- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Возможность преобразовывать матрицы операторов (формула (6)) посредством перехода к новому базису заставляет представить матрицу оператора в более удобном для преобразования виде с сохранением её ранга. Это диагональный вид матрицы. Пусть оператор представлен недиагональной матрицей А =в произвольном базисее . Можно ли перейти к новому базису, в котором оператор будет иметь диагональную матрицу?
Определение1. Ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что
= λ ∙х (7)
Среди векторов линейного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.
Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.
Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (7) в матричной форме А·Х = λ·Х . Преобразуем матричное уравнение А·Х - λ·Х = 0, А·Х - λ·Е·Х = 0, ( А - λ·Е )· Х = 0,
где Е – единичная матрица порядка n, а вектор Х =размераn⤫1.
Матричное уравнение ( А - λ·Е )· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:
(8)
Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нулю:det ( A – λE)=0
или = 0 (9)
Левая часть уравнения (9) называется характеристическим многочленом матрицы А: det ( A – λE). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.
Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А и обладают следующими свойствами:
,
.
При последовательной подстановке в систему (8) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (8) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.
Алгоритм нахождения собственных векторов матрицы А
Составить матрицу А- λЕ и характеристическое уравнение
det ( A – λE)=0.
Найти корни характеристического уравнения .
Подставить значение корня в однородную систему (8) и найти соответствующий собственный вектор - ненулевое решение однородной системы.
Пример. Найти собственные векторы матрицы А = .
Решение. Составим матрицу А- λЕ =и перейдем в соотношении ( А - λ·Е )· Х = 0 к покоординатному равенству
(10)
где координаты собственного вектора Х. Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений:det ( A – λE) = 0 или .
Имеем det ( A – λE) = (4-λ)
=- .
Характеристическое уравнение - имеет действительные корни
Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значению, для чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (10)
Приопределитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса
4С2 – 5С1→С2/ С3-С2→С3/
2С3 - 3С1 →С3/
Получим равносильную систему трапецеидального вида:
или
Положим х3 = 3t, тогда х2= 2 t, х1= t, получим собственный вектор
, где t.
Рассуждая аналогично, получим при
Найдем ненулевые решения этой системы
С3:3→С1/ 2С2-5С1→С2/ С3-С2→С3/
С1→С3/ 2С3-3С1→С3/
Имеем однородную систему откуда следует
2х1 = 3х2-х3=3х3-х3=2х3 или Положимполучим собственный вектор, гдеs.
Ответ: , где t;
, , гдеs.
Замечания.
det ( A – λE) не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен det (–λE) , полученный в новом базисе ), если известна матрица Т перехода от старого базиса е = (е1 , е2 , … , еn ) к новому. С учетом А/ = Т-1 ∙ А ∙ Т (см. формулу (6)), получим det (–λE) = det (–λE) = det (–λE∙Т) = det (–λE)∙Т).
Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, получим: det (–λE)= det (–λE) ∙ detТ= det ( A – λE).
Если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, имеет диагональный вид, где по главной диагонали стоят собственные числа. Пусть е1 , е2 , … , еn – собственные векторы линейного оператора, соответствующие его собственным значениям . Собственные векторы примем за базисные.
Тогда и согласно (3) :
откуда приi, и
Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид
А/=.
Собственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Характеристический многочлен симметричной матрицы имеет только действительные корни.