75. 13.3. Матрица линейного оператора

Пусть Х – линейное пространство с базисом е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) . Тогда можно представить в виде

x = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n =(1)

Формула (1) представляет собой разложение вектора х по базису е. Пусть L(Х,Х) , тогда =х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n ) =

х₁ е₁ ) х₂ е₂ ) + …+ х_n е_n ) = (2)

Элемент, так как. Посколькуе = (е₁ , е₂ , … , е_n ) – базис, то вектор можно разложить по этому базису:

, (3)

где - коэффициенты разложения векторапо базису

е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) .

Равенство (2) с помощью представления (3) можно теперь записать в другой форме

и элемент у имеет координаты в базисе е:

y= у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n =, тогда

, где i.k =1,2,…, n. (4)

Рассмотрим квадратную матрицу порядка п А=(),i,k=1,2,…, n. Эта матрица называется матрицей линейного оператора в базисее.

Примеры:

1. Х=R², A =, X=, Y=, A∙X=Y,;

2. Х=R³ , А= .

Теорема. Пусть в линейном пространстве Х задан базис е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) и пусть А=() – квадратная матрица порядкап. Тогда существует единственный линейный оператор , матрицей которого в базисе

е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) является матрица А.

76. 13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) – старый базис, ) – в линейном пространстве Х размерности п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:

а также представить в матричной форме

) = (е₁ , е₂ , … , е_n ) ∙

или в матричной форме е ∙ Т , где

- матрица перехода от старого базиса е к новому базису .

Замечание. Координаты разложения векторов нового базиса по старому базису е в матрице перехода располагаются по столбцам.

Пример.

Матрица перехода от базиса е к базису имеет вид Т=.

Если е ∙ Т , то е = ,где обратная к матрице Т матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому базису е .

Свойства матрицы перехода

1. Матрица перехода Т от старого базиса к новому является невырожденной, т.е. det T .

2. Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид.

3. Координаты вектора х в разных базисах связаны матрицей перехода.

Пусть Х =– координаты вектора х в старом базисее , т.е.

х = ,а Х^/ -координаты вектора х в новом базисе , т.е. х = а Т- матрица перехода от базиса е к базису , тогда

Х = Т ∙ Х^/ и Х^/ = Т^-1 ∙ Х . (5)

Формулы (5) представляют собой связь координат вектора в старом и новом базисах через матрицу перехода.

Пример. Векторы х=(1,3,-2), =(1,1,0),=(1,0,1),= (0,1,1) заданы координатами в старом базисее₁ , е₂ , е₃ . Найти координаты вектора х в новом базисе .

Решени.

х =

Матрица перехода Т= от базисае

к базису .

Х^/ = Т^-1 ∙ Х = ∙=,т.е. х =

4. Рассмотрим поведение линейного оператора при замене базиса: при переходе от старого базиса е к новому базису матрица А линейного оператора изменяется, а определитель матрицы оператора сохраняет свою величину. Операторописывается различными матрицами в разных базисах, что демонстрирует различие между матрицей и оператором.

Пусть А – матрица линейного оператора в базисе е , А^/ - матрица линейного оператора в базисе, тогда

А^/ = Т^-1 ∙ А ∙ Т и А = Т∙ А^/ ∙ Т^-1 , (6)

причем det A=det А^/ . Формулы (6) устанавливают связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

Замечание.

1) Понятие линейного оператора не тождественно понятию матрицы. Один и тот же оператор может описываться разными матрицами.

2) Подбором нового базиса ( и матрицы перехода Т ) можно привести матрицу линейного оператора к различным формам ( например, треугольной, диагональной).

Пример. В базисе е линейный оператор задан матрицей А=. Найти матрицу операторав новом базисе, связанном со старым базисом матрицей перехода Т= :е.

Решение. А^/ = Т^-1 ∙ А ∙ Т = ==

\