Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по ТВ и МС(ч.1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Лекция № 8 Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

n − m = nq − b x		=	b	b		≥	b	b
n − m = nq − b x	n,m	=	b	n − x		≥	b	n	−C .
n	n,m		n	p	n,m		n	p
				p				p

При сделанных предположениях m ~ bqn , n − m ~ bpn .

Используем формулу Стирлинга1 (одновременно открытую и Муавром) n!~ 2πnnne−n .

Имеем

bn Bp (n, m)~ npq	2πnnne−n pmqn−m	~
	m(n − m)mme−m (n − m)−(n−m)e−(n−m)
2π

~1π m −m n − m −(n−m) 2 np nq

	1
=			+
=		1	+
	2π

= 1

np +

b x

−m nq −

b x

−(n−m)

n,m

2π

−m

−(n−m)

−

xn,m

Здесь была использована формула Стирлинга для факториалов, равенства (8.1) и следствия из них. Разложения в ряд Маклорена2 для функций ln(1+ x) и ln(1− x) с

остаточным членом в форме Пеано3 имеют вид

ln(1+ x)= x − 12 x2 +O(x3 )и ln(1− x)= −x − 12 x2 +O(x3 ).

Применяя основное логарифмическое тождество и последние формулы, получим

		q	−m
	+				+
1	+	np	xn,m	= exp − m ln 1	+
		np

	q		1		q	2
		xn,m +		m
= exp − m	np		2		np	xn,m

np xn,m

+O 1

1Стирлинг Джеймс (Stirling James) (1692–1770) — шотландский математик, член Лондонского королевского общества. Наиболее важный труд — «Methodus differentialis…» (1730), в котором впервые дал асимптотическое разложение логарифма гамма–функции (так называемая формула Стирлинга).

2Маклорен Колин (Maclaurin Colin) (1968–1746) — шотландский математик, член Лондонского королевского общества. Основные труды по теории рядов.

3Пеано Джузеппе (Peano Giuseppe) (1858–1932) — итальянский математик, профессор Туринского университета. Занимался изучением основных понятий и методов анализа.

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

Лекция № 8

−(n−m)

1−

xn,m

= exp (n − m)

xn,m

(n − m)

xn,m +O

Следовательно

b B

(n, m)~

exp

−

− (n − m)

(n − m)p

n,m

2π

Используя соотношения (8.1), находим

q −(n − m)

p = mq − np + mp = m − np = x

, mq + (n − m)p =1

n,m

npq

и, наконец, подставляя эти соотношения в (8.2), получаем

b B

(n, m)~

1 x2

exp −

2π

n,m

Из которого и вытекает доказательство предельного соотношения теоремы.

. (8.2)

1 . bn

МУАВР АБРАХАМ ДЕ (Moivre Abraham de) (26.5.1667, Витри-ле-Франсуа,

— 27.11.1754, Лондон), английский математик, по происхождению француз. Член Лондонского королевского общества (1697), а также Парижской и Берлинской АН. Труды по теории рядов, теории вероятностей, теории комплексных чисел. Муавр нашёл правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел (формула Муавра). Исследовал степенные ряды, названные им возвратными; первый пользовался возведением в степень бесконечных рядов. Муавру и Стирлингу принадлежит асимптотическое представление n!, носящее название формулы Стирлинга. В теории вероятностей Муавр доказал частный случай теоремы Муавра–Лапласа, включаемую теперь во все учебники по этой теории.

ЛАПЛАС ПЬЕР СИМОН (Laplace Pierre Simon) родился 23 марта 1749 года в местечке Бомон-ан-Ож (Нормандия) в семье небогатого крестьянина. В 1785 году он становится действительным членом Парижской академии. На другой день после переворота 18 брюмера Наполеон назначил Лапласа министром внутренних дел. В 1803 году Наполеон сделал Лапласа вице-президентом сената, а через месяц - канцлером. В 1804 году он получил орден Почетного легиона. С 1801 по 1809 год Лаплас был избран членом королевских обществ в Турине и Копенгагене, академий наук в Геттингене, Берлине и Голландии. 13 октября 1802 году Лаплас стал почетным членом Петербургской академии наук. "Théorie analytique dts probabilités" ("Аналитическая теория вероятностей") Лапласа издавалась трижды при жизни автора (в 1812, 1814, 1820 годы). Для разработки созданной им математической теории вероятностей Лаплас ввел так называемые производящие функции. Он привел полученные другими учеными результаты в стройную систему, упростил методы доказательства, для чего широко применял преобразование и доказал теорему об отклонении частоты появления события от его вероятности. Благодаря ему теория вероятностей приобрела законченный

вид.

Широко известны его работы по физике и астрономии. После реставрации монархии Лаплас пользовался благосклонностью Людовика XVIII.

