9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества

9.3. Множество действительных чисел и его основные подмножества

9.4. Окрестность точки, элементы топологии

48. 9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами

Множество – совокупность, набор каких-либо предметов (объектов) произвольной природы, объединенных по какому –либо общему для них признаку (множество студентов данной группы, множество цветных телевизоров в гостинице, множество чисел первого десятка, множество точек на прямой и т. д.).Немецкий математик Г.Кантор считал, что «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Понятие множества, точки, числа приходится принимать без определения.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Если элементами множества являются числа, то оно называется числовым множеством. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С,…, а их элементы- малыми буквами этого алфавита. Если элемент х принадлежит множеству А, то пишут хА, если же х не принадлежит множеству А, то пишут хА.

Множества можно задать двумя способами:

1. перечислить его элементы;

2. описать его элементы с помощью характеристического свойства.

Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают Ø.

Примеры пустых множеств:

1. Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения

х² +1=0.

2) Множество треугольников, сумма углов которых ≠ 180.

3) Множество решений системы уравнений

3х +4у =7

6х +8у = 10

Множества бывают конечными и бесконечными. Например, множество А= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } всех цифр - конечное, а множество всех целых чисел, составленных из этих цифр - бесконечное.

Одно и то же множество может быть задано разными характеристическими свойствами: множество А ={ 2,4 } можно определить как множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству А = { х: 1 < x < 5, х- четное} и как множество корней квадратного уравнения х² – 6 х + 8 = 0: А = { х: х² – 6 х + 8 = 0 }

Примеры множеств в геометрии, описываемых

характеристическими свойствами:

биссектриса угла – геометрическое место точек плоскости, лежащих

внутри угла и равноудаленных от его сторон;

окружность- геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки – центра окружности.

Множество, содержащее все те элементы, которые встречаются в контексте проводимых рассуждений, называется универсальным и обозначается Е.

Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: А = В ↔ для любого х ( х А ↔ хВ).

Множество А называется подмножеством множества В : А С В , если

из того, что х А следует, что хВ.

Если А С В и В С А, то множества А и В равны : А=В.

Для обозначения множеств удобно использовать круги Эйлера, диаграммы Венна, диаграммы Эйлера – Венна – это замкнутые линии, внутри которых расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие множеству.

В

В

А

А С В

Пусть Е – какое-либо множество, рассмотрим всевозможные его подмножества. В этом случае Е является универсальным множеством.

1) Пусть Е – какое-либо множество книг, его подмножества: научные книги, художественные книги, книги по искусству, учебники.

2) Е = { а, в, с } и его подмножества: { Ø, { а,в,с }, {а}, {в}, {с}, {а,в}, {в,с}, {а,с} }, количество таких подмножеств 2³ = 8.

Если Е – универсальное множество, состоящее из n элементов, то число его подмножеств 2ⁿ.

Операции над множествами

1) Объединением( или суммой ) множеств А и В называется множество С = А В , составленное из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е. из элементов, входящих либо в А, либо в В (не исключается возможность одновременной принадлежности и к множеству А и к множеству В). Знакназывается знаком объединения.

А

В

А

В

С

А В АB C

2) Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество С = А ∩ В, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В одновременно. Знак ∩ называется знаком пересечения.

А

А

В

В

А

В

С

А ∩ В А ∩ В ∩ С А ∩ В=А

3) Разностью множеств А и В называется множество С = А \ В, состоящее из элементов множества А, не входящих во множество В.

А

А

В

А

B

В

А \ В А\ В А\ В=А

Результат применения операций к множествам изображается на кругах Эйлера.

Пусть Е – универсальное множество, А С Е.

Множество Ā = Е \ А называется дополнением до множества А.

а) Е – множество студентов в группе, А – юноши, Ā – девушки.

б) Е – множество прямоугольников, А – множество квадратов, Ā – множество прямоугольников с разными (неравными) сторонами.

в) Е – множество целых чисел, А = {множество четных чисел}, Ā = { множество нечетных чисел }.

Пример: пусть А – множество натуральных делителей числа 72, а В – множество натуральных делителей числа 54:

А = { 1; 2; 3; 4; 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}, В = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}.

Тогда: А U В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72 },

А ∩ В = {1, 2, 3, 6, 9, 18 }, А \ В = { 8, 4, 12, 24, 36, 72}.

4) Декартовым произведением множеств А и В называется множество

А х В всех упорядоченных пар элементов (а, b), где а Є А, b Є В.

Если множество А = {1,2 }, а множество В = {1, 2, 3}, тогда

А х В = { (1, 2), (1, 1), (1 ,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)},

В х А = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}

В В

АхВ ВхА

А А

Основные законы операций над множествами

1) А В = ВА, А ∩ В = В ∩ А (переместительный),

2) (А B) C = A (B C) , (А ∩ В) ∩ C= A ∩ (B∩C) (сочетательный),

3) А Ø = А, А ∩ Ø = Ø, Ø \ А = Ø, А \ А = Ø, Ø играет роль нуля в алгебре, но Ø \ А = Ø не имеет аналога в алгебре.

4) Ẫ = А, А Ā = E, A ∩ Ā = Ø, E \ A = Ā, A \ E = Ø,А A = A,

A ∩ A = A, A E = E, A ∩ E = A.

5) А (B ∩ C) = (AB) ∩ (AC)

Законы Моргана

A ∩ (B C) = (A ∩ B)(A ∩ C)