Лекции по ТВ и МС(ч.1)

соотношение (7.1) доказано.

б) Рассмотрим событие lim An . Его можно записать так:

n→∞

здесь использовано известное из курса математического анализа неравенство

1+ x ≤ ex . Теорема доказана.

БОРЕЛЬ ФЕЛИКС ЭДУАРД ЖЮСТЕН ЭМИЛЬ (Borel Félix Édouard Justin Émile) родился 7 января 1871 года в Сент-Африке (департамент Авейрон). Его отец, пастор, дал ему хорошее образование. Эмиль учился в Высшей нормальной школе (L'Ecole Normale Superieure), потом слушал лекции Гастона Дабру и Анри Пуанкре в College de France и одновременно обучался в Сорбонне, где в 1884 году получил докторскую степень. В 1893-96 гг –профессор Лильского университета, в 1897–1920 — профессор (а в 1911 –1920 - также директор) L'Ecole Normale Superieure. С 1909 по 1941 год Борель был профессором Сорбоны и с 1927 по 1941 гг — директором института им. Анри Пуанкаре. С 1921 года - член Парижской АН, а с 1934 г - ее президент. С 1929 года — иностранный член-корреспондент АН СССР. Именем Эмиля Бореля назван кратер на обратной стороне Луны. Умер Борель Феликс Эдуард Жюстен Эмиль 3 февраля 1956 года. Биография Эмиля Бореля, как правило, начинается со слов: "Французский математик и политик". Действительно, хотя Борель был, прежде всего, математиком, он с большим успехом выступил на политической арене. Борель до конца жизни оставался мэром Сент Африк (департамент Авейрон). Он состоял также генеральным советником департамента Авейрон. Борель

состоял министром морского флота в двух правительствах Пенлеве. Кроме научного таланта, Борель отличался педагогическими и организаторскими способностями. Читая в лекции в Лилле, в Ecole Normale Superieure и Сорбонне, он одновременно состоял директором школы, а после основания Института имени Анри Пуанкаре, с 1927 года стал также директором этого Института. Кроме математики в науке Борель интересовался также физико–философскими проблемами. Особенно большой вклад внес Борель в философию точных наук. Его математические работы относятся в основном к теории вероятностей и теории функций. Большинство своих работ Борель посвятил именно этим отраслям математики. Достаточно здесь упомянуть такие работы, как "Le hasard" («Случай») и "Monographies sur la theorie des Fonctions" («Собрание монографий по теории функций»). Работая с 1911 года почти исключительно над проблемами теории вероятностей, он ввел в эту отрасль математики новые и плодотворные понятия (многие из которых носят его имя), получил многочисленные и важные результаты (например, закон больших чисел); Борель стал создателем современной французской школы теории вероятностей. Достижения Бореля были высоко оценены как во Франции, так и за ее рубежами. Он был избран на пост председателя Французской Академии Наук и стал членом многочисленных иностранных академий, а также почетным доктором многих университетов

69

Последовательность независимых событий Лекция № 7

Замечание 7.1. Утверждение а) теоремы было доказано без использования

независимости событий {An }∞n=1 , следовательно оно верно для любой последовательности событий. Оно также носит название леммы Бореля-Кантели.

Однако доказательство можно найти, например, в [4] стр. 407, [5] стр. 40-41.

7.2. Испытания Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей.

Представим себе испытание с двумя возможными исходами: A и A , где A

означает успех, а A — неудачу. Примером может служить эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты.

ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (Bernoulli Jacob) (27.12.1654, Базель, – 16.8.1705, там же),

профессор математики Базельского университета (1687). Ознакомившись в этом же году с первым мемуаром Г. Лейбница по дифференциальному исчислению (1684), Бернулли вскоре блестяще применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых. Совместно с братом Иоганном положил начало вариационному исчислению. При этом особое значение имели выдвинутая и частью решенная Якобом Бернулли изопериметрическая задача и найденное им решение поставленной Иоганном Бернулли задачи о брахистохроне (кривой, по которой тело перемещается в поле тяжести). В “Искусстве предположений” в 1713 доказал важный частный случай закона больших чисел. Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В.Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А.Маркова.

В связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел открыл числа Бернулли. Работал также в области физики (определение центра качания тел и сопротивления тел различной формы, движущихся в жидкости).

70

вероятности Bp (n,m) возрастают. Если же m > (n +1)p , то Bp (n, m) < Bp (n, m -1) , с

ростом m вероятности Bp (n,m) убывают. Пусть k =[(n +1)p] – наибольшее целое

Таким образом мы доказали следующее утверждение.

Пусть (n +1)p — не целое число. Тогда с изменением m от 0

до n, вероятность Bp (n,m) сначала монотонно возрастает, а

затем монотонно убывает, достигая наибольшего значения

Теорема 7.4.

при m =[(n +1)p]. Если k = (n +1)p — целое число, то

Bp (n,m −1)= Bp (n,m) и при m < k −1 вероятность монотонно возрастает, а при m > k монотонно убывает.

Пример 7.1. Рабочий обслуживает 5 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение промежутка времени T равна 1/3. Чему равна вероятность того, что:

а) 3 станка за время T потребуют внимания рабочего;

б) число потребовавших внимания станков находится в интервале между 2 и 4 (включая границы);

в) найти наиболее вероятное число станков, которые потребуют внимания.

или так же искомая вероятность равна 1− B1 3 (5,0)+ B1 3 (5,1)+ B1 3 (5,5)

в) так как (n +1)p = (5 +1) 13 = 2 — целое число, то m1 =1 m2 = 2 .