Лекция № 8

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

Король сделал его пэром Франции и пожаловал титул маркиза. В 1817 году Лаплас стал членом вновь созданной Французской академии, т. е. одним из сорока бессмертных.

Умер ученый после недолгой болезни 5 марта 1827 года. Его последние слова были: "То, что мы знаем, так ничтожно по сравнению с тем, что мы не знаем".

8.2. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Пусть выполнены условия теоремы 8.1, тогда при

Теорема 8.2.

−∞

≤ a < b ≤ +∞ справедливо

Интегральная

− np

1 b

−

x 2

теорема

2 dx ,

limP a

npq

< b =

2π ∫a

Муавра-Лапласа

n→∞

γn — число успехов в n испытаниях Бернулли.

Доказательство. Допустим, что −∞ < a < b < ∞. В этом случае имеем

− np

∑Bp (n, m).

P a <

npq

< b

a<xn,m <b

Доказывая

теорему

8.1,

мы

установили,

что

при

xn,m

< C

справедливо

представление

Bp (n, m)=

exp −

xn,m 1

2πnpq

npq

для любого C > 0 . Поэтому

− np

∑

1 2

P a <

< b

exp −

xn,m .

(8.3)

npq

= 1

npq a<xn,m <b

2πnpq

Поскольку
xn,m+1 − xn,m = m +1− np			− m − np =						1	,
	npq			npq					npq
то выражение
∑	1			1		2
∑	npq	exp −		2	xn,m
a<xn,m <b	npq			2
является интегральной суммой для функции			e−		1	x	2	на отрезке [a;b]. Поэтому при
является интегральной суммой для функции			e−		2	x		на отрезке [a;b]. Поэтому при

сделанном предположении о конечности a и b следует, что

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

∑		1		1 2		1	b	− x 2
							∫e
					n→∞→				2 dx .
	π		exp −	2 xn,m	n→∞→	π			2 dx .
a<xn,m <b	2	npq				2	a

Освободимся от этого ограничения. Пусть c < b , тогда

limP γn − np		< b	≥ limP c ≤	γn − np < b		1 b e−	x 2
					=		2	dx .
n→∞	npq		n→∞	npq		2π ∫c

Переходя к пределу при c → −∞ , найдем

− np

−

x 2

≥

2 dx .

limP

< b

n→∞

npq

2π

−∞∫

Аналогично

− np

+∞

−

x 2

≥

2 dx .

limP

≥ b

n→∞

npq

2π

∫b

Поскольку
γ	n	− np		γ	n	− np		=1,
P	n	npq	< b	+ P	n	npq	≥ b	=1,
		npq				npq

Лекция № 8

(8.4)

(8.5)

1	b	−	x 2		1	+∞	−	x 2
1	∫e	−	2	dx +	1	∫ e	−	2	dx =1,
2π	−∞				2π	b

то в обеих формулах (8.4) и (8.5) возможен только знак равенства. Тем самым теорема доказана.

Замечание 8.1.			Погрешность	приближенного	равенства
Bp (n, m)≈	1	ϕ(xn,m )	мала при больших	n . Данная аппроксимация наиболее
	npq

хороша при p = q = 12 . Практически можно считать, что данная замена дает хорошее приближение если npq > 9 .

		1	x	u 2
Замечание 8.2. Функция	F(x)=		∫e−			du	не	выражается в
					2
		2π	−∞
элементарных. Но ее значения	табулированы		для			x ≥ 0.	Если	x < 0, то F(x)

вычисляется по формуле F(x)=1− F(− x). Часто также используют таблицы для

Лекция № 8				Асимптотические представления для биномиальных вероятностей
	1	x	u 2
функции Φ(x)=		∫e−		du . Функции F(x) и Φ(x) для x > 0 связаны
функции Φ(x)=		∫e−	2	du . Функции F(x) и Φ(x) для x > 0 связаны
	2π	0

соотношением F(x)= 12 + Φ(x). Нетрудно заметить, что функция Φ(x) четная, т.е.

Φ(x)= Φ(− x).

Замечание 8.3. Обычно приближенную формулу

P a < γn − np < b ≈ npq

используют, если npq > 9 . Если же n

формулу заменяют другой

1	b	x 2
	∫e−		dx = F(b)− F(a)
		2
2π	a

сравнительно не велико, то последнюю

	γ	n	− np			1				1
P a <		n		< b
P a <			npq	< b	≈ F b +			− F a −	2		.
			npq			2 npq			2	npq
Эта формула дает лучшее приближение для							Bp (n, m), однако это заметно при

сравнительно небольших n , не превышающих 30–50.

8.3. Формула Пуассона

Рассмотрим асимптотическое поведение вероятностей Bp (n, m) при условии, что npq ограничено. Это возможно в случае, когда либо p →1, либо q →1. Не умаляя общности, достаточно рассмотреть случай: p → 0 и q →1,

тогда npq ~ np .

Теорема 8.3.	Пусть p(n)→ 0 при n → ∞ , причем так, что np(n)→ λ , где
Теорема 8.3.	Пусть p(n)→ 0 при n → ∞ , причем так, что np(n)→ λ , где
Теорема	λ > 0 . Тогда для любого m = 0,1,K
Теорема
Пуассона	B	p	(n, m) → λme−λ .			(8.6).
		p	n→∞	m!
				m!
Доказательство. Поскольку по предположению p(n)=				λ		1
Доказательство. Поскольку по предположению p(n)=				n	+ o	, то для любого
				n	n

фиксированного m = 0,1,K и достаточно больших n

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

Лекция № 8

n−m

n(n −1)K(n − k

+1) λ

n−m

Bp (n, m)= Cn

+ o

−

+ o

Но

1 m

n(n −1)K(n − m +1)

n(n −1)K(n − k )

+ o

[λ + o(1)]

→λ

n→∞

−

1 n−m

→e

−λ

+ o

n→∞

что и доказывает (8.6).

ПУАССОН СИМЕОН ДЕНИ (Poisson Simeon) (21.6.1781-25.4.1840) —

французский математик, физик, механик. Член Парижской Академии наук (1812). Родился в Питивье (департамент Луара). В 1798г. поступил в Политехническую школу. Здесь на его способности обратил внимание П. Лаплас, Ж. Лагранж. По окончании курса был оставлен при этом учебном заведении. С 1816г. - профессор в Сорбонне. В области небесной механики важнейшие работы Пуассона посвящены некоторым специальным задачам лунной и планетной теории, а также устойчивости солнечной системы. В теории притяжений особый интерес представляет его мемуар "О притяжении сфероидов" (1835) и статья "Замечания об уравнении теории притяжений" (1813). В 2-томном курсе механики Пуассон развил идеи Ж. Лагранжа и П. Лапласа. Пуассон основательно разработал многие разделы математической физики, дал решений многих задач электростатики и магнитостатики. В 1829г. Пуассон положил начало теории девиации. В его исследованиях прикладного характера важное место занимают работы по внешней баллистике и гидродинамике. В теории упругости дал общие методы интегрирования уравнений теории упругости, построил уравнение

движения при произвольных начальных данных, ввел константу, которая теперь носит его имя. Существенное значение имеют работы Пуассона, посвященные определенным интегралам, уравнениям в конечных разностях, дифференциальным уравнениями с частными производными, теории вероятностей, вариационному исчислению, рядам. Основательно улучшил способы применения теории вероятностей вообще и к вопросам статистики в частности, а также доказал теорему, которая касалась закона больших чисел (закон Пуассона), впервые воспользовавшись термином "закон больших числе". В общей теории уравнений Пуассону принадлежит оригинальный метод исключения переменных. В теории рядов он заложил основы современной теории суммирования расходящихся рядов. Пуассон независимо от Ф. Бесселя открыл функции, которые теперь называются бесселевыми, и дал их разложения в полурасходящиеся ряды. В дифференциальной геометрии ему принадлежит работа о кривизне поверхностей.

Теорема 8.3 называется еще законом редких событий. Обычно этому закону подчиняется число появлений некоторого события, зависящего от большого числа независимых факторов, например, число частиц, зарегистрированных счетчиком космических частиц, число катастроф, число вызовов, поступивших на телефонную станцию и т.п.

Лекция № 8 Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

8.4. Примеры применения асимптотических формул

Пример 8.1. Из 1000 электроламп в среднем 3 оказываются бракованными. Найти вероятность того, что из 100000 наудачу выбранных ламп, неисправными

окажутся ровно 350.

Решение:

так

как

n =100000 ,

p = 0,003,

q = 0,997 ,

то

npq =100000 0,003 0,997 = 299,1 > 9 ,

следовательно, применима локальная

предельная теорема Муавра–Лапласа:

npq =

299,1 ≈17,29 ,

m − np

350 −300 ≈ 2,89

npq

17,29

Таким образом,

(100000;350)≈

ϕ(2,89)≈ 0,00613 ≈ 0,000354 . (Функция

0,003

17,29

ϕ(x)= 21π e− 2 табулирована).

Точные подсчеты	без использования предельной теоремы дают	нам
B0,003 (100000;350)= 0,000405 .
Пример 8.2.	Известно, что вероятность рождения мальчика	равна

приблизительно 0,515. Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных число мальчиков будет не больше, чем число девочек?

