81. 14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Определение 1. Если некоторые величины выражаются линейно и однородно через величины, т.е.

(1)

или сокращенно j=1, 2,…, n, где- произвольные числа, то такое преобразование называется линейным.

Составим матрицы Х=, С=, y=, тогда линейное преобразование можно записать в матричной форме: Х = С∙ У, где С- матрица линейного преобразования.

Определение 2. Линейное преобразование (1) переменных называется неособенным, если его матрица С неособенная (det C .

Если линейное преобразование с матрицей С неособенное, то существует обратная матрица С^-1 и преобразование У=С^-1∙Х называется обратным преобразованием переменных.

Определение 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования называются собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.

Выясним, что произойдет с квадратичной формой при неособенном линейном преобразовании переменных Х = С∙ У, в этом случае мы получим квадратичную форму от переменных и квадратичная форма поменяет свою матрицу.

Теорема 1. Если в квадратичной форме с матрицей А сделано неособенное линейное преобразование переменных Х = С∙ У, то новая квадратичная форма имеет матрицу В = С^Т∙А∙С.

Доказательство.

f(X)=f(х₁, х₂,… х_n ) = X^T∙А∙Х. Если Х = С∙ У, тогда квадратичная форма в матричном виде (С∙У)^Т∙А∙(С∙У)= У^Т∙С^Т∙А∙С∙У= У^Т∙(С^Т∙А∙С)∙У и новая квадратичная форма от переменных L (y) =L()= У^Т∙(С^Т∙А∙С)∙У имеет матрицу В = С^Т∙А∙С, что и т.д.

Замечание. В некоторых задачах бывает удобнее ввести обратное линейное преобразование в виде У=С^-1∙Х , и если квадратичная форма L (y) имеет матрицу В, то L (y) = (С^-1∙Х )^TB С^-1∙Х = Х^T ((С^-1)^ТB С^-1)∙Х и матрица квадратичной формы от переменных х₁, х₂,… х_n А= (С^-1)^ТB С^-1.

Пример 1. Как изменится матрица квадратичной формы f(x)= -при линейном преобразовании векторов х₁=3у₁-2у₂, х₂=у₁+2у₂ ?

Решение. Матрица заданной квадратичной формы равна А =, а матрица С линейного оператора при линейном преобразовании переменных С=Под действием линейного оператора матрица новой квадратичной формы от переменныху₁, у₂ будет иметь вид B=C^T∙A∙C=и квадратичная форма примет более простой вид L(y) = 32 y₁y₂.

82. 14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

В линейной алгебре часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. В разобранном выше примере квадратичная форма стала проще( одно слагаемое вместо трех), в общем случае наиболее простым видом является диагональный вид квадратичной формы.

Определение1. Квадратичная форма называется канонической или диагональной, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. =0 при

f(X)=f(х₁, х₂,… х_n ) =

Матрица канонической квадратичной формы является диагональной

А = .

Теорема 1. (Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду) Любая квадратичная форма с помощью неособенного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Теорема 2. (Закон инерции квадратичных форм) Если вещественная квадратичная форма вещественными неособенными преобразованиями переменных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

Определение 2. Квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов любого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух столбцов равна нулю.

Для ортогональной матрицы Р обратная к ней совпадает с транспонированной к матрице Р: Р^-1=Р^Т.

Определение 3. Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональная.

Теорема 4. Каждая вещественная квадратичная форма f(х₁, х₂,… х_n ) с матрицей А при помощи некоторого ортогонального преобразования переменных Х = Р∙ У может быть приведена к диагональному виду

L()= λ₁ λ₂ λ_n

Коэффициенты λ₁ , λ₂ , … , λ_n при квадратах новых переменных с точностью до порядка расположения определены формой f(х₁, х₂,…, х_n) однозначно, они совпадают с корнями характеристического многочлена det(A- λE)=0. Столбцы Т₁ , Т₂ , …, Т_n ортогональной матрицы Р являются единичными собственными векторами матрицы А, соответствующими собственным числам λ₁ , λ₂ , … , λ_n .

Замечания

1) Коэффициенты λ₁ , λ₂ , … , λ_n при квадратах новых переменных являются собственными значениями матрицы А квадратичной формы f(х₁, х₂,…, х_n).

2) Характеристический многочлен симметричной матрицы с действительными элементами имеет только действительные корни.

3)Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пример 1. Квадратичную форму f(x,y) =x²+y²+3xy привести к каноническому виду.

Решение. Для матрицы квадратичной формы А= составим характеристическое уравнение det(А-λЕ)=илии найдем его корни: λ₁= -1/2, λ₂= 5/2. Составим новую каноническую квадратичную форму L(

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 15х² - 2используя теорию квадратичных форм.

Решение. Составим квадратичную форму f(x,y)= 15х² - 2с матрицей А=и найдем корни характеристического уравнения det(А - λЕ) =или λ²-24λ+80=0, корни

λ₁= 20, λ₂= 4. Составим новую квадратичную форму L(

Уравнение кривой имеет вид или=1, получили каноническое уравнение эллипса.

Пример 3. Квадратичную форму f(х₁, х₂, х₃) = + 2привести к диагональному виду.

Решение. Вектор х задан в некотором ортонормированном базисе своими ко­ординатами х = (х₁, х₂, х₃). Введем симметричный оператор Р (х), матрицу которого положим равной матрице квадратичной формы

.

Составим характеристическое уравнение

=-3λ²-λ³ = 0.

Корни уравнения λ₁= -3, λ_2,3 = 0 . В новом ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов матрицы, вектор х имеет координаты х = (у₁, у₂, у₃) . Поэтому f(х)=

Замечание. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Например, заданную квадратичную форму легко преобразовать без использования симметричного оператора:

f(х₁, х₂, х₃) = + 2=-- 2)=-(х₁-х₂+х₃)².

Линейное преобразование х₁-х₂+х₃ приводит квадратичную форму к каноническому виду f(х)= - Однако в этом случае вектор х = ( уже не является разложенным по ортонормированному базису, составленному из собственных векторов матрицы.

Пример 4. Квадратичную форму f(х) = привести к каноническому виду и выписать ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Решение. Матрица квадратичной формы . Составим характеристическое уравнение = - λ³ +18λ²-99λ+162=0, корнями которого являются числа λ₁=3, λ₂=6, λ₃=9 – собственные значения матрицы квадратичной формы, а соответствующие им собственные векторы имеют вид

Х⁽¹⁾=Х⁽²⁾=Х⁽³⁾=

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

1. Канонический вид квадратичной формы:

L()= 369

2) Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду представлено ортогональной матрицей, столбцы которой являются соответствующими единичными собственными векторами матрицы А квадратичной формы Р=, при этом Р^Т∙А∙Р=