Лекции по ТВ и МС(ч.1)

Это статистическое определение вероятности характеризует естественнонаучный характер этого понятия, но не является формальным.

Для формализации этого понятия необходимо построить аксиоматическую теорию теории вероятностей.

Основными задачами теории вероятностей являются:

1)Формализация понятия вероятности и изучение общих свойств математических объектов, в которых введено понятие вероятности.

2)Создание и изучение различных вероятностных моделей, отражающих конкретные ситуации.

3)Разработка методов проверки соответствия предлагаемых вероятностных моделей тем реальным ситуациям или явлениям, которые они должны описывать. (Задачи математической статистики).

3.2. Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов

Рассмотрим стохастический эксперимент с конечным или счетным числом возможных исходов:

Ω ={ω1,ω2 ,K,ωn ,K}.

Предположим, что каждому элементарному событию ωi приписан некоторый «вес» pi , называемый «вероятностью» элементарного события ωi ,

причем веса pi обладают следующими свойствами:

1) pi ≥ 0 ;

∞

2)∑ pi =1.

i=1

29

1)0 ≤ Р (А) ≤ 1;

2)P(Ω) =1;

3)Если А и В — несовместные события A Ω, B Ω, то

Замечание 3.1. Теория вероятностей не учит тому, как «правильно» определять вероятности pi элементарных событий ωi Ω.

30

вопрос, как вычислить вероятности различных сложных событий, связанных с построенной моделью (Ω, P).

Пример 3.1. Пусть бросают симметричную игральную кость, тогда в качестве Ω естественно рассматривать множество Ω ={1,2,3,4,5,6}. Если кость симметрична, то каждому элементарному событию ωi = i припишем вероятность

16 . Тем самым будет построена вероятностная модель эксперимента, состоящего в

подбрасывании шестигранной, симметричной игральной кости. Если А — случайное событие, состоящее в том, что появившееся число очков не меньше 4,

т. е. А={4,5,6}, то

Р( А) = 16 + 16 + 16 = 63 = 12 .

Пример 3.2. Предположим, что бросаемая игровая кость не является симметричной, и массы в ней расположены так, что масса каждой грани

k =1

Тем самым построена другая вероятностная модель эксперимента, и вероятность рассмотренного в примере 3.1 события А равна

Р( А) = 214 + 215 + 216 = 1521 = 75 .

3.3.Классическое определение вероятности

Рассмотрим стохастический эксперимент с конечным числом n одинаково возможных элементарных исходов, т. е. каждому ωi , i =1, n припишем вес 1n .

31

данном эксперименте событие, которому благоприятствует m(A) элементарных событий, тогда

Рассмотрим стохастический эксперимент, имеющий n одинаково возможных исходов. Предположим, что событию А благоприятствуют m(A) из этих исходов, тогда

вероятностью события А назовем выражение P( A) = m(nA) .

Пример 3.3. Человек в темной комнате хочет открыть дверь своей комнаты. У него есть n ключей, из которых только один подходит к двери. Найти вероятность того, что человек добьется успеха при r-ой попытке (событие Ar ),

если :

а) после каждой попытки любой ключ с одинаковой вероятностью может быть выбран для следующей попытки; б) использованные ключи при следующей попытке не выбираются.

Решение: перенумеруем ключи (предположим для определенности, что тот ключ, который открывает дверь, получит номер l). Исходы эксперимента можно описать векторами (i1,i2 ,...,ir ) , где ik — номер ключа, использованный при k-ой попытке.

а) В этом случае каждая компонента ik (k =1,r) может принять одно из n

значений. Поэтому общее число исходов N = nr . Исходы, благоприятствующие событию Ar , описываются векторами (i1,...,ir −1,l), где ни одно из чисел ik k =1,r −1 ни равно l, число таких векторов равно (n −1)r−1 . Таким образом

32

Лекция № 3 Классическое определение вероятности

б) В данном случае исходы эксперимента имеют вид (i1,i2 ,...,ir ) , где все числа ik

Упражнение. Проведите аналогию с примером размещения частиц по ячейкам. Какие статистики здесь использованы?

3.4. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] — стр. 20–26;

¾[3] — стр. 20–28;

¾[4] — стр. 16–29;

¾[5] — стр. 12–16.

3.5. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Вероятностная модель эксперимента с конечным или счетным числом исходов. Классическое определение вероятности.

3.6 В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾частоты события;

¾статистического определения вероятности;

¾классического определения вероятности;

¾вероятностной модели эксперимента;

¾задачи теории вероятностей;

9формулы:

¾классической вероятности;

¾вероятности события в случае дискретного множества элементарных событий;

33

уметь:

9доказывать:

¾свойства вероятности в случае дискретного множества элементарных событий;

9решать задачи, используя классическое определение вероятности.

3.7 Задачи и упражнения.

1.Кубик подбрасывают 2 раза. Какова вероятность того, что сума очков выпавших на верхней грани не меньше 8?

2.В лифте 6 пассажиров, лифт останавливается на 12 этажах. Вычислите вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на разных этажах; б) все пассажиры выйдут на одном этаже;

в) на определенном этаже не выйдет ни один человек.

3.Какова вероятность того, что при извлечении пяти карт из колоды в 52

карты:

а) все карты окажутся бубновой масти; б) все карты окажутся одной масти;

в) две карты будут красной масти, а 3 — черной; г) среди них будет хотя бы один туз; д) среди них будет ровно один король;

е) есть хотя бы три карты одинаковой масти?

4.Поезд состоит из N вагонов. Каждый из 5 пассажиров выбирает себе вагон наугад. Найти вероятность того, что:

а) в определенных n вагонах окажется по одному пассажиру; б) в каких то n вагонах окажется ровно по одному пассажиру; в) в данном вагоне окажется ровно k пассажиров;

г) в каждом вагоне будет хотя бы один пассажир.

34

5.На зачете предлагается N вопросов. Студент знает только n вопросов. Преподаватель предлагает студенту r вопросов. Какова вероятность того, что

студент сдаст зачет, если для этого необходимо ответить не менее чем на k (k < r) вопросов?

6.Из множества {1,2,K, N} случайно выбирается число a . Найти

вероятность pn того, что a при делении на целое числоr ≥1 дает остаток q .

Найти вероятность lim pn .

n→∞

7.Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каждый из 20 карманов своего костюма по одному прянику. Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепиться, и он начинает в случайном порядке просматривать свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что:

а) поиск k –го пряника начинается с пустого кармана; б) первые k пряников Пончик найдет с первой попытки.

8.В зале кинотеатра в первых двух рядах, каждый из которых состоит из N кресел, сидит n человек. Найти вероятность следующих событий:

а) в первом ряду никакие два человека не сидят рядом; б) во втором ряду каждый человек имеет ровно одного соседа;

в) в первом ряду из любых двух кресел, расположенных симметрично середины ряда, хотя бы одно свободно.

9.В кассу стоит очередь из N человек, среди них r человек в кармане имеют 50 копеек, а N − r — по одной банкноте номиналом в одну гривну. Какова вероятность, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачу, если изначально в кассе не было денег?

35

Лекция № 4

Алгебры и σ –алгебры множеств. Монотонный

Тема:

класс. Вероятностные меры.

Множество я представляю себе как пропасть.

Г. Кантор

Теория вероятностей и математическая статистика в какой–то мере предвосхитили основные тенденции развития современной математики в том отношении, что они органически опираются на физические представления и в этом смысле непосредственно зависят от понятий меры и вероятности.

Н. Винер

4.1. Алгебры и σ-алгебры множеств

Прежде чем переходить к построению вероятностных моделей стохастического эксперимента с несчётным числом элементарных событий, рассмотрим некоторые факты из теории множеств и теории меры.

Класс A множеств из Ω называется алгеброй, если: 1) Ω A;

Определение 4.1

2) из того, что A A, следует, что A A;

3) из того, что A A, B A, следует, что A U B A.

Упражнение 4.1. Показать, что если A – алгебра и A A, B A, то и A I B A.

36

бесконечные последовательности событий и операции над ними. Поэтому нужно требовать, чтобы объединение и пересечение бесконечного числа были событиями.

Пример 4.1. Пусть A — некоторое подмножество Ω. Тогда класс множеств

A = {Ω, , A, A}образует алгебру (алгебру, порожденную событием A ).

Пример 4.2. Пусть Ω = [0;1) и A - система подмножеств из Ω, каждое из

которых представляет собой конечную сумму непересекающихся интервалов вида

[a;b). Тогда A — алгебра.

Пример 4.3. Множество Aвсех подмножеств Ω образует σ –алгебру.

пересечение всех σ –алгебр, содержащих класс K. Тогда σ(K) есть σ –алгебра.

Предполагается проверить, что пересечение любого числа σ –алгебр является

σ–алгеброй (самостоятельно!). Если F — любая σ –алгебра, содержащая K, то

σ(K) F, т.е. σ(K) есть наименьшая σ –алгебра, содержащая класс K.

37

Лекция № 4 Алгебры множеств

i=1

m

Bm = UAi . Т. к. A — алгебра, то Bm A, причем B1 B2 K Bn K. Так как

i=1

Доказательство см. [2] стр.28–29 или [5] стр.10–11.

38