Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по ТВ и МС(ч.1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Лекция № 1 Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Пусть А — некоторое наблюдаемое в данном стохастическом эксперименте событие. Поскольку каждое элементарное событие ω дает полную информацию о результате эксперимента, то зная, что результат эксперимента описывается точкой ω , всегда можно сказать, произошло событие А или нет. Таким образом, по отношению к событию А все пространство элементарных исходов Ω можно разбить на два дополнительных множества M A и M A ( M A Ω, M A Ω,

M A UM A = Ω, M A IM A = ) так что, если результат эксперимента описывается точкой ω из множества M A , то событие А в этом эксперименте произошло, если

ω M A , то событие А не произошло.

Определение 1.4	Точки	ω	из множества	M A	называют элементарными
	событиями, благоприятствующими событию А.

Следующий этап в построении теоретико-множественной модели теории
вероятностей состоит в отождествлении события А и множества M A , A ≡ M A .
	Наблюдаемое событие А в данном стохастическом
Определение 1.5	эксперименте — это некоторое подмножество Ω,
	состоящее		из всех точек	ω — элементарных событий,
	которые благоприятствуют событию А.
Пример 1.10. Пусть монету бросают дважды и А – событие, состоящее в том,
что хотя бы один раз появится герб. Тогда A ={ГГ, РГ, ГР}, Ω ={ГГ, РГ, ГР, РР}.
Пример 1.11. (продолжение примера 1.8) Рассмотрим
задачу о встрече. Предположим, что каждое из лиц А и В
ожидает другого время не большее чем t, 0 < t <T . Пусть
С – событие состоящее в том, что встреча состоится.
Тогда
Ω ={(x, y): 0 ≤ x, y ≤T}, C = {(x, y): 0 ≤ x, y ≤T; x − y ≤ t}.
1.3 Исчисление событий

Как известно, для множеств определено отношение порядка, и над ними можно производить определенные алгебраические операции. Проанализируем

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Лекция № 1

содержательное значение этих понятий в том случае, когда подмножества некоторого множества Ω интерпретируются как события, наблюдаемые в некотором эксперименте.

Само множество Ω, рассматриваемое как событие, характеризуется тем, что в результате эксперимента оно необходимо происходит.

Определение 1.6 Множество Ω называют достоверным событием.

Подмножеством любого множества Ω считается пустое множество Ø, не содержащее ни одной точки Ω, это событие, которое в эксперименте никогда не может произойти.

Определение 1.7	Множество Ø называют невозможным событием.
Определение 1.8	Говорят, что событие А влечет за собой событие В ( A B ) в


	том случае, когда: если происходит событие А, то событие В
	также происходит.
	Суммой	двух событий	А и В называют событие	A U B

Определение 1.9	(A + B),	происходящее	тогда и только тогда,	когда

происходит или событие А, или событие В.

Аналогичный смысл имеет сумма любого числа событий. Свойства суммы событий: а) A U = A ; б) A UΩ = Ω.

Событие	A U B играет роль точной верхней грани событий А и В, в том
смысле, что	A A UB ; B A UB , если	С таково, что	A C	и B C , то
A UB C .
	Произведением (совмещением) двух (любого числа) событий
	называется событие	A I B ( IAi ),	которое	происходит
Определение 1.10		i I
Определение 1.10

тогда и только тогда, когда происходит событие А и событие В одновременно (все события Ai , i I ).

Свойства произведения: а) A I = ; б) A IΩ = A .

Событие A I B можно трактовать как точную нижнюю грань множеств А и В в том смысле, что A IB A и A IB B а, если C A IB , то и С А, и С В.

Лекция № 1

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Сумма и произведение событий связаны свойствами дистрибутивности: если А, В и С, наблюдаемые в данном стохастическом эксперименте случайные

события, тогда

Определение 1.11

Определение 1.12

A I(B UC)= (A IB)U(A IC),

A U(B IC)= (A UB)I(A UC).

Два события называются несовместимым, или дизъюнктивным, если их произведение есть событие невозможное: A I B = .

Последовательность событий Ai (конечная или бесконечная)

называется дизъюнктивной, если каждая пара из них является несовместимой: Ai I Aj = , для всех i и j (i ≠ j).

Противоположным к событию A называется событие

Определение 1.13

происходящее тогда и только тогда, когда событие

не

происходит.

Свойства противоположных событий:

а) A U

= Ω; б) A I

= А; в)

= A .

Определение 1.14

Разностью событий

A и B называется событие

A \ B ,

происходящее тогда

и только тогда, когда происходит

событие А, но не происходит В.

