Лекции по ТВ и МС(ч.1)

3.Два стрелка по очереди стреляют по мишени до первого попадания, причем вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,6. Найти вероятность выигрыша для каждого из стрелков.

4.Распределение дискретной случайной величины ξ определяется

7. Бросается пара симметричных игральных костей. Пусть ξ — число очков

на первой игральной кости, η — на второй. Найти распределение случайных величин:

а) ξ +η ; б) ξ −η ; в) max{ξ,η}; г) min{ξ,η}; д) max{ξ,η}; д) max{ξ,η}− min{ξ,η}. 8. Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ , а

случайная величина η такая, что условная вероятность P{η = k ξ = n}= (λkp!)k e−λp ,

k= 0,1,KНайти безусловное распределение η.

9.Пусть случайная величина ξ имеет закон распределения

Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины η = sin ξπ . Построить график функции распределения случайной величины η.

99

Лекция № 10

Свойства функции распределения.

Плотность распределения случайной величины.

Тема:

Абсолютно непрерывные, случайные величины

В математике нет другого такого раздела науки, в котором так легко совершить ошибку. Даже само высказывание

«вычислять вероятность» содержит парадокс. Ведь вероятность, в

противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?..

Карл Пирсон

10.1. Свойства функции распределения

Пусть (Ω,F, P) — вероятностное пространство, а ξ(ω) — случайная величина на нем. Напомним, что функцией распределения случайной величины ξ(ω) мы назвали функцию

Fξ (x)= P{ω :ξ(ω)< x}.

Свойства Fξ (x)

1)Если a < b , то P{ω : a ≤ξ(ω)< b}= F (b)− F (a).

2)Если a < b , то F (a) ≤ F (b) , т.е. F (x) — неубывающая функция.

100

Лекция № 10 Абсолютно непрерывные случайные величины

4) F (x) непрерывна слева, т.е. lim F (x) = F (x0 ).

x→x0 −0

5)P{ω :ξ(ω)≤ x}= F(x + 0).

6)P{ω :ξ(ω)= x}= F (x + 0) − F (x).

Доказательство.

1) Если a < b , то {ω : a ≤ξ(ω)< b}={ω :ξ(ω)< a}{ω :ξ(ω)< b}, причем

{ω :ξ(ω)< a} {ω :ξ(ω)< b}, отсюда и из свойств вероятностей следует требуемое.

2)Если a < b , то F(b)− F(a)={ω : a ≤ξ(ω)< b}≥ 0 .

3)Покажем, что для любых последовательностей {xn }и {yn} таких, что

Далее

∞

U{ω :ξ(ω)< yn }= Ω и {ω :ξ(ω)< yn } {ω :ξ(ω)< yn+1}.

n=1

Поэтому, по свойству непрерывности вероятностной меры, получим:

4) Пусть {xn }– произвольная числовая последовательность такая, что xn < xn+1 , xn → x, xn < x (n =1,2,K) .

Покажем, что lim F(xn )= F (x).

n→∞

Не трудно видеть, что имеет место равенство:

101

∞

{ω :ξ(ω)< x}= U{ω :ξ(ω)< xn }.

n=1

Так как

{ω :ξ(ω)< xn } {ω :ξ(ω)< xn+1},

6) Так как

{ω :ξ(ω)= x}={ω :ξ(ω)≤ x}\ {ω :ξ(ω)< x},

а также

{ω :ξ(ω)< x} {ω :ξ(ω)≤ xn },

то

P{ω :ξ(ω)= x}= P{ω :ξ(ω)≤ x}− P{ω :ξ(ω)< x}= F(x + 0)− F(x).

Рассмотрим без доказательства теорему.

Пусть F (x) обладает следующими свойствами:

1)F (x) — неубывающая функция на интервале (− ∞;+∞);

2)F (x) — непрерывна слева;

102

Пусть ξ(ω) — случайная величина на вероятностном пространстве (Ω,F, P)

с функцией распределения F (x) .

случайной величины ξ .

Свойства плотности распределения: 1) fξ (x) ≥ 0 (неотрицательность );

Справедливо и обратное утверждение.

Пусть неотрицательная функция f (x) обладает свойством

103

Доказательство. Если f (x) удовлетворяет условиям теоремы, то существует

x

функция F(x)= ∫ f (u)du =1, удовлетворяющая всем условиям теоремы 10.1.

−∞

Пусть F — класс всех интегралов [a;b) и конечных объединений таких

Следовательно, они совпадают и на σ(F) — наименьшей σ–алгебре, содержащей алгебру F.

10.3. Теорема Лебега о разложении функции распределения

Функции распределения могут иметь разрывы только первого рода.

Величина p(x)= F(x + 0)− F(x) называется скачком

Определение 10 .2

функции распределения.

Скачок функции распределения положителен во всех точках разрыва и равен нулю во всех точках непрерывности. Множество точек разрыва функции

104

распределения не более чем счетное. Действительно, пусть Dk — множество точек разрыва F(x), величины скачков в которых принадлежат интервалу

∞

точек разрыва есть множество UDk и, следовательно, оно не более чем счетное.

k =1

Дискретными функциями распределения называются функции распределения дискретных, случайных величин. Такие

Определение 10 .3 функции можно представить в виде

Абсолютно непрерывными функциями распределения

называются функции распределения случайных величин, Определение 10 .4 имеющих плотность распределения f (x). Случайная величина

в этом случае называется абсолютно непрерывной.

Непрерывная функция распределения, не имеющая Определение 10 .5 плотности, называется сингулярной. Случайная величина в

этом случае называется сингулярной.

Каждая функция распределения F(x) единственным образом может быть представлена в виде

1 Лебег Анри Леон (Lebesgue Henri Léon) (28.06.1875–26.07.1941) — французский математик, иностранный член– корреспондент АН СССР (1929), член Парижской академии наук (1922). Профессор парижского университета (1910). Один из основателей современной теории функций действительного переменного. Главная заслуга создание теории меры (мера Лебега) и обобщение понятия интеграла (интеграл Лебега).

105

10.4. Некоторые абсолютно непрерывные распределения

10.4.1. Равномерное распределение

106

распределения свойством (10.1), отсутствия последействия, обладает только

Функция Q(t) является непрерывной и ограниченной функцией. Легко убедится, что все непрерывные, ограниченные решения функционального уравнения (10.2) имеют вид

1 Коши Огюсте Луи (Cauchy Augustin Louis) (21.08.1789–23.05.1857) — французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831), Парижской АН (1816). Труды относятся к различным областям математики, преимущественно к математическому анализу и математической физике.

107

10.5. Примеры нахождения распределений функций от случайных величин

Пример 10.2. Пусть функция распределения случайной величины ξ равна

Fξ (x). Найти плотность распределения случайной величины ζ =ξ2 .

Решение.

10.6. Рекомендуется изучить самостоятельно:

108