Решение. Пусть γ — число мальчиков среди 10000 новорожденных. Надо

вычислить вероятность
	γ	− np	≤	5000 − np
P{γ ≤10000 −γ}= P{γ ≤ 5000}= P		npq	≤		npq	.
		npq			npq
В данном случае	npq = 10000 0,515 0,485 ≈ 49,98,				5000 −5150		≈ −3,0012 .
					49,98

Применяя			интегральную		предельную
γ − np				≈ F(−3,0012)=1	− F(3,0012), здесь
P	npq	≤ −3,0012

теорему,				имеем
F(x)=	1	∫−x∞e−	u 2
			2	du . С
	2π

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

Лекция № 8

помощью таблиц функции F(x) находим F(3,0012)= 0,998655 . Таким образом,

искомая вероятность приблизительно равна 0,001345.

Пример 8.3. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более чем на двух веретенах.

Решение. Обозначим через γ количество обрывов за 1 мин . Необходимо вычислить вероятность

P{γ > 2}=1−[B0,002 (1000;0)+ B0,002 (1000;1)− B0,002 (1000;2)].

В этом случае npq =1000 0,002 0,998 =1,996 < 9 .

Используя формулу Пуассона при λ = np = 2, имеем

	−2	−2	22 −2		−2
		+ 2e +		e	=1−5e ≈ 0,3233236 .
P{λ ≥ 2}≈1− e		+ 2e +	2!	e	=1−5e ≈ 0,3233236 .
			2!

Пример 8.4. Сколько испытаний нужно произвести для того, чтобы в схеме Бернулли с вероятностью не меньшей 1−ε , частота отклонялась от вероятности

не больше чем на δ .

Решени:.

n − p ≤

− np

≤δ

≤

− np

≤δ

≈

−ε = P

= P

= P −δ

npq

− F

−δ

−

−1.

≈ F δ

1− F

= 2F

Таким образом

−1

n =

1−

+1.

8.5. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 102 — 106;

¾[3] – стр. 77 — 108;

¾[4] – стр. 67—76;

¾[5] – стр. 42 — 47.

Лекция № 8 Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

8.6. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа.

2.Интегральная предельная теорема Муавра–Лапласа.

3.Теорема Пуассона.

8.7. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9теоремы:

¾локальную теорему Муавра–Лапласа;

¾интегральную теорему Муавра–Лапласа;

¾Пуассона;

уметь:

9доказывать теоремы:

¾локальную теорему Муавра–Лапласа;

¾интегральную теорему Муавра–Лапласа;

¾Пуассона;

9решать задачи:

¾используя асимптотические представления для биноминального распределения вероятностей.

8.8. Задачи и упражнения

1. В цехе имеются 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме. Каждый из станков оказывается включенным в течении 0,7 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными:

а) ровно 50 станков; б) от 60 до 80 станков?

2. Вероятность выхода из строя за время S одного компьютера сети равна 0,1. Определить вероятность того, что из 1000 компьютеров выйдут из строя:

а) не менее 50 компьютеров;

Асимптотические представления для биномиальных вероятностей

Лекция № 8

б) менее 100 компьютеров; в) от 100 до 900 компьютеров.

3.Вероятность микросхеме оказаться бракованной равна 0,001. Определить вероятность того, что среди 1000 микросхем бракованными окажутся не более двух.

4.Сколько опытов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,45, не более чем на 0,1.

5.При изготовлении отливок получается 10% брака. Сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, что бы с вероятностью не менее 0,9 была обеспечена программа выпуска изделий, для выполнения которой необходимо 100 бездефектных отливок?

6.Имеется 100 урн, в каждой из которых находится по 5 красных и 95 черных шаров. Опыты организованы так, что после каждого извлечения из урны шара он вновь возвращается в ту же урну. Сколько потребуется опытов, чтобы с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар:

а) из каждой урны; б) не менее чем из 50 урн?

7.Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два различных входа. Около каждого из входов есть свой гардероб. Зрители выбирают входы с равными вероятностями. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Рассмотреть два случая:

а) зрители приходят по одиночке; б) зрители приходят парами.

8.В поселке 2550 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.201543.25 Кб12Лекции ПИС.docx
#
23.12.2018248.32 Кб54Лекции по литературе.doc
#
16.03.2016374.78 Кб219Лекции по налогообложению ДНР.doc
#
11.09.2019402.94 Кб6Лекции по обязательствам.doc
#
11.09.2019591.36 Кб7Лекции по политэкономии.doc
#
13.04.20153.56 Mб70Лекции по ТВ и МС(ч.1).pdf
#
15.11.201817.05 Mб3Лекции по УТП.doc
#
16.03.2016470.02 Кб36Лекции по финансам.doc
#
13.11.20191.01 Mб10Лекции с|г.doc
#
15.11.2019717.31 Кб17Лекции ФДСХ.doc
#
09.11.20191.04 Mб11Лекции, часть 1 испр..doc