Лекции по ТВ и МС(ч.1)

Лекция № 1 Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Пусть А — некоторое наблюдаемое в данном стохастическом эксперименте событие. Поскольку каждое элементарное событие ω дает полную информацию о результате эксперимента, то зная, что результат эксперимента описывается точкой ω , всегда можно сказать, произошло событие А или нет. Таким образом, по отношению к событию А все пространство элементарных исходов Ω можно разбить на два дополнительных множества M A и M A ( M A Ω, M A Ω,

M A UM A = Ω, M A IM A = ) так что, если результат эксперимента описывается точкой ω из множества M A , то событие А в этом эксперименте произошло, если

ω M A , то событие А не произошло.

Как известно, для множеств определено отношение порядка, и над ними можно производить определенные алгебраические операции. Проанализируем

9

содержательное значение этих понятий в том случае, когда подмножества некоторого множества Ω интерпретируются как события, наблюдаемые в некотором эксперименте.

Само множество Ω, рассматриваемое как событие, характеризуется тем, что в результате эксперимента оно необходимо происходит.

Определение 1.6 Множество Ω называют достоверным событием.

Подмножеством любого множества Ω считается пустое множество Ø, не содержащее ни одной точки Ω, это событие, которое в эксперименте никогда не может произойти.

происходит или событие А, или событие В.

Аналогичный смысл имеет сумма любого числа событий. Свойства суммы событий: а) A U = A ; б) A UΩ = Ω.

тогда и только тогда, когда происходит событие А и событие В одновременно (все события Ai , i I ).

Свойства произведения: а) A I = ; б) A IΩ = A .

Событие A I B можно трактовать как точную нижнюю грань множеств А и В в том смысле, что A IB A и A IB B а, если C A IB , то и С А, и С В.

10

¾нижнего предела последовательности событий;

¾предела последовательности событий.

1.8 Задачи и упражнения

1.Монету подбрасывают дважды. Событие А заключается в следующем: на видимой стороне монеты по крайней мере один раз появится решка, В — решка появится раз и только раз, С — при первом подбрасывании появится герб. Описать:

а) пространство элементарных исходов Ω; б) событие А; в) событие В; г) событие С.

2.Игральная кость подбрасывается дважды. Событие А заключается в следующем: на верхней грани по крайней мере один раз выпало количество очков равное шести, В — сумма очков, которые появились, равна 7, С — выпали «двойка» и «шестерка».

Описать:

а) пространство элементарных исходов Ω; б) событие А; в) событие В; г) событие С.

3.В урне находятся 6 шаров: 1 — зеленый, 2 — красных и 3 — синих. Из урны извлекаются 3 шара. Пусть событие А состоит в следующем: среди извлеченных шаров по край мере 2 разного цвета, В — все шары разного цвета, С

—все шары одинакового цвета. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

14

4. Из колоды карт (36 штук) извлекаются две карты. Пусть событие А состоит в том, что извлечен по крайней мере один туз, В — обе карты одной масти, С — карты разного цвета. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

5.Из коробки извлекаются две кости домино. Пусть событие А состоит в том, что извлечен дубль, В — появилась хотя бы одна шестерка, С — на каждой кости появилась хотя бы одна шестерка. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

6.Пусть А, В, С три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

а) произошло только А; б) произошли А и В, но не произошло С;

в) все три события произошли; г) произошло, по крайней мере, одно из событий;

д) произошло одно и только одно из событий; е) ни одно из событий не произошло; ж) произошло не больше двух событий; з) прозошло два и только два события.

7.Пусть событие А — появление четного числа очков при бросании игральной кости, В — появление двух очков при однократном подбрасывании игральной кости, С — появление не более трех очков. Описать словесно события:

A I B IC , A IB , A \ B , A UC , B IC , C \ B .

15

9. Упростить выражения:

а) (A UB)I(A U B ),

б) (A UB)I(A UB )I(A UB),

в) (A IB IC ID )U(A IC)U(B IC)U(C ∩ D). 10. Доказать равенство:

а) A \ B = A \ (A IB)= (A UB)\ B ;

б) A I(B \ C)= (A IB)\ (A IC);

в) (A \ C)I(B \ C)= (A IB)\ C ;

г) (A \ B)\ C = (A \ C)\ (B \ C);

д) A I B IC = A U(B \ A)U(C \ (A UB)).

11. Докажите, что если одновременно выполнены соотношения

A UB = Ω и A IB = ,

тогда

B = A .

12.Из 100 студентов владеют английским языком 28, немецким — 30, французским — 42, немецким и французским —30, английским и немецким — 10, английским и французским —5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из перечисленных языков?

13.В классе 45 учеников. Из них 25 юношей, 30 учатся на «хорошо» и «отлично», спортсменов — 28. Юношей, которые учатся на «хорошо» и «отлично» — 16. Юношей, которые занимаются спортом — 18. Спортсменов, которые учатся на «хорошо» и «отлично» — 17. Юношей, которые одновременно учатся на «хорошо» и «отлично» и одновременно занимаются спортом — 15. Может ли эта информация быть правдивой? И почему.

16