Лекции по ТВ и МС(ч.1)
.pdf
Д О Н Е Ц К И Й
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКАЯ СЕРИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Жизнь украшается двумя вещами:
занятием математикой и ее
преподаванием
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Часть 1 (1 семестр)
Учебно–методическое пособие в двух частях
ДОНЕЦК–2006
УДК 519.21 ББК В171, В172
С.
Лекции по теории вероятностей и математической статистики. Часть 1(1 семестр): Учебно–методическое пособие/ составитель А.А. Симогин. —Донецк: ДонНУ, 2006. –187 с.
Учебно–методическое пособие содержит текст лекций 1 семестра по курсу теория вероятностей и математическая статистика; теоретические вопросы, выносимые на экзамен; понятия, определения и теоремы которые должен знать студент после изучения материала лекции; задачи и упражнения, способствующие более качественному усвоению материала лекции.
Для студентов направлений подготовки 6.0801 – Математика и 6.0802 – Прикладная математика образовательно–квалификационного уровня бакалавр.
Учбово–методичний посібник містить текст лекцій 1 семестру за курсом теорія ймовірностей і математична статистика; теоретичні питання, що виносяться на іспит; поняття, визначення й теореми які повинен знати студент після вивчення матеріалу лекції; задачі й вправи, що сприяють більше якісному засвоєнню матеріалу лекції.
Для студентів напрямів підготовки 6.0801 – Математика й 6.0802 – Прикладна математика освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр.
Рецензенты:
Утверждено к изданию Ученым советом математического факультета Донецкого национального университета протокол № от ХХ.ХХ.2006
Содержание |
|
Содержание |
|
Предисловие..................................................................................................................... |
5 |
Лекция 1. Стохастический эксперимент. Исчисление событий........................................... |
6 |
Лекция 2. Элементы комбинаторики............................................................................... |
17 |
Лекция 3. Классическое определение вероятности ............................................................ |
28 |
Лекция 4. Алгебры и σ –алгебры множеств. Монотонный класс. Вероятностные меры... |
36 |
Лекция 5. Аксиоматическое построение теории вероятностей......................................... |
44 |
Лекция 6. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. |
|
Независимость событий.................................................................................................... |
54 |
Лекция 7. Последовательность независимых событий...................................................... |
68 |
Лекция 8. Асимптотические представления для биноминальных вероятностей. .............. |
78 |
Лекция 9. Определение случайной величины. События, порождённые случайной величиной. |
|
Дискретные случайные величины. ..................................................................................... |
89 |
Лекция 10. Свойства функции распределения. Плотность распределения случайной |
|
величины. Абсолютно непрерывные случайные величины.................................................. |
100 |
Лекция 11. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического |
|
ожидания........................................................................................................................ |
111 |
Лекция 12. Математическое ожидание функции от случайной величины. Дисперсия. |
|
Вероятностные неравенства. .......................................................................................... |
120 |
Лекция 13. Распределение случайного вектора. Независимость случайных величин. |
|
Распределение функций от случайных величин. ................................................................ |
130 |
Лекция 14. Меры связи случайных величин.................................................................... |
141 |
Лекция 15. Производящие, характеристические функции. Преобразование Лапласа........ |
150 |
Лекция 16. Понятие о сходимости случайных величин................................................... |
159 |
Лекция 17. Закон больших чисел. ................................................................................... |
166 |
Лекция 18. Усиленный закон больших чисел................................................................... |
174 |
Приложение 1. Нормальное распределение. Плотность распределения вероятностей |
|
стандартного нормального распределения ............................................................................. |
|
3
Стохастический эксперимент. Исчисление событий. Лекция № 1
Приложение 2. Нормальное распределение. Функция распределения вероятностей
стандартного нормального распределения.........................................................................................
Литература..........................................................................................................................
Предметный указатель......................................................................................................
Именной указатель............................................................................................................
4
Предисловие
Я лекцию читал, и на доске,
крошился мел, и строились модели,
и что-то непонятное в пределе стремилось быть постройкой на песке.
Юрий Благовещенский, Сонет Из сборника «Вечная соломинка свободы»
Учебно–методическое пособие «Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Часть 1» предназначено для студентов третьего курса, обучающихся по направлениям Математика и Прикладная математика.
Материал пособия содержит текст 18 лекций, которые охватывают темы: основные понятия теории вероятностей, случайные величины, предельные теоремы теории вероятностей. Пособие полностью соответствует программе курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Структура каждой лекции такова:
•материал лекции;
•литература по теме лекции рекомендуемая, для самостоятельного изучения;
•вопросы, выносимые на экзамен;
•понятия, определения и теоремы, которые должен знать студент после изучения материала лекции;
•задачи и упражнения, способствующие более качественному усвоению материала лекции.
Вконце пособия в приложениях приведены таблицы значений функции и плотности распределения стандартной нормальной случай величины.
На обложке изображена плотность двумерной нормальной случайной величины с независимыми координатами. Каждая координата распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
5
Стохастический эксперимент. Исчисление событий. |
Лекция № 1 |
Лекция № 1
Стохастический эксперимент.
Тема:
Исчисление событий.
Вероятность есть степень достоверности,
и отличается от нее как часть от целого.
Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli)
Искусство предположений (Ars conjectandi) 1713
1.1. Стохастический эксперимент
Основными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического (случайного) эксперимента, случайного события и, наконец, вероятности случайного события. Следующее определение не является математически точным. Но начинать с чего-то надо. По мере дальнейшего изложения материала это понятие мы будем уточнять.
Стохастическими (вероятностными) называются Определение 1.1 эксперименты, результаты которых нельзя предугадать
заранее.
Приведем несколько примеров.
Пример 1.1. На купленный лотерейный билет может выпасть любой из разыгрываемых в лотерее выигрышей. До окончания розыгрыша нельзя определить, выпадет на данный лотерейный билет выигрыш или нет. Следовательно, розыгрыш лотереи есть ни что иное, как вероятностный эксперимент.
Пример 1.2. Распространение эпидемии инфекционной болезни тоже можно рассматривать как вероятностный эксперимент, результатом которого является то или иное течение эпидемии.
Пример 1.3. Рассмотрим эксперимент, в котором самоопыляется растение, выросшее из семян, получившихся в результате перекрестного опыления двух сортов. Свойства такого растения определяются генами, унаследованными от
6
Лекция № 1 |
Стохастический эксперимент. Исчисление событий. |
обоих родителей. Обозначим их буквами А и а. В результате самоопыления получаются растения, имеющие следующие комбинации генов: АА, Аа, аа. Нельзя сказать заранее какой комбинацией генов будет обладать то или иное семя. Таким образом, самоопыление в данном случае можно рассматривать как случайный эксперимент.
Как видим, понятие вероятностного эксперимента является достаточно широким.
С математической точки зрения нас интересуют в стохастических экспериментах только их возможные результаты.
Предметом теории вероятностей является математический анализ количественных закономерностей случайных экспериментов, которые позволяют судить об их возможных результатах.
Это будет возможно, если рассматривать не один, а множество экспериментов, или если один и тот же эксперимент повторить много раз, при заданном комплексе условий. Поэтому основной чертой стохастических экспериментов является возможность их повторять.
1.2. Пространство элементарных событий. Случайное событие
В основе теоретико-множественного метода изложения теории вероятностей лежит предположение, что рассматриваемому эксперименту поставлено в соответствие некоторое множество Ω. Точки которого изображают наиболее полную информацию о предполагаемых результатах в данном эксперименте.
Определение 1.2 |
|
|
|
|
|
Множество Ω называют пространством элементарных |
|
|
|
|
|
событий, а его точки элементарными событиями. |
|
Пример 1.4. |
|
|
|
|
|
Бросают шестигранную игральную кость, на каждой грани |
|
|
|
которой отображены очки от 1 до 6. Результатом эксперимента является количество очков, выбитое на верхней грани. Пространство элементарных исходов, в этом случае, имеет вид: Ω ={1,2,3,4,5,6}.
Пример 1.5. Бросают монету один раз. Пространство элементарных исходов имеет вид: Ω ={Г, Р}, здесь Г — означает появление герба, буква Р — решки.
7
Стохастический эксперимент. Исчисление событий. |
Лекция № 1 |
Пример 1.6. Бросают монету дважды. В данном случае пространством элементарных событий является множество Ω ={ГГ, РГ, ГР, РР}.
В рассматриваемых примерах пространство элементарных исходов было конечно. Но в теории вероятностей гораздо чаще возникают задачи, в которых стохастические эксперименты описываются бесконечным числом исходов.
Пример 1.7. Монету бросают до первого появления герба. Пространством элементарных событий такого эксперимента является множество:
|
|
Ω ={ω0 ,ω1,ω2 ,K,ωn ,Kω∞}, |
здесь ω |
n |
= РKРГ означает, что появлению герба предшествовало появление |
|
123 |
|
|
|
n раз |
решки n раз, ω∞ соответствует той возможности, что герб никогда не появится
(эксперимент будет продолжаться бесконечно долго).
В данном эксперименте пространство элементарных исходов описывается счетным множеством. Еще более мощным пространством элементарных исходов является непрерывное пространство.
Пример 1.8. (Задача о встрече). Два лица А и В договорились встретиться в интервале времени [0;T ]. Если обозначить через х время прихода А, а через у время прихода В, то пространством элементарных исходов будет множество: