Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по ТВ и МС(ч.1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Лекция № 11

Математическое ожидание случайной величины

9решать задачи:

¾находить математическое ожидание случайных величин.

11.7. Задачи и упражнения.

1. Распределение

дискретной

случайной

величины

определено

формулами:

P{ξ = k}=1 5 ,

k = −2;−1;0;1;2 . Найти

математические ожидания

случайных величин ξ , η = −ξ , η

, η

=ξ2 .

2. Распределение

дискретной

случайной

величины

определено

формулами:

P{ξ = k}=

k =1,2,K Найти математическое ожидание ξ ,

k(k +1)

если оно существует.

3. Распределение

дискретной

случайной

величины

определено

формулами:

P{ξ = k}=

k =1,2,K. Найти математическое ожидание

k(k +1)(k + 2)

случайной величины ξ .

4. Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид

fξ (x)= 3 x4 ,

x ≥1. Найти:

а) математическое ожидание случайной величины ξ ;

б) распределение случайной величины η =1 ξ ;

в) математическое ожидание случайной величины η.

5. Случайная величина

имеет

распределение Лапласа

плотностью

x −a

fξ (x) = 21β e_ 2β , β > 0 . Найти математическое ожидание величины ξ .

6. Случайная величина η имеет нормальное распределение с параметрами

(a,σ 2 ). Найти математическое ожидание случайной величины ξ − Mξ .

7. Бросают две игральные кости. Пусть ξ — сумма числа очков, выпавших на верхних гранях. Найти математическое ожидание величины ξ .

119

Дисперсия

Лекция № 12

Математическое ожидание функции от случайной

Тема:

величины. Дисперсия. Вероятностные неравенства

…Важнейшие вопросы жизни не что иное, как задачи теории вероятностей. Можно даже сказать, если уже говорить точно, что почти все наши знания только вероятны, и в небольшом кругу предметов, где мы можем познавать с достоверностью, в самой математике, главные средства достигнуть истины

— индукция и аналогия — основываются на вероятностях, таким образом, вся система человеческих знаний связана с теорией вероятностей.

П. Лаплас

12.1. Математическое ожидание функции от случайной величины

Как нам уже известно, что если ξ — случайная величина на вероятностном пространстве (Ω,F, P), с функцией распределения Fξ (x) и g(x) — некоторая борелевская функция, тогда g(ξ) также является случайной величиной.

Математическое ожидание g(ξ) вычисляется по формуле

+∞
M g(ξ)= ∫g(x)dF(x),	(12.1)

−∞

если интеграл в правой части последнего выражения, который понимается в смысле Лебега–Стилтьеса, сходится абсолютно. Доказательство этого факта вы можете найти в [2] (стр. 87–89, теорема 1).

Пример 12.1. Пусть случайная величина ξ распределена по показательному

закону с плотностью fξ (x)= e−x ,	если x > 0 . Тогда математическое ожидание
случайной величины ξ3 +1 можно	вычислить по формуле (12.1):

120

Лекция № 12

Дисперсия

+∞

M(ξ3 +1)= ∫(x3 +1)e−xdx =−(x3 +1)e−x

+∞

+3 ∫x2e−xdx =1

−3x2e−x

+∞

+ 6 ∫xe−xdx =1−6xe−x

+ 6

∫e−xdx =1−6e−x

= 7.

Пример 12.2. Случайная величина ξ

распределена

по закону Пуассона,

тогда

математическое ожидание случайной величины η = eξ

равно

∞

e−λ = e

∞

= e−λeeλ = eλ(e−1).

M eξ = ∑ek

−λ ∑

(λe)

k =0

12.2. Дисперсия случайной величины

Определение 12.1

Дисперсией случайной величины ξ называется

Dξ = M(ξ − Mξ)2 .

Определение 12.2

Величина

σξ

= Dξ

называется среднеквадратическим отклонением случайной

величины ξ .

Установим

некоторые свойства дисперсии случайной величины:

1) Если P{ξ = c}=1, то Dξ = 0 .

