Лекции по ТВ и МС(ч.1)

По определению факториала числа 0! =1. Доказательство теоремы 2.4.

Воспользуемся результатом теоремы 2.2. На первое место можно поставить любой из элементов. После заполнения первого места на второе место можно поставить любой из оставшихся (n -1) элементов и т.д. По правилу умножения все n мест можно заполнить n(n −1) K 2 1 = n! способами. Теорема доказана.

Упорядоченные k–элементные подмножества множества из n

элементов называются размещениями из n элементов по k.

Доказательство. Число всех k–элементных подмножеств множества из n

элементов равно Cnk . Каждое из них можно упорядочить k! способами. Таким образом, получим все упорядоченные k–элементные подмножества. Следовательно

{1,2,3,K,2n} так, чтобы каждое чётное число имело чётный номер?

20

Решение: чётные числа можно расставить на местах с чётными номерами (таких мест n ) n! способами; каждому способу размещения чётных чисел на местах с чётными номерами соответствует n! способов размещения нечётных чисел по местам с нечётными номерами. Поэтому общее число перестановок указанного типа по основному правилу комбинаторики равно n! n!= (n!)2 .

Пример 2.5. Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: искомое число способов равно числу 4-х элементных упорядоченных подмножеств множества дней сдачи экзаменов (множества из 8 элементов), т.е.

А84 = 84!! = 5 * 6 * 7 * 8 =1680 способов.

2.4. Соединения с повторениями

Числа Cn (k1, k2 ,K, km ) называются полиномиальными коэффициентами.

21

Элементы комбинаторики Лекция № 2

Сочетаниями с повторениями из m элементов по n

Определение 2 .7 элементов называют группы, содержащие n элементов, причём каждый элемент принадлежит одному из m типов.

Число сочетаний с повторениями из m элементов по n равно

fmn = Cmm+−n1−1 = Cmn +n−1 .

Доказательство. Каждое соединение будет полностью определено, если указать сколько элементов каждого из m типов в него входит. Поставим в соответствие каждому сочетанию последовательность из нулей и единиц по следующему принципу: напишем подряд столько нулей, сколько элементов первого типа входит в сочетание, далее поставим единицу и после неё напишем столько нулей, сколько элементов второго типа содержит сочетание и т.д.:

100010011001000000000001.

1444442444443

n+m−1 элемент

Таким образом, каждому сочетанию из m по n с повторением соответствует последовательность из n нулей и m-1 единицы и, наоборот, по каждой такой последовательности однозначно восстанавливается такое сочетание. Поэтому

fmn = Cmm+−n1−1 = Cmn +n−1

Пример 2.6. Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трём комнатам: одноместной, трёхместной, четырёхместной?

Решение: согласно теореме 2.6 С8 (1,3,4)= 1!38!!4! = 280 .

Пример 2.7. Кости домино можно рассматривать как сочетание с повторениями по 2 из 7 цифр 0,1,2,3,4,5,6. Число таких сочетаний

2.5. Пример на применение комбинаторных формул

Рассмотрим ещё несколько комбинаторных примеров, имеющих применение в теории вероятностей.

Пример 2.8. Сколькими способами можно разместить m частиц по n ячейкам. Рассмотрим случаи:

22

Лекция № 2 Элементы комбинаторики

а) различимые частицы, не подчиняющиеся принципу запрета Паули (в каждую ячейку может попасть больше одной частицы);

б) неразличимые частицы, не подчиняющиеся принципу запрета Паули; в) различимые частицы, подчиняющиеся принципу запрета Паули; г) неразличимые частицы подчиняющиеся принципу запрета Паули.

Решение: а) Для каждой частицы существует n вариантов размещения,

поэтому, согласно основному правилу комбинаторики, искомое число равно nm . В статистической физике говорят, что такие частицы удовлетворяют статистике

Максвела-Больцмана.

б) Так как частицы неразличимы, то в этом случае нас интересует только, сколько частичек в каждой ячейке. Пусть в первой ячейке находится k1 частиц, во второй — k2 , …, в n–й — kn частиц, причём k1 + k2 +K+ kn = m . Выбор будет однозначен, если мы определим k1, k2 ,K, kn . Таким образом, в данном случае существует взаимно однозначное соответствие между количеством размещений неразличимых частиц, не подчиняющихся запрету Паули, и количеством

сочетаний с повторениями из n элементов по m. Искомое число f m = Cm+ − . В

n n m 1

статистической физике говорят, что имеют дело со статистикой Бозе-Энштейна. Известно, что фотоны, пи-мезоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

в) ( m ≤ n ). Перенумеруем ячейки от 1 до n, частицы от 1 до m. Поставим в соответствие каждой частице номер ячейки, в которую она попала, получим размещение из m элементов по n. Искомое число в данном случае Аmn .

