Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
семестр 1. лекции по ЛА.docx
Скачиваний:
166
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
1.8 Mб
Скачать
  1. 13.3. Матрица линейного оператора

Пусть Х – линейное пространство с базисом е = (е1 , е2 , … , еn ) . Тогда можно представить в виде

x = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn =(1)

Формула (1) представляет собой разложение вектора х по базису е. Пусть L(Х,Х) , тогда =х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn ) =

х1 е1 ) х2 е2 ) + …+ хn еn ) = (2)

Элемент, так как. Посколькуе = (е1 , е2 , … , еn ) – базис, то вектор можно разложить по этому базису:

, (3)

где - коэффициенты разложения векторапо базису

е = (е1 , е2 , … , еn ) .

Равенство (2) с помощью представления (3) можно теперь записать в другой форме

и элемент у имеет координаты в базисе е:

y= у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn =, тогда


, где i.k =1,2,…, n. (4)

Рассмотрим квадратную матрицу порядка п А=(),i,k=1,2,…, n. Эта матрица называется матрицей линейного оператора в базисее.

Примеры:

  1. Х=R2, A =, X=, Y=, A∙X=Y,;

  2. Х=R3 , А= .

Теорема. Пусть в линейном пространстве Х задан базис е = (е1 , е2 , … , еn ) и пусть А=() – квадратная матрица порядкап. Тогда существует единственный линейный оператор , матрицей которого в базисе

е = (е1 , е2 , … , еn ) является матрица А.

  1. 13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть е = (е1 , е2 , … , еn ) – старый базис, ) – в линейном пространстве Х размерности п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:

а также представить в матричной форме

) = (е1 , е2 , … , еn ) ∙

или в матричной форме е ∙ Т , где

- матрица перехода от старого базиса е к новому базису .

Замечание. Координаты разложения векторов нового базиса по старому базису е в матрице перехода располагаются по столбцам.

Пример.

Матрица перехода от базиса е к базису имеет вид Т=.

Если е ∙ Т , то е = ,где обратная к матрице Т матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому базису е .

Свойства матрицы перехода

  1. Матрица перехода Т от старого базиса к новому является невырожденной, т.е. det T .

  2. Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид.

  3. Координаты вектора х в разных базисах связаны матрицей перехода.

Пусть Х =– координаты вектора х в старом базисее , т.е.

х = ,а Х/ -координаты вектора х в новом базисе , т.е. х = а Т- матрица перехода от базиса е к базису , тогда

Х = Т ∙ Х/ и Х/ = Т-1 ∙ Х . (5)

Формулы (5) представляют собой связь координат вектора в старом и новом базисах через матрицу перехода.

Пример. Векторы х=(1,3,-2), =(1,1,0),=(1,0,1),= (0,1,1) заданы координатами в старом базисее1 , е2 , е3 . Найти координаты вектора х в новом базисе .

Решени.

х =

Матрица перехода Т= от базисае

к базису .

Х/ = Т-1 ∙ Х = =,т.е. х =

  1. Рассмотрим поведение линейного оператора при замене базиса: при переходе от старого базиса е к новому базису матрица А линейного оператора изменяется, а определитель матрицы оператора сохраняет свою величину. Операторописывается различными матрицами в разных базисах, что демонстрирует различие между матрицей и оператором.

Пусть А – матрица линейного оператора в базисе е , А/ - матрица линейного оператора в базисе, тогда

А/ = Т-1 ∙ А ∙ Т и А = Т∙ А/ ∙ Т-1 , (6)

причем det A=det А/ . Формулы (6) устанавливают связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

Замечание.

1) Понятие линейного оператора не тождественно понятию матрицы. Один и тот же оператор может описываться разными матрицами.

2) Подбором нового базиса ( и матрицы перехода Т ) можно привести матрицу линейного оператора к различным формам ( например, треугольной, диагональной).

Пример. В базисе е линейный оператор задан матрицей А=. Найти матрицу операторав новом базисе, связанном со старым базисом матрицей перехода Т= :е.

Решение. А/ = Т-1 ∙ А ∙ Т = ==

\

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]