Это следует из определения и свойств математического ожидания.

2) D cξ = c2 Dξ .

3) Dξ = Mξ2 −(Mξ)2

(12.2)

(эта формула удобна для вычисления дисперсии).

Не трудно видеть, что

M(ξ − Mξ)2 = M(ξ2 − 2ξ Mξ + (Mξ)2 )= Mξ2 − 2(Mξ)2 + (Mξ)2 = Mξ2 −(Mξ)2 .

Пример 12.3. Случайная величина ξ

имеет биномиальное распределение с

параметрами n , p . Дисперсия случайной

величины ξ согласно (12.2)

равна

Dξ = Mξ2 −(Mξ)2 . Напомним, что Mξ = np .

Далее из формулы (12.1) имеем

121

Дисперсия

Лекция № 12

Mξ2

= ∑k

2Cnk pk (1− p)n−k = ∑k 2

pk (1− p)n−k =

k!(n − k )!

k =0

kn!

= ∑k

pk (1− p)n−k = ∑

pk (1− p)n−k

k!(n − k )!

k =0

k =1 (k −1)!(n − k )!

(k −1)n!

n−k

= ∑

(1− p)

+∑

(1− p)

−1)!(n − k )!

k =1

pk (1− p)n−k

= ∑

+∑

− 2)!(n − k )!

−1)!(n − k )!

k =2

k =1

(n − 2)!

k −2

n−k

(n −1)!

k −1

n−k

= n(n −1)p

∑

− p)

+ np∑

(1− p)

(k −1)!(n − k )!

k =2 (k − 2)!(n − k )!

k =1

= n(n −1)p2 + np.

Таким образом,

D ξ = M ξ 2 − (M ξ )2 = n(n −1)p 2 + np − (np )2

= −np 2 + np = np (1 − p )= npq .

Пример 12.4. Дисперсия равномерного на [a,b] распределения. Имеем

	1	b	b	3	− a	3	= b	2	+ ab +
Mξ2 =		∫x2dx =
	b − a		3(b − a)						3
		a

справедливо

Dξ = M ξ 2 −(M ξ )2 =

a2	Mξ =	a +b	,
, тогда, так как		2

b2 + ab + a2	a + b		2
	−		=
3
		2


=	4b2 + 4ab + 4a2 −3b2 − 6ab −3a2		=	b2 − 2ab + a2			= (b − a)2 .
	12
					12		12
12.3. Моменты случайной величины
Определение 12.3		Для целого неотрицательного			k	начальным моментом

		порядка k называется величина
		m(k )ξ = Mξk .
		Для целого неотрицательного			k центральным моментом

Определение 12.4 порядка k называется величина

µ(k )ξ = M(ξ − m(1))k .

122

Лекция № 12

Дисперсия

12.4. Неравенство Чебышева

			Пусть g(x) — неотрицательная неубывающая на множестве
			Пусть g(x) — неотрицательная неубывающая на множестве
Теорема 12.1.			значений случайной величины ξ функция. Предположим, что
Неравенство			существует M g(ξ). Тогда для каждого ε > 0 справедливо
Чебышева					P{ξ > ε}≤ M g(ξ).
					P{ξ > ε}≤ M g(ξ).
					g(ε)
Доказательство.		Пусть Fξ (x)		— функция распределения ξ . Применяя формулу
Доказательство.		Пусть Fξ (x)		— функция распределения ξ . Применяя формулу
(12.1), получим
	+∞			+∞	+∞
M g(ξ)	= ∫g(x)dFξ (x)			≥ ∫g(x)dFξ (x)≥ g(ε)∫dFξ (x)= g(ε)P{ξ > ε},
	−∞			ε	ε

что и доказывает теорему.

ЧЕБЫШЕВ ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ (14 (26) мая 1821, село Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области — 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт–Петербург) — российский математик и механик, член Петербургской академии наук (1856), основатель Петербургской математической школы. Член Берлинской АН (1871), Болонской АН (1873), Парижской АН (1874; член-корреспондент с 1860), Лондонского Королевского общества (1877), Шведской АН (1893) и почетный член многих русских и иностранных научных обществ, академий, университетов.

П.Л. Чебышёв положил начало развитию многих новых разделов математики (теория приближений функций, интегральное исчисление, теория чисел, теория вероятностей), а также теории механизмов и машин. Одним из первых он начал увязывать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники, многие его открытия обусловлены именно прикладными задачами.

В 1847 защищает в Петербургском университете диссертацию «Об интегрировании с помощью логарифмов» на право чтения лекций и после утверждения в звании доцента приступает к чтению лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защищает в

Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», которая в том же году была удостоена Демидовской премии. С 1850 по 1882 — профессор Петербургского университета. После выхода в отставку Чебышев до конца жизни занимается научной работой.

С 1856 года Чебышев работал в артиллерийском отделе Военного ученого комитета, занимался вопросами баллистики. Его теоретические разработки позволили русской артиллерии выйти в конце 19 века на одно из первых мест в мире.

Исследования Чебышева относятся к теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и другим областям знания. Наибольшее число работ посвящено математическому анализу.

Работы Чебышева по теории вероятностей: «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845); «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846); «О средних величинах» (1867); «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887)] ознаменовали важный этап в развитии теории вероятностей. П.Л.Чебышев стал систематически использовать случайные величины. Им доказаны неравенство, носящее ныне имя Чебышева, и — в весьма общей форме — закон больших чисел.

В 1944 Академией наук СССР учреждена премия имени П.Л.Чебышева.

123

Дисперсия								Лекция № 12
12.5. Неравенство Иенсена1
Теорема 12.2.		Пусть ξ — случайная величина с областью значений I, а
Теорема 12.2.		Пусть ξ — случайная величина с областью значений I, а
Неравенство		g(x) — выпуклая на I функция. Тогда справедливо
Иенсена			M g(ξ)≥ g(Mξ).

Доказательство. Из курса математического анализа известно, что функция g(x)
выпуклая на I тогда и только тогда, когда
			g (x)≥ 0
			′′
в каждой точке	I.		Запишем разложение	в ряд Тейлора функции g(x) в
окрестности точки x0			с остаточным членом в форме Лагранжа
		g(x)= g(x0 )+ g′(x0 )(x − x0 )+			g′′(η)			(x − x0 )2 ,
		g(x)= g(x0 )+ g′(x0 )(x − x0 )+						(x − x0 )2 ,
						2
где η точка, лежащая между x и x . Так как				g′′(η)			(x − x )2 ≥ 0, то
где η точка, лежащая между x и x . Так как							(x − x )2 ≥ 0, то
			0	2		0
				2

g(x)≥ g(x0 )+ g′(x0 )(x − x0 ).

Положим x =ξ и x0 = Mξ :

g(ξ)≥ g(Mξ)+ g′(Mξ)(ξ − Mξ).

Возьмем математическое ожидание от обеих частей последнего неравенства, в результате получим

M g(ξ)≥ g(Mξ).

Что и требовалось доказать.

12.6. Неравенство Ляпунова

Теорема 12.3.

Неравенство

Ляпунова

Если 0 < s < t и случайная величина ξ такая, что M ξ t < +∞,

тогда

(M ξ s )1 ≤ (M ξ t )1 .

s t

1 Иенсен Иоганн Людвиг [Jensen Johann Ludwig] (1859–1925) — датский математик. Основные труды по теории функций. Неравенство Иенсена (1906).

124

Лекция № 12 Дисперсия

Доказательство. Положим r =

g(x)=

r , r ≥1, η =

s . Тогда, применяя

неравенство Иенсена, получим

(M ξ s )s ≤ M(ξ s )s = M ξ t .

Из этого неравенства и следует требуемое неравенство Ляпунова.

ЛЯПУНОВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ (6.06.1857–3.11.1918) — Русский математик и механик, акад. Петербургской АН (с 1901, чл.-кор. с 1900), чл.- кор. Парижской АН, иностранный член Национальной академии деи Линчей, почетный член Петербургского, Харьковского и Казанского ун-тов, член многих академий наук и научных обществ. Родился в Ярославле. Окончил Петербургский университет (1880). Ученик Чебышева. В 1884–1885 работал в Петербургском университете, в 1885–1902 – в Харьковском университете (с 1893 – профессор). С 1902 жил в Петербурге, занимался исключительно научной работой. В 1917 переехал в Одессу. С осени 1918 – профессор Одесского университета.

Основные работы посвящены теории устойчивости равновесия и движения механических систем, теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости и математической физике. Важнейшим достижением Ляпунова является создание современной теории устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров.

В математической физике решил ряд важных задач, в частности задачу Дирихле. В теории вероятностей развил метод характеристических функций, очень общий. При этом доказал центральную предельную теорему теории

вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.

12.7. Неравенство Гельдера1

Пусть p >1, q >1,

+ 1 =1 и случайные величины ξ и η

Теорема 12.4.

Неравенство

таковы, что M

p < +∞, M

q < +∞. Тогда

Гельдера

ξη

≤ (M

p )p

q )q

* x = yq −1 . Из рисунка соответствующего

случаю b < a p −1 ,

вытекает, что сумма

площадей

(0;b)

S = ∫x p−1dx =

и T = ∫yq −1dy = b

(a;0)

1 Гельдер Людвиг Отто [Hölder Ludwig Otto] (1859–1937) —немецкий математик. Основные труды в области алгебры, математического анализа, оснований математики.

125

Дисперсия

Лекция № 12

не меньше, чем ab : ab ≤ a p + bq . Положим в этом неравенстве p q

a =

, b =

p )p

q )q

и возьмем математическое ожидание от обеих частей полученного неравенства. Тогда, используя свойства математического ожидания, получим

≤

+ 1

=1,

p )p

q )q

p q

откуда и следует неравенство Гельдера.

Следствие 12.1. (Неравенство Коши–Буняковского). Положив p = q = 2 ,

получим

(M ξη )2 ≤ (M ξ 2 )(Mη 2 ).

БУНЯКОВСКИЙ ВИКТОР ЯКОВЛЕВИЧ (16.12.1804–12.12.1889) — русский математик, член Петербургской Академии Наук (1830г., адъюнкт-с 1828г.) и ее вице-президент (1864-1889гг). Родился в Баре (ныне Винницкой области). Начальное образование - домашнее. В 1820-1825гг.

учился за границей, в частности в Париже, где в то время преподавали такие знаменитые ученые, как П. С. Лаплас, Ж. Б. Ж. Фурье, С. Д. Пуассон, О. Л. Коши, А. М. Лежандр, А. М. Ампер и другие. Там же защитил диссертацию и получил степень доктора математики (1825г.).

Буняковский занимался педагогической деятельностью: преподавал в 1-м кадетском корпусе (1827г.), в морском корпусе (1827-1862гг.) и в Институте путей сообщения (1830-1846гг.). В 1846-1859гг. читал курсы аналитической механики, теории вероятностей и математического анализа в Петербургском университете. С 1858г. был главным экспертом производства по вопросам статистики и страхования.

Обширна и плодотворна научная деятельность Буняковского. Список его сочинений содержит 168 названий. Работал преимущественно над теорией чисел и теорией вероятностей с ее приложениями; ему принадлежат также работы, посвященные вопросам анализа, геометрии и алгебры. Интересовался практикой вычислений, предложил усовершенствованный вариант русских счетов. Важнейшее место в деятельности Буняковского занимают труды по теории вероятностей. Его сочинение "Основания математической теории