г) ( m ≤ n ). Так как частицы неразличимы, то индексируются только номера ячеек. Нас интересуют ячейки, в которые попали частицы без учета порядка этих номеров. Каждому выбору будет соответствовать сочетание из m элементов по n.

Искомое число Сnm .Данное распределение называют статистикой Ферми–Дирака.

Известно, что ей подчиняются электроны, протоны, нейтроны. Обобщим ответы последней задачи в следующей таблице.

23

2.8 В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾основной принцип комбинаторики;

¾сочетания без повторений;

¾упорядоченного множества;

¾перестановок;

¾размещения без повторений;

¾перестановок с повторениями;

¾сочетания с повторениями;

¾задачи размещения частиц по ячейкам;

9формулы:

¾основной принцип комбинаторики;

¾количество сочетаний без повторений;

¾количество перестановок;

¾количество размещений без повторений;

¾количество перестановок с повторениями;

¾количество сочетаний с повторениями;

уметь:

9доказывать теоремы:

¾основной принцип комбинаторики;

¾о количестве сочетаний без повторений;

¾о количестве перестановок;

¾о количестве размещений без повторений;

¾о количестве перестановок с повторениями;

¾о количестве сочетаний с повторениями;

9решать комбинаторные задачи с использованием формул.

25

2.9 Задачи и упражнения.

1.Сколькими различными способами можно рассадить 11 человек за прямым столом?

2.Сколькими различными способами можно рассадить 11 человек за круглым столом?

3.Среди 10 человек двое рыжих. Сколькими способами их можно построить в шеренгу, чтобы они (рыжие) не стояли рядом?

4.Шесть книг, среди которых трехтомник А.С. Пушкина, ставят на полку. Сколькими способами это можно сделать так, что бы книги трехтомника стояли рядом в любом порядке?

5.m студентов располагают в ряд так, что бы между двумя определенными студентами находились r человек. Сколько различных расположений существует?

6.За стол рассаживаются 5 девушек и 6 юношей. Сколькими способами это можно сделать так, что бы ни какие две девушки не сидели рядом?

7.Из колоды в 52 карты вытаскивают 6 карт. Сколько существует различных наборов, в которых:

а) есть хотя бы один король? б) все карты одинаковой масти?

в) 3 черных карты и 3 красных карты? г) не ни одного туза?

д) карты можно расположить подряд в порядке их наименований без учета масти?

8.Для участия в чемпионате 2n команд делят на две группы. Сколькими способами можно выполнить деление, что бы

а) две наиболее сильные команды попали в разные группы?

б) четыре наиболее сильные команды попали в разные группы по две в каждую?

9.В чемпионате играют n команд, каждая команда играет с другой по одной игре. Сколько игр будет сыграно?

10.Код некоторого замка состоит из 6 цифр. Сколько существует разных

26

кодов, таких что:

а) все цифры одинаковые? б) все цифры различные?

в) существует одна и только одна пара одинаковых цифр? г) три различные пары одинаковых цифр?

д) существует одна и только одна тройка одинаковых цифр? е) две различные тройки одинаковых цифр?

11.Есть три вагона и 10 человек. Сколькими способами их можно рассадить по вагонам?

12.В гости пришли 10 человек в калошах. Когда они шли домой, каждый взял себе по 2 калоши. Сколькими способами это можно сделать? А если каждый взял себе одну правую и одну левую?

13.Сколькими способами можно разложить 8 белых, 5 зеленых и 11 черных шаров можно разложить в 4 коробки?

14.Сколько различных решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение: x0 + x1 +K+ x9 = 23 ?

15.Сколькими способами можно из 28 костей домино можно выбрать две так, что бы их можно было приставить одинаковыми половинами.

16.На выпускном вечере присутствуют 16 девушек и 20 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них пару для танца? Три пары одновременно?

17.Имеется 10 белых, 12 зеленых и 9 синих шаров. Сколькими способами их можно разложить по трем урнам, так, что бы в каждой урне было не менее трех шаров каждого цвета.

18.Каким количеством способов можно за k дней сдать n экзаменов? Рассмотреть случаи:

а) количество экзаменов, которые можно сдать за один день неограничено; б) в один день можно сдать только один экзамен (k ≥ n);

в) за один день разрешено сдавать только один экзамен, а на подготовку необходим хотя бы один день (k ≥ n −1).

27