- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
2.6. Однородные системы
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
(6)
Поскольку rаng А =rang(A│0), то однородная система всегда совместна, всегда имеет нулевое (тривиальное) решение x1=x2=…=xn=0).
Когда однородная система имеет ненулевые решения?
Теорема 1. Для того, чтобы однородная система (6) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был меньше числа неизвестных: rаng А= r < n .
Теорема 2. Для того, чтобы квадратная однородная система (6) ( при m=n) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы системы был равен нулю.
Решение однородной системы (6) будем рассматривать как n-мерный вектор x0=(x10,x20,…,xn0).
Теорема 3. Совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство.
Теорема 4. Если rаng А=r, а число неизвестных однородной системы равно n, то размерность пространства решений однородной системы равна n-r.
Определение. Совокупность (n-r) линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.
Теорема 5. Если образуют фундаментальную систему решений, то общее решение Х однородной системы можно представить в видеX = C1 X1+C2 X2+…+Cn-r Xn-r, где C1, C2,…, Cn-r –произвольные постоянные.
Лекция 3. Решение матричных уравнений
3.1. Решение матричных уравнений
3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
3.1. Решение матричных уравнений
1) Рассмотрим матричное уравнение вида А·Х = В, где А – невырожденная квадратная матрица порядка m, В – матрица размера m⤫р, А и В – известные матрицы. Чтобы найти неизвестную матрицу Х размера m⤫р умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу А-1 – обратную к матрице А: А-1 ·А·Х = А-1·В. Учитывая, что А-1 ·А = Е, где Е –единичная матрица порядка m, получим решение матричного уравнения:
Х = А-1·В.
2) При решении матричного уравнения вида Х·А = В, в котором А – известная невырожденная квадратная матрица порядка m, В –известная матрица размера р⤫ m , умножают обе части матричного уравнения справа на матрицу А-1 – обратную к матрице А: Х·А· А-1 = В· А-1, после чего получают решение:
Х = В·А-1.
3) Пусть в матричном уравнении вида А·Х·В = С матрицы А, В, С известны, причем А - невырожденная квадратная матрица порядка m, В – невырожденная квадратная матрица порядка р , а известная матрица С размера m⤫р . Умножим обе части исходного матричного уравнения слева на обратную к матрице А и справа на обратную в матрице В:
А-1 ·А·Х· В· В-1 = А-1·С· В-1, откуда получим решение матричного уравнения: неизвестная матрица Х размера m⤫р имеет вид:
Х = А-1·С ·В-1.
Замечания.
1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
2) Найти необходимые обратные матрицы к заданным квадратным матрицам исходного уравнения.
3) Найти решение матричного уравнения путем перемножения матриц в правой части уравнения.
Примеры
Решить матричное уравнение
Решение
Уравнение вида А·Х = В, определитель матрицы А = равен -1, матрица А невырожденная. Найдем обратную к ней А-1:
А-1= = (-1)=
Найдем теперь неизвестную матрицу:
Х = А-1·В =
Решить матричное уравнение:
Решение
Уравнение вида Х·А = В, det A = 2, найдем обратную к матрице А. Матрица алгебраических дополнений имеет вид:
, тогда
обратная матрица А-1= =
Решение матричного уравнения
Х = В·А-1= =.
Решить матричное уравнение
Решение
Это матричное уравнение вида А·Х·В = С.
Для матриц А = и В =существуют обратные, так как определители этих матриц отличны от нуля:det A = 7 , а det В = -2.
А-1 = и В-1 = , и решение матричного
уравнения имеет вид:
Х = А-1·С ·В-1 =