Лекции по ТВ и МС(ч.1)

Замечание 4.1. Из конечной аддитивности вероятностной меры, определённой на алгебре A, не следует счётная аддитивность (см. пример [2],

стр.30).

Докажем теорему, показывающую какие дополнительные предположения надо наложить на конечно–аддитивную меру, чтобы она была счётно– аддитивной.

39

i =0

n−1

конечной аддитивности вероятностной меры, получим, что P(An )= ∑P(Bi ). Не

i =0

∞∞

трудно увидеть, что UAn = UBi . Поэтому из 1) следует, что

n=1 i =0

2) 3) Пусть {Ai }i∞=1 — невозрастающая последовательность множеств (Ai Ai+1 ).

Тогда Ai — неубывающая последовательность множеств. Согласно 2) имеем:

40

Cn = UAi . Тогда Cn+1 Cn и ICn = . В силу конечной аддитивности:

¾[2] – стр. 26-32;

¾[4] – стр. 143–148, 151–160;

¾[5] – стр. 8-11.

41

1.Алгебры и σ –алгебры множеств, монотонный класс. Теорема о существовании наименьшей σ –алгебры.

2.Алгебры и σ –алгебры множеств, монотонный класс. Необходимые и достаточные условия того, чтобы алгебра являлась σ –алгеброй.

3.Вероятностные меры. Теорема о четырех эквивалентных условиях. Теорема Каратеодори.

4.5. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾алгебры множеств;

¾σ –алгебры множеств;

¾наименьшей σ –алгебры множеств;

¾наименьшего монотонного класса множеств;

¾борелевского множества;

¾конечно–аддитивной вероятностной меры;

¾счетно–аддитивной вероятностной меры;

9теоремы:

¾о существовании наименьшей σ –алгебры;

¾необходимые и достаточные условия того, чтобы алгебра являлась σ – алгеброй;

¾о совпадении наименьшей σ –алгебры и наименьшего монотонного класса;

¾о четырех эквивалентных условиях;

¾Каратеодори.

уметь:

9доказывать теоремы:

¾о существовании наименьшей σ –алгебры;

42

¾ необходимые и достаточные условия того, что бы алгебра являлась

σ–алгеброй;

¾о четырех эквивалентных условиях.

4.6. Задачи и упражнения

1. Доказать, что совокупность событий M, которая содержит достоверное событие Ω и с каждой парой событий A и B содержит и их разность A \ B .

2. Эксперимент заключается в измерении некоторой величины ξ , которая

может принимать произвольные действительные значения. Рассмотрим множество событий вида: величина ξ принадлежит множеству M числовой прямой, где M :

а) все открытые множества; б) все замкнутые множества;

в) все открытые и замкнутые множества; г) множества, которые представимы в виде объединения конечного числа

открытых слева и замкнутых справа полуинтервалов. Какая из этих совокупностей событий является алгеброй?

3. Как описать все σ –алгебры, если множество Ω счетно?

4. Пусть R — числовая прямая. Доказать, что множества вида UFk UGk ,

k

где Fk ,Gk R , Fk — замкнутое, а Gk — открытое множество (объединения по k

конечны), образуют алгебру, но не образуют σ –алгебру. Какие множества нужно добавить к этой совокупности, чтобы получить σ –алгебру.

5.Пусть B1 и B2 — σ -алгебры подмножеств пространства Ω. Будут ли

σ-алгебрами системы множеств

B1 IB2 ≡{A : A B1 и A B2 },

B1 UB2 ≡{A : A B1 или A B2 }?

6. Пусть D={D1, D1,K} — некоторое счетное разбиение Ω и B =σ(D).

Будет ли счетным число множеств, составляющих B?

43

Лекция № 5

Аксиоматическое построение теории

Тема:

вероятностей.

…у математиков хватило ума точно определить термины, которыми они пользуются, сформулировать в виде аксиом основные положения, на которых основываются их рассуждения.

Т. Рид

5.1. Построение вероятностных моделей для экспериментов с несчетным числом исходов

Рассмотрим эксперимент, пространство элементарных исходов которого

представляет собой область Ω в n-мерном евклидовом пространстве Rn (пример такого эксперимента: точку бросают наугад в область Ω). Предположим, что область Ω имеет меру Лебега m(Ω) (в случае n =1 — длина, n = 2 — площадь, n = 3 — объем). Рассмотрим σ –алгебру F всех подмножеств из Ω, имеющих меру Лебега. Если все точки Ω «одинаково возможны», т.е. попадание точки в подмножество Ω не зависит от его расположения и формы, а зависит только от его меры Лебега, то положим для каждого A F:

m(Ω)

Тогда (Ω,F,P) есть вероятностная модель рассматриваемого эксперимента.

В этом случае говорят, что имеют дело с геометрическими вероятностями. Свойства вероятности, определяемой соотношением (5.1):

1) 0 ≤ P(A)≤1;

44

Пример 5.1. (Задача о встрече). Предположим, что два лица А и В договорились встретиться между 11 и 12 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут и уходит. Найти вероятность встречи.

прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость наугад бросают иглу длиной 2l (l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет

какую-нибудь прямую.

Решение: пусть x — расстояние от центра К иглы до ближайшей прямой, а ϕ —

π φ

45

одинаково возможна. Игла пересечет прямую тогда и только тогда, когда выполнено условие x ≤ l sinϕ . Следовательно, множество элементарных исходов

благоприятных событию — «игла пересечет какую-нибудь прямую» имеет вид:

C ={(x,ϕ): 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ϕ ≤π, x ≤ l sinϕ}.

Таким образом, искомая вероятность равна

БЮФФОН, ЖОРЖ ЛУИ ЛЕКЛЕРК (Buffon, Georges-Louis Leclerc) (1707–1788), французский естествоиспытатель, популяризатор науки. Родился 7 сентября 1707 в Монбаре (Бургундия). Изучал юриспруденцию сначала в иезуитском коллеже в Дижоне, затем в Дижонском университете. Позднее учился на медицинском факультете университета Анже. Много путешествовал по Франции и Италии, иногда в обществе английского герцога Кингстона и его наставника Н.Хикмана.

Последний пробудил у Бюффона интерес к естествознанию.

В 1735 под эгидой Академии наук был опубликован сделанный Бюффоном перевод труда английского исследователя С.Гейлса Статика растений (Vegetable Staticks). В 1738 Бюффон закончил перевод сочинения Ньютона о методе «флюксий» (дифференциальном и интегральном исчислениях). В том же году был избран членом Лондонского королевского общества. В 1739–1788 был директором Ботанического сада в Париже. Умер Бюффон в Париже 16 апреля 1788. Считается, что именно его работы послужили толчком к развитию геометрических вероятностей.

5.2. Аксиомы теории вероятностей

Рассмотрим некоторый стохастический эксперимент. Пусть Ω — пространство элементарных событий. Предположим, что в Ω выделена система подмножеств F , являющаяся σ –алгеброй. Это означает, что:

46

Утверждения S.1, S.2, S.3, P.1, P.2, P.3 составляют систему аксиом теории вероятностей. В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А.Н. Колмогоровым.

"А. Н. Колмогоров принадлежит к числу тех математиков, у которых каждая работа в каждой области производит полную переоценку ценностей. Трудно найти математика в последних десятилетиях не просто такой широты, а с таким воздействием на математические вкусы и на развитие математики".

П. С. Александров

"Колмогоров был не просто ученый, он был глубокий мыслитель. Для него процесс постоянного поиска нового результата, метода, идеи был равносилен самой жизни".

Б. В. Гнеденко

Колмогоров Андрей Николаевич (1903–1987) — выдающийся советский математик. Великий русский ученый, один из крупнейших математиков 20-го столетия, достойно признанный едва ли не всеми авторитетными научными сообществами мира, - член Национальной академии наук США и американской Академии искусств и наук, член Нидерландской королевской академии наук и Академии наук Финляндии, член Академии наук Франции и Германской академии естествоиспытателей “Леопольдина”, член Международной академии истории наук и национальных академий Румынии, Венгрии и Польши, почетный член Королевского статистического общества Великобритании и Лондонского математического общества, почетный член Международного статистического института и Математического общества Индии, иностранный член Американского философского и Американского метеорологического обществ; лауреат самых почетных научных премий: премии П.Л.Чебышева и Н.И.Лобачевского Академии наук СССР, Международной премии Фонда Бальцана и Международной премии Фонда Вольфа, а также Ленинской и Государственной премий, награжденный семью орденами Ленина и золотой медалью Героя

Социалистического Труда - академик Андрей Николаевич Колмогоров сам себя называл “просто профессором Московского университета”. Академик А.Н Колмогоров внес значительный вклад в разработку конструктивной логики, занимался теорией приближений функций, функциональным анализом. Но наиболее важными его работами являются его работы по теории вероятностей. В 1929 году построил известную систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

47

Аксиомы теории вероятностей Лекция № 5

Тройка (Ω,F,P), где F есть σ –алгебра подмножеств из Ω, а

P() — вероятностная мера на F называется

Определение 5.1 вероятностным пространством. Говорят, что построена

вероятностная модель эксперимента, если построено вероятностное пространство (Ω,F,P).

5.3. Свойства вероятности

Вероятность события, противоположного событию A , равна

Теорема 5.1.

(5.2)

Доказательство. Поскольку A U A = Ω и A I A = , то по аксиоме P.3 P(A)+ P(A)= P(Ω), по аксиоме P.2 P(A)+ P(A)=1. Поэтому P(A)=1− P(A).

Следствие 5.1. Вероятность невозможного события равно 0. P( )= 0 .

ДействительноP(Ω)= P(Ω)=1− P(Ω)= 0 .

Замечание 5.1. Нельзя отождествлять невозможное событие и событие

нулевой вероятности.

Из последнего равенства непосредственно следует утверждение теоремы.

Следствие 5.2. Если A B , то P(A)≤ P(B). Действительно по аксиоме P.1 P(B \ A)≥ 0 , тогда из равенства (5.2) следует P(B)≥ P(A).

Следствие 5.3. Для каждого случайного события A P(A)≤1.

Действительно, для любого события A Ω. Поэтому P(A)≤ P(Ω)=1.

48