Лекции по ТВ и МС(ч.1)

наступило событие B . Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез H1,K, Hn . Формулы Байеса и дают выражения для условных вероятностей

P(H1 B),K, P(Hn B) (называемых апостериорными вероятностями).

БАЙЕС (БЕЙЕС) ТОМАС (Bayes Tomas) (1702, Лондон, — 7.4.1761,

Танбридж) — английский математик, член Лондонского королевского общества (1742г.). Родился в Лондоне. Получил домашнее образование. Математические исследования Бейеса относятся к теории вероятностей. Поставил и решил одну из основных задач элементарной теории вероятностей (теорема Байеса). Соответствующая работа была опубликована в 1763г. Формула Байеса, позволяющая оценить вероятность событий эмпирическим путем, играет важную роль в современной теории вероятностей и математической статистике. Другая его работа "Очерки к решению проблемы доктрины шансов". Сохранилась терминология: байесовский подход к статистическим законам, бейесовская оценка решения и другие.

Пример 6.4. Некоторая деталь производится на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в n раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе ν1 , на втором — ν2 . Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

Решение: Пусть H1 — событие, состоящее в том, что деталь изготовлена на

6.4. Независимые случайные события

Пусть (Ω,F, P) — вероятностное пространство. Случайные

события A F и B F, наблюдаемые в данном эксперименте,

Определение 6 .3

называются независимыми, если

P(A IB)= P(A)P(B).

59

Пример 6.5. Монету бросают дважды. Пусть A — событие, состоящее в том, что первый раз выпал герб, B — событие, состоящее в том, что второй раз выпал герб. Тогда Ω ={ГГ, ГР, РГ, РР}, A ={ГГ, ГР}, B ={ГГ, РГ}, A I B ={ГГ}

и следовательно P(A I B)= P(A)P(B), т.е. события A и B независимы.

60

6.5. Свойства независимых событий

Пусть (Ω,F, P) — вероятностное пространство. Если

Теорема 6.5. случайные события A F и B F независимы, то события A

иB , A и B , A и B так же независимы.

Доказательство. Если мы покажем, что A иB независимы, мы тем самым докажем теорему полностью. Итак, из равенства A I B = A \ (A I B) следует

P(A IB)= P(A \ (A IB))= P(A)− P(A IB)=

= P(A)− P(A)P(B)= P(A)(1− P(B))= P(A)P(B).

P(A I(B1 UB2 ))= P(A IB1 )+ P(A IB2 )= P(A)P(B1 )+ P(A)P(B2 )=

= P(A1 )(P(B1 )+ P(B2 ))= P(A1 )P(B1 UB2 ).

Пусть (Ω,F, P) — вероятностное пространство. Случайные

P Irk=1 Bir = ∏rk=1 P(Bir ).

61

независимость в совокупности не следует.

Пример 6.7. (Пример Бернштейна) ([2] стр.48). Три грани тетраэдра окрашены соответственно в красный, зеленый, голубой цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Пусть событие К состоит в том, что при бросании тетраэдра на плоскость, выпала грань содержащая красный цвет, аналогично З, Г — зеленый, голубой. Вычислим соответствующие вероятности.

P(К)= P(Г)= P(З)= 24 = 12 .

P(К I Г)= P(К IЗ)= P(Г IЗ)= 24 = 12 .

Следовательно, события К, Г, З попарно независимы. В тоже время

P(К I Г IЗ)= 14 ≠ P(К)P(Г)P(З)= 18 ,

т.е. события не являются независимыми в совокупности.

БЕРНШТЕЙН СЕРГЕЙ НАТАНОВИЧ. Родился 5 марта 1880 года в г.Одессе; в 19 лет он окончил Парижский университет (Сорбонну), в 21 год

— Парижскую политехническую школу, в 1904 г. — доктор математических наук (Париж); профессор (1907 г.), доктор чистой математики (Харьков, 1914 г.); лауреат премий Бельгийской Академии наук (1911 г.), Парижской Академии наук (1920 г.), член Немецкого союза математиков (1926), Государственной премии СССР (1942 г.).

Член-корреспондент АН СССР (1924 г.), академик с 1929 г., академик АН УССР (1925 г.), иностранный член Парижской Академии наук с 1955 г., член зарубежных научных учреждений и обществ. Награжден двумя орденами Ленина (1945, 1953), орденом Трудового Красного Знамени (1944), а также медалями.

"Курс теории вероятностей" Бернштейна по отзывам весьма многих специалистов является выдающимся произведением мировой теоретико-вероятностной литературы. Этот курс написан Сергеем Натановичем Бернштейном на основе его собственной аксиоматики (первое

аксиоматическое построение теории вероятностей было выполнено Бернштейном еще в 1917 г.). Основные труды по теории дифференциальных уравнений, теории функций и теории вероятностей. В теории вероятностей продолжил и в некотором отношении завершил исследования петербургской школы Чебышева–Маркова по предельным теоремам, разработал теорию слабо зависимых величин, исследовал стохастические дифференциальные уравнения и указал на ряд применений вероятностных методов в физике, статистике и биологии.

6.6. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 42–48;

¾[3] – стр. 54–69,49-54;

62

¾[4] – стр. 35–43;

¾[5] – стр. 29-30.

6.7. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1.Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.

2.Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

3.Независимые события. Критерий независимости событий. Свойства независимых событий. Пример Бернштейна.

6.8. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾независимости событий;

¾полной группы событий;

¾условной вероятности событий;

¾независимости событий в совокупности;

9формулы:

¾полной вероятности;

¾Байеса;

9теоремы:

¾умножения вероятностей;

¾критерий независимости событий;

¾о свойствах независимых событий;

уметь:

9доказывать теоремы:

¾умножения вероятностей;

¾формулу полной вероятности;

¾формулы Байеса;

¾критерий независимости событий;

¾о свойствах независимых событий;

63

9решать задачи, используя:

¾формулу умножения вероятностей;

¾формулу полной вероятности;

¾формулы Байеса.

6.9. Задачи и упражнения

1. Привести примеры, показывающие, что вообще говоря, равенства

P(B A)+ P(B A)=1, P(B A)+ P(B A)=1

неверны.

2. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент времени t = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента t , испытывает столкновение в промежуток времени между t и t + ∆t , равна λ∆t + o(∆t). Найти вероятность того, что время свободного пробега (время между двумя соседними столкновениями) будет больше t .

3.Стрелок А поражает при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 0,6, стрелок В — с вероятностью 0,5 и стрелок С — с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет?

4.Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

5.Четыре охотника договорились стрелять по дичи: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания

вцель равна 0,6. Найти вероятность того, что будет:

а) один выстрел; б) два выстрела; в) три выстрела.

6.Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы вероятность появления хотя бы одной шестерки была более 0,5?

7.Из цифр 1; 2; 3; 4; 5 выбирается на удачу одна, а из остальных — вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана четная цифра:

64

а) первый раз; б) второй раз; в) оба раз.

8. Доказать что, если P(AB)> P(A), то и P(B A)> P(B).

9. Доказать, что если P(A)= a и P(B)= b , то P(A B)≥ a +b −1 . b

10.Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появится красный шар, то объявляется ничья.

Пусть А1={выигрывает игрок, начавший игру}, А2={выигрывает второй игрок}, В={игра закончилась в ничью}. Найти P{A1}, P{A2}, P{B}.

11.Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя, т.е. A и A независимы. Показать, что тогда P{A} равно 0 или1.

12.Пусть событие A таково, что P{A} равно 0 или 1. Показать, что A и

сигнал, поданный на «вход», будет получен на «выходе»? Какова условная

65

А5={ X1 + X 2 делится на 2},

А6={ X1 + X 2 делится на 3}.

Найти все пары {Ai , Aj }, тройки {Ai , Aj , Ak }и т.д. взаимно независимых событий.

15.В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

16.В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных, а во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну добавляются два шара, случайно выбранные из второй урны.

а) Нати вероятность того, что шар, выбранный из пополненной первой урны, будет белым.

б) Пусть из пополненной первой урны по схеме случайного выбора с возвращением извлекают k шаров. Найти вероятность того, что все они будут белыми.

17.В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течении месяца равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.

18.Отрезок [0, a] случайной точкой делится на две части, из которых

случайно выбирается одна часть. Обозначим η длину выбранной части. Найти

P{η ≤ x}, 0 ≤ x ≤ a предполагается, что координата ξ случайной точки равномерно распределена на отрезке [0, a] и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.

19. При переливании крови надо учитывать группы донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно

66

перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9% — третью и 7,9 — четвертую группы крови.

а) Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

б) Найти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются два донора, три донора.

20.Имеется пять урн. В 1–й, 2–й и 3–й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4–й и 5–й урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана 4–я или 5–я урна, если извлеченный шар оказался белым?

21.При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1− β . Вероятность принять

здорового человека за больного равна α . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна γ .

а) Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

б) Найти условную вероятность того, что человек болен, если он был признан здоровым при обследовании.

21.Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях из 10, а второй — в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают правильную монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Он видит, что цель поражена. Какова вероятность того, что стрелял:

а) первый стрелок; б) второй стрелок?

22.Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятность безотказной работы в течении промежутка времени T для этих блоков соответственно равны p1 и p2 .

Прибор испытывался время T и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок, второй блок, оба блока.

67

Лекция № 7

конечное число событий из данной последовательности. Для этого полезна следующая теорема.

1 Кантели Франческо Паоло (1875–?) — итальянский математик. Основные труды по математической статистике.

68