12. 2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса

Рассмотрим систему вида:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении системы к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями системы называют преобразования вида:

- перестановка местами любых двух уравнений системы;

- умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате элементарных преобразований получается система, эквивалентная исходной. Если при проведении элементарных преобразований получается уравнение вида , то такое уравнение вычёркивается из системы. Если получается уравнение вида, где, то система несовместна.

Переход от исходной системы (1) к равносильной системе ступенчатого вида называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы ступенчатого вида – обратным ходом.

Прямой ход

В системе среди коэффициентов при неизвестном x₁ найдётся хотя бы один не равный нулю. Уравнение с этим коэффициентом записывается первым. – ведущий коэффициент для первого уравнения. Разделим первое уравнение системы наa₁₁, получим: , где

Проведём первый шаг преобразований, который заключается в исключении неизвестной x₁ из 2-го, 3-го… уравнений системы. Для этого будем умножать уравнение (4) на числа –a₂₁, –a₃₁…–a_m1 и складывать соответственно со 2-м, 3-м,…, m-м уравнениями системы (1).

В результате получим систему: .

Второй шаг преобразований.

Предположим – ведущий коэффициент 2-го уравнения системы (5). Разделим обе части 2-го уравнения системы (5) на, полученное уравнение, гдеС помощью уравнения (6) исключим неизвестнуюx₂ из 3-го, 4-го, …, m-го уравнений системы (5). Для этого умножим обе части уравнения (6) на числа и сложим соответственно с 3-м, 4-м, …,m-м уравнениями системы.

В результате получим систему: .

После конечного числа таких шагов возможны варианты.

1. Получена система треугольного вида:

которая совместна и определенна. Она имеет единственное решение, которое находится обратным ходом.

2. Получена система трапецеидального вида. Тогда выбираются базисные неизвестные , которые выражаются через свободные неизвестные, и записывается общее решение системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений в зависимости от значений свободных неизвестных.

3. Система несовместна, если она содержит уравнение вида ,.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение

Ответ:

13. 2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок не равного нулю её минора. Минор порядка равного рангу матрицы и отличный от нуля называется базисным (таких миноров у матрицы может быть несколько).

Правило вычисления ранга матрицы

Ранг матрицы равен максимальному числу ненулевых строк после приведения её к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования вида:

1. перестановка местами любых двух строк (столбцов) матрицы;

2. умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

4. транспонирование;

5. вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Пример. Найти ранг матрицы.

Рассмотрим систему вида: Введём основную матрицу системы, составленную из

коэффициентов при неизвестных и расширенную матрицу системы

.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы, то есть .

Замечание.

1. Если , то система несовместна;

2. Если , то система определённая;

3. Если , то система неопределённая. В этом случае по базисному минору выписывают уравнения, в которых базисные переменные выражаются через свободные неизвестные и записывается общее решение системы уравнений.