вероятностей" (1846г.) содержит, кроме оригинального изложения самой теории вероятностей, историю возникновения и развития этой науки и множество ее приложений к страхованию, демографии и т.п. Ряд известнейших статей Буняковского посвящен статистике народонаселения, подсчету вероятных контингентов русской армии, решению задач судопроизводства, определению погрешности наблюдений и т. д. Все эти работы содействовали успешному развитию теории вероятностей в России. Работы по теории чисел о сравнениях, квадратичном законе взаимности и другие возродили в русской науке интерес к теории чисел, успешно разрабатывавшейся в Петербургской Академии Наук в XVIII в. В математическом анализе большое значение имеет открытое Буняковским неравенство, которое иногда называют неравенством Шварца, хотя Г. А. Шварц нашел это неравенство только в 1875г., т.е. на 16 лет позднее. Работы Буняковского по геометрии относятся преимущественно к теории параллельных линий.

Наряду с М. В. Остроградским и П. Л. Чебышевым Буняковский сыграл огромную роль в повышении научного уровня преподавания математики в высшей школе и в расширении ее учебной программы. Составленный Буняковским обширный "Лексикон чистой и прикладной математики" (до буквы Е) имел большое значение для математического просвещения и введения научной терминологии. Буняковский написал также учебники для средней школы: "Арифметику" (1844г.), "Программу и конспект арифметики" (1849г.).

126

Лекция № 12

Дисперсия

12.8. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 86 — 97;

¾[3] – стр. 158 — 172.

12.9. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Математическое ожидание функции от случайной величины. Дисперсия.

2.Вероятностные неравенства Чебышева, Иенсена, Ляпунова, Гельдера.

12.10. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9определения:

¾дисперсии случайной величины;

¾средне квадратичного отклонения;

¾начального момента порядка m ;

¾центрального момента порядка m ;

9свойства:

¾дисперсии случайной величины;

9формулу:

¾математического ожидания функции от случайной величины;

9неравенства:

¾Чебышева;

¾Иенсена;

¾Ляпунова;

¾Гельдера;

¾Коши-Буняковского;

уметь:

9доказывать неравенства:

¾Чебышева;

¾Иенсена;

¾Ляпунова;

127

Дисперсия

Лекция № 12

¾ Гельдера;

9доказывать свойства:

¾дисперсии.

12.11. Задачи и упражнения

1.Вычислить дисперсию геометрически распределенной случайной величины.

2.Вычислить дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

3.Случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с

параметрами (N, p, n) (0 < p <1), если

		k n−k
	P{ξ = k}=	CNpCN (1− p)	, k = 0,K, n .
		CNn

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ .
4. Случайная	величина ξ имеет		распределение Бореля–Таннера с
параметрами (r,α)	(0 <α <1), если

P{ξ = k}= ( r ) k k −r −1e−αkαk −r , k = r, r +1,K k − r !

5.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины,

укоторой

P{ξ = k}= logm (k +1)−logm k , k = 0,K, n .

6.Доказать, что дисперсия числа появлений события при однократном производстве опыта не превосходит 14 .

7.Вычислить дисперсию случайной величины, подчиняющейся закону Лапласа, с плотностью

fξ (x)= e− x .

8. Вычислить дисперсию нормальной с параметрами (a,σ 2 ) случайной величины.

128

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.201543.25 Кб12Лекции ПИС.docx
#
23.12.2018248.32 Кб54Лекции по литературе.doc
#
16.03.2016374.78 Кб219Лекции по налогообложению ДНР.doc
#
11.09.2019402.94 Кб6Лекции по обязательствам.doc
#
11.09.2019591.36 Кб7Лекции по политэкономии.doc
#
13.04.20153.56 Mб70Лекции по ТВ и МС(ч.1).pdf
#
15.11.201817.05 Mб3Лекции по УТП.doc
#
16.03.2016470.02 Кб36Лекции по финансам.doc
#
13.11.20191.01 Mб10Лекции с|г.doc
#
15.11.2019717.31 Кб17Лекции ФДСХ.doc
#
09.11.20191.04 Mб11Лекции, часть 1 испр..doc