Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
семестр 1. лекции по ЛА.docx
Скачиваний:
375
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
1.8 Mб
Скачать
  1. 2.6. Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

(6)

Поскольку rаng А =rang(A│0), то однородная система всегда совместна, всегда имеет нулевое (тривиальное) решение x1=x2=…=xn=0).

Когда однородная система имеет ненулевые решения?

Теорема 1. Для того, чтобы однородная система (6) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был меньше числа неизвестных: rаng А= r < n .

Теорема 2. Для того, чтобы квадратная однородная система (6) ( при m=n) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы системы был равен нулю.

Решение однородной системы (6) будем рассматривать как n-мерный вектор x0=(x10,x20,…,xn0).

Теорема 3. Совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство.

Теорема 4. Если rаng А=r, а число неизвестных однородной системы равно n, то размерность пространства решений однородной системы равна n-r.

Определение. Совокупность (n-r) линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

Теорема 5. Если образуют фундаментальную систему решений, то общее решение Х однородной системы можно представить в видеX = C1 X1+C2 X2+…+Cn-r Xn-r, где C1, C2,…, Cn-r –произвольные постоянные.

  1. Лекция 3. Решение матричных уравнений

  1. 3.1. Решение матричных уравнений

  2. 3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы

  3. 3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

  1. 3.1. Решение матричных уравнений

1) Рассмотрим матричное уравнение вида А·Х = В, где А – невырожденная квадратная матрица порядка m, В – матрица размера mр, А и В – известные матрицы. Чтобы найти неизвестную матрицу Х размера mр умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу А-1 – обратную к матрице А: А-1 ·А·Х = А-1·В. Учитывая, что А-1 ·А = Е, где Е –единичная матрица порядка m, получим решение матричного уравнения:

Х = А-1·В.

2) При решении матричного уравнения вида Х·А = В, в котором А – известная невырожденная квадратная матрица порядка m, В –известная матрица размера р m , умножают обе части матричного уравнения справа на матрицу А-1 – обратную к матрице А: Х·А· А-1 = В· А-1, после чего получают решение:

Х = В·А-1.

3) Пусть в матричном уравнении вида А·Х·В = С матрицы А, В, С известны, причем А - невырожденная квадратная матрица порядка m, В – невырожденная квадратная матрица порядка р , а известная матрица С размера mр . Умножим обе части исходного матричного уравнения слева на обратную к матрице А и справа на обратную в матрице В:

А-1 ·А·Х· В· В-1 = А-1·С· В-1, откуда получим решение матричного уравнения: неизвестная матрица Х размера mр имеет вид:

Х = А-1·С ·В-1.

Замечания.

1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.

2) Найти необходимые обратные матрицы к заданным квадратным матрицам исходного уравнения.

3) Найти решение матричного уравнения путем перемножения матриц в правой части уравнения.

Примеры

  1. Решить матричное уравнение

Решение

Уравнение вида А·Х = В, определитель матрицы А = равен -1, матрица А невырожденная. Найдем обратную к ней А-1:

А-1= = (-1)=

Найдем теперь неизвестную матрицу:

Х = А-1·В =

  1. Решить матричное уравнение:

Решение

Уравнение вида Х·А = В, det A = 2, найдем обратную к матрице А. Матрица алгебраических дополнений имеет вид:

, тогда

обратная матрица А-1= =

Решение матричного уравнения

Х = В·А-1= =.

  1. Решить матричное уравнение

Решение

Это матричное уравнение вида А·Х·В = С.

Для матриц А = и В =существуют обратные, так как определители этих матриц отличны от нуля:det A = 7 , а det В = -2.

А-1 = и В-1 = , и решение матричного

уравнения имеет вид:

Х = А-1·С ·В-1 =

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]