7. Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение

2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия

2.2. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера

2.3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом

2.4. Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

2.6. Однородные системы

9. 2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия

Определение. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит произведения неизвестных.

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

,

где x₁, x₂ … x_n – неизвестные; - коэффициенты,,,- свободные члены.

Определение. Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾… x_n⁽⁰⁾), при подстановке которых в систему каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; и несовместной, если она не имеет решений.

Все совместные системы делятся на два вида: определённые и неопределённые.

Определение. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; и неопределённой, если она имеем более одного решения.

Определение. Система называется квадратной, если .

Определение. Система (1) называется однородной, если все , и неоднородной, если хотя бы одно.

Рассмотрим однородную систему n x n:

.

Однородная система всегда совместна, так как имеет тривиальное решение: . Также система (2) может иметь ненулевые решения.

Теорема 1. Для того чтобы система (2) имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы был отличен от нуля.

Теорема 2. Для того чтобы система (2) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы был равен нулю.

10. 2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера

Формулы Крамера удобно применять при решении систем n линейных уравнений с n неизвестными при

Для системы (2) введём дополнительные понятия.

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называетсяглавным.

Определитель , получаемый из главного определителя заменойк-го столбца столбцом свободных членов, называется вспомогательным (к=1,2,…n).

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

Замечания.

1. Если в системе (2) , а хотя бы один из вспомогательных определителей, то система (2) несовместна.

2. Если и все вспомогательные определители, то система имеет бесконечное множество решений (в этом случае необходимо дополнительное исследование) или несовместна.

Пример:Решить систему уравнений, пользуясь формулами Крамера.

11. 2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом

Рассмотрим систему уравнений (2). Составим матрицу коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец из неизвестных и матрицу-столбец свободных членов:

Система (2) примет вид матричного уравнения .

Пусть обратная матрицаA^-1. Умножив обе части уравнения (3) на A^-1 слева, получим решение уравнения (3):

Замечание.

Рассмотрим решение матричных уравнений иного вида.

Если тогда система решается другим способом.

Пример. Решить матричное уравнение

Решение

1)

.

Ответ: