Лекции по ТВ и МС(ч.1)

9.Определить условия, при которых третий центральный момент биномиального распределения равен нулю.

10.Случайная величина ξ подчиняется бета распределению, то есть имеет

плотность распределения вероятностей

Найти начальный момент k –го порядка.

11.Выразить центральный момент µ(k ) через начальные моменты.

12.Выразить начальный момент m(k ) через центральные моменты и математическое ожидание.

13.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−π,π].

Найти:

15.Вероятность появления события A при одном опыте равна 0,4; оценить

спомощью неравенства Чебышева вероятность того, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах 0,3–0,5.

16.Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета равно 20. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным 0, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса будет более 50.

129

Лекция № 13

вероятностном пространстве (Ω,F, P). Величина ξk , k =1, m

называется k–ой координатой вектора ξ .

Так как ξk = fk (ω), здесь fk (ω) — F–измеримая действительная функция, то ξ = f (ω), где f (ω)= (f1(ω), f2 (ω),K, fm (ω)) — функция со значениями в Rm с

F–измеримыми координатами. Эта функция отображает пространство Ω в Rm .

Для каждого множества B из Rm положим

ξ−1(B)={ω : f (ω) B}.

130

I) F(x1, x2 ,K, xm ) суть неубывающая функция по каждому аргументу; II) F(x1, x2 ,K, xm ) — непрерывная слева функция по каждому аргументу;

III)lim F(x1, x2 ,K, xm )= 0 , k =1, m ;

xk →−∞

Как мы знаем, в одномерном случае перечисленные свойства являлись необходимыми и достаточными того, чтобы функция F(x) была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае необходимо дополнительное условие — условие согласованности.

Введем в рассмотрение конечно–разностный оператор ∆ih , действующий на функцию g(x) следующим образом:

131

Пример 13.1. Покажем, что требование V может быть не выполнено, несмотря на наличием у функции F(x1, x2 ,K, xm ) свойств I–IV. Пусть

Не трудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям I–IV, но для нее

И, следовательно, пятое требование не выполнено.

13.2. Дискретные распределения

Если случайный вектор ξ = (ξ1,ξ2 ,K,ξm ) принимает конечное или счетное число значений x1 = (x11,K, x1m ),K, xn = (x1n ,K, xmn ),K, то распределение этого вектора можно задать с помощью набора чисел pn = P{ξ = xn }.

Для любого множества B из Rm :

F(B)= P{ξ B}= ∑ pn .

x n B

13.3. Абсолютно непрерывные распределения

Случайный вектор ξ = (ξ1,ξ2 ,K,ξm ) называется абсолютно непрерывным, если существует борелевская функция f (x)

Определение 13.4 такая, что

F (x)= ∫−∞x1 K∫−∞xm f (u1,Kum )du1 Kdum .

Функция f (x) называется плотностью распределения F().

Рассмотрим случайный вектор ξ = (ξ1,ξ2 ,K,ξm ) с функцией распределения

Fξ (x) и наряду с ним «укороченный» вектор η = (ξ1,ξ2 ,K,ξs ), s < m . Связь между функциями распределениями случайных векторов ξ и η имеет вид:

Fη (x)= P{ξ1 < x1,K,ξs < xs }= P{ξ1 < x1,K,ξs < xs ,ξs +1 < +∞,K,ξm < +∞}= = Fξ (x1,K, xs ,+∞,K,+∞).

132

x x

=∫ K ∫ fη (u1,K,us )du1 Kdus ,

−∞ −∞1 s

здесь

Таким образом, в случае если вектор ξ обладает плотностью распределения вероятностей, то укороченный вектор также имеет плотность.

Вероятность абсолютно непрерывному вектору попасть в борелевское множество B равна:

P{ξ B}= ∫ f (x1,K, xm )dx1 Kdx2 .

133

маргинальных функций распределения случайных величин ξi , i =1, m :

F(x1, x2 ,K, xm )= F(x1 ) K F(xm ).

2. Если случайный вектор ξ = (ξ1,ξ2 ,K,ξm ) имеет абсолютно непрерывное

распределение с независимыми координатами, тогда совместное распределение вектора ξ равно произведению плотностей координат

f(x1, x2 ,K, xm )= fξ1 (x1 ) K fξ2 (xm ).

3.Если ξ1,ξ2 ,K,ξm — интегрируемые случайные величины, тогда

произведение ξ1ξ2 K ξm — также интегрируемая случайная величина, причем

Mξ1ξ2 K ξm = Mξ1 Mξ2 K Mξm .

При доказательстве ограничимся рассмотрением дискретных случайных

величин. Доказательство в общем случае лишь немногим сложнее и использует

свойства интеграла Лебега–Стилтьеса.

Пусть ξi (i =1, m)принимают значения yin . Тогда

= ∏m ∑yknk P{ξk = yknk }= Mξ1 Mξ2 K Mξm . k =1 nk

4. Если ξ1,ξ2 ,K,ξm — независимые случайные величины с конечными

дисперсиями, тогда

Действительно, используя метод математической индукции, имеем для n = 2

D(ξ +η)= M[(ξ +η)− M(ξ +η)]2 = M[(ξ − Mξ)+ M(η − Mη)]2 = = M(ξ − Mξ)2 + M(η − Mη)2 + 2 M(ξ − Mξ)(η − Mη)= Dξ + Dη.

134

13.5. Распределение функций от случайных величин

Пример 13.3. Пусть ξ и η независимые случайные величины с функциями распределения Fξ (x) и Fη (y) соответственно. Найти функцию распределенияFζ (z) величины ζ =ξ +η .

135

Пример 13.4. Найдем распределение суммы двух независимых случайных величин ξ и η, имеющих распределение Пуассона с параметрами λ1 и λ2 :

распределение Пуассона с параметрами λ1 и λ2 , распределена по закону Пуассона

Плотность случайной величины ξ +η , согласно формуле следствия 15.1, имеет

вид

+∞

для z ≤ 0 : fξ +η (z)= ∫ fξ (z − y)fη (y)dy = 0;

−∞

136

+∞

для z > 2: fξ +η (z)= ∫ fξ (z − y)fη (y)dy = 0.

−∞

Таким образом, сумма двух равномерно распределенных величин имеет, так называемое, треугольное распределение с плотностью:

Решение.

а) Пусть Fζ (z) — функция распределения случайной величины ζ . Тогда

Fζ (z)= P{ζ < z}= P{min{ξ,η}< z}=1− P{min{ξ,η}≥ z}=1− P{(ξ ≥ z)I(η ≥ z)}.

Так как случайные величины ξ и η независимы, то

Fζ (z)=1− P{ξ ≥ z}P{η ≥ z}=1−(1− P{ξ < z})(1− P{η < z}).

Таким образом,

Fζ (z)=1−(1− Fξ (z))(1− Fη (z)).

Из последнего соотношения, с учетом определения плотности распределения вероятностей случайной величины, следует

fζ (z)= Fζ′(z)= fξ (z)(1− Fη (z))+ fη (z)(1− Fξ (z))= λe−λz (1−e−λz )+ λe−λz (1−e−λz ).

Окончательно имеем

fζ (z)= 2λe−λz (1−e−λz ), z > 0 .

б) Пусть Fϕ (z) — функция распределения случайной величины ϕ . Тогда

Fϕ (z)= P{ϕ < z}= P{max{ξ,η}< z}= P{(ξ < z)I(η < z)}.

Из независимости случайных величинξ и η следует

Fϕ (z)= P{ξ < z}P{η < z}= Fξ (z)Fη (z)= (1−e−λz )2 , z > 0 .

137

Плотность же распределения вероятностей примет вид: fϕ (z)= 2e−λz (1−e−λz ), z > 0 .

13.6. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 97 — 102 , 214 — 220;

¾[3] – стр. 127 — 135.

13.7. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Случайный вектор. Распределение случайного вектора.

2.Независимость случайных величин. Свойства.

13.8. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9определения:

¾случайный вектор;

¾распределение случайного вектора;

¾функция распределения случайного вектора;

¾абсолютно непрерывный случайный вектор;

¾независимость случайных величин;

¾свертка функций распределения;

¾свертка плотностей;

9свойства:

¾функции распределения случайного вектора;

¾плотности распределения случайного вектора;

¾независимых случайных величин;

9теоремы:

¾о необходимых и достаточных условиях, которые необходимо наложить на произвольную функцию, чтобы она являлась функцией распределения некоторого случайного вектора;

138