72

и в каждом из них событие Ak происходит с вероятностью pk . Немного изменив рассуждения предыдущего пункта, нетрудно получить, что вероятность того, что в n независимых испытаниях появится m1 событий A1 , m2 событий A2 , …, mk

событий Ak , равна

через четыре шага оказалась в исходной точке необходимо выполнение условия: m1 = m2 . Таким образом, искомая вероятность равна

Π1 4,1 4,1 2 (4;0,0,4)+ Π1 4,1 4,1 2 (4;1,1,2)+ Π1 4,1 4,1 2 (4;2,2,0)=

73

7.4. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 59 — 41, 14—150;

¾[3] – стр. 72 — 77;

¾[4] – стр. 272—273;

¾[5] – стр. 38 — 42.

7.5. Теоретические вопросы выносимые на экзамен:

1.Теорема Бореля-Кантели. Закон 0 или 1 Колмогорова.

2.Биномиальное распределение вероятностей. Наиболее вероятное число успехов.

7.6. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾верхний предел последовательности событий;

¾нижний предел последовательности событий;

¾алгебра событий;

¾независимость алгебр событий;

¾схема испытаний Бернулли;

¾биномиальное распределение вероятностей;

¾полиномиальное распределение вероятностей;

9формулы:

¾биномиального распределения вероятностей;

¾полиномиального распределения вероятностей;

¾наиболее вероятного числа успехов в схеме Бернулли;

9теоремы:

¾Бореля-Кантели;

¾закон 0 или 1 Колмогорова;

¾о биномиальных вероятностях;

¾о наиболее вероятном значении в схеме испытаний Бернулли;

74

уметь:

9доказывать теоремы:

¾Бореля-Кантели;

¾закон 0 или 1 Колмогорова;

¾о биномиальных вероятностях;

¾о наиболее вероятном значении в схеме испытаний Бернулли;

9решать задач:

¾используя биномиальный и полиномиальный наборы вероятностей;

¾находить наиболее вероятные значения в схеме испытаний Бернулли.

7.7. Задачи и упражнения

1.Для некоторого баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Произведено 6 бросков. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания. Найти наиболее вероятное число попаданий и соответствующую вероятность.

2.Что вероятнее выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле p = 0,2 . Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 поразить мишень?

4.Сколько испытаний Бернулли потребуется для того, чтобы сделать вероятность хотя бы одного успеха в серии не менее ½, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1?

5.Каждый из 9 шаров с одинаковой вероятностью может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что

а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало 4 шара, в другой — три, а в оставшийся — два шара.

75

вероятность того, что цель поражена, если произведено n выстрелов?

7. В схеме Бернулли p — вероятность исхода 1 и q =1− p — вероятность исхода 0. Найти вероятность того, что:

а) цепочка 00, состоящая из двух нулей подряд, появится раньше цепочки

01;

б) цепочка 00, состоящая из двух нулей подряд, появится раньше цепочки

10;

в) цепочка 00, состоящая из двух нулей подряд, появится раньше цепочки

111.

Вчастности, вычислить эти вероятности при p =12.

8.Двое стрелков ведут огонь по одной цели, вероятность поразить цель первым игроком равна 13, для второго стрелка соответствующая вероятность

равна 23. Выигрывает тот, кто первым поразит цель. Найти вероятность событий:

а) игра закончится до четвертого выстрела; б) выигрывает первый стрелок; в) выигрывает второй стрелок.

9. При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью p1 , полностью ломается с вероятностью p2 , получает серьезное повреждение с вероятностью p3 ( p1 + p2 + p3 =1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении n порогов байдарка не будет полностью сломана.

10. Испытания в полиномиальной схеме с исходами 1, 2, 3, имеющими вероятности p1 , p2 , p3 соответственно, заканчиваются, когда впервые не появится исход 3. Найти вероятность того, что испытания закончится исходом 1.

11. Игрок А подбрасывает три игральные кости, а игрок В — две кости. Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадения «6»

76

хотя бы на одной кости. Найти вероятности событий: а) А={впервые «6» появилось у игрока А, а не В}; б) В={впервые «6» появилось у игрока В, а не А};

в) С={впервые «6» появилось одновременно у А и В}.

12.Проведено 10 независимых испытаний, каждое из которых заключается

водновременном подбрасывании четырех монет. Найти вероятности того, что

а) ровно в одном испытании появятся три решки; б) хотя бы в одном испытании появятся три решки; в) ни в одном испытании не появятся три решки.

13. Каждую секунду с вероятностью p независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможность перехода а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?

14.Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а игрок В — 2 кости. Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадения «1» хотя бы на одной кости. Найти вероятность событий: впервые «1» появится у игрока А, впервые «1» появится одновременно у игроков А и В.

15.Определить вероятность повторного голосования при выборе l человек, если голосуют n человек; вероятность быть вычеркнутым для каждого из k кандидатов одинакова и равна p , а для выбора кандидата необходимо получить

большинство голосов. Повторное голосование производится в том случае, если будет равное число голосов у l –го и (l +1)–го кандидатов (по числу полученных

голосов).

16.Бросают две монеты. Определить вероятность того, что равное количество решек будет при k –ом испытании, но не раньше.

17.Независимые испытания проводятся до тех пор, пока не будет серии из m появлений события A . Определить вероятность того, что для этого придется

провести n испытаний, если вероятность появления события A в каждом испытании равна p .

77

Лекция № 8

Асимптотические представления для

m=k1

8.1. Локальная теорема Муавра–Лапласа

то в условиях теоремы числа m и n − m возрастают до бесконечности вместе с n , если xn,m остается в каком-либо ограниченном отрезке, поскольку

78