Свойства разности

событий: а)

= Ω \ A ;

б) A \ B = A I

Пусть{A}∞n=1 — бесконечная последовательность событий An Ω . Обозначим

через A* — событие состоящее, в том, что произойдет бесконечное число

∞ ∞

событий из последовательности {Аn}. Нетрудно заметить, что A* = IUAm .

n=1m=n

Действительно, если ω A* , то есть ω принадлежит бесконечному числу

∞	∞ ∞
событий Am , значит для любого n ω UAm	и следовтельно ω IUAm .
m=n	n=1m=n

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.	Лекция № 1
∞ ∞	∞

Наоборот, если ω IUAm , то для любого n ω UAm и следовательно ω A* .

n=1m=n m=n

				∞ ∞
	Событие			A* = IUAm	называют верхним пределом
				n=1 m=n
Определение 1.15	последовательности				событий	{A}∞	,	обозначают
						n=1
	A* =		A .
	A* =	lim	A .
	n→∞			n

Пусть A* — событие состоящее, в том, что произойдут все события Аn за

∞ ∞

исключением конечного числа. Тогда A* = UIAm .

n=1m=n

	*	=	∞ ∞	m	называют нижним			пределом
	*		UI	m
	Событие A			A
			n=1m=n
Определение 1.16	последовательности			{A}∞		, обозначают	A ,	обозначают
				n=1			*
	A* = lim An
	n→∞

Определение 1.17

Определение 1.18

Если {A}∞=

n 1


Если		A* = A		(		A	= lim A ), то		говорят,	что
					lim
	*			n→∞ n			n→∞	n
последовательность					событий			{A}∞n=1	имеет	предел
lim A =			A = lim A .
		lim
n→∞ n	n→∞ n			n→∞	n

Последовательность событий {A}∞n=1 называется монотонно убывающей, если выполнено A1 A2 A3 ... An An+1 L.

бесконечно убывающая последовательность событий, тогда

A* =

∞ ∞

∞

∞ ∞

∞

lim

An = IUAm = IAn

и A* = lim An = UIAm = IAn .

n→∞

n=1m=n

n=1

n→∞

n=1m=n

n=1

∞

Следовательно lim An =

lim

An = lim An = IAn .

n→∞

n=1

Определение 1.19

Последовательность событий {A}∞n=1 называется монотонно

возрастающей, если выполнено A1 A2 ... An An+1 L.

Если {A}∞n=1

бесконечно возрастающая последовательность событий, тогда

Лекция № 1

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

∞ ∞ ∞

A* = lim An = IUAm = UAn ,
n→∞	n=1m=n n=1

Следовательно lim An = lim Аn

n→∞ n→∞

∞ ∞ ∞

A* = lim An = UIAm = UAn .

n→∞ n=1m=n n=1

∞

= lim An = UAn .

n→∞ n=1

Таким образом, монотонная последовательность событий имеет предел.

1.5 Рекомендуется изучить самостоятельно

¾[2] – стр. 3-9;

¾[3] – стр. 16-26;

¾[4] – стр. 21-24;

¾[5] – стр. 5-12.

1.6 Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1. Пространство элементарных исходов. Исчисление событий.

1.7 В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9понятия:

¾стохастического эксперимента;

¾пространства элементарных событий;

¾случайного события;

¾произведения событий;

¾суммы событий;

¾противоположного события;

¾дизъюнктивных событий;

¾разности событий;

¾несовместных событий;

¾достоверного события;

¾невозможного события;

¾верхнего предела последовательности событий;

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Лекция № 1

¾нижнего предела последовательности событий;

¾предела последовательности событий.

1.8 Задачи и упражнения

1.Монету подбрасывают дважды. Событие А заключается в следующем: на видимой стороне монеты по крайней мере один раз появится решка, В — решка появится раз и только раз, С — при первом подбрасывании появится герб. Описать:

а) пространство элементарных исходов Ω; б) событие А; в) событие В; г) событие С.

2.Игральная кость подбрасывается дважды. Событие А заключается в следующем: на верхней грани по крайней мере один раз выпало количество очков равное шести, В — сумма очков, которые появились, равна 7, С — выпали «двойка» и «шестерка».

Описать:

а) пространство элементарных исходов Ω; б) событие А; в) событие В; г) событие С.

3.В урне находятся 6 шаров: 1 — зеленый, 2 — красных и 3 — синих. Из урны извлекаются 3 шара. Пусть событие А состоит в следующем: среди извлеченных шаров по край мере 2 разного цвета, В — все шары разного цвета, С

—все шары одинакового цвета. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

Лекция № 1

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

4. Из колоды карт (36 штук) извлекаются две карты. Пусть событие А состоит в том, что извлечен по крайней мере один туз, В — обе карты одной масти, С — карты разного цвета. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

5.Из коробки извлекаются две кости домино. Пусть событие А состоит в том, что извлечен дубль, В — появилась хотя бы одна шестерка, С — на каждой кости появилась хотя бы одна шестерка. Описать пространство элементарных исходов Ω и события А, В, С, если

6.Пусть А, В, С три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

а) произошло только А; б) произошли А и В, но не произошло С;

в) все три события произошли; г) произошло, по крайней мере, одно из событий;

д) произошло одно и только одно из событий; е) ни одно из событий не произошло; ж) произошло не больше двух событий; з) прозошло два и только два события.

7.Пусть событие А — появление четного числа очков при бросании игральной кости, В — появление двух очков при однократном подбрасывании игральной кости, С — появление не более трех очков. Описать словесно события:

A I B IC , A IB , A \ B , A UC , B IC , C \ B .

Стохастический эксперимент. Исчисление событий.

Лекция № 1

8. Проверить соотношения между случайными событиями:

а)

;

б)

;

в) A U A = A ; г) B IB = B ;

A UB

A IB

д) (A UB)\ B = A \ (A IB);

е) A U(A IB)= A;

ж) A I(A UB)= A.

9. Упростить выражения:

а) (A UB)I(A U B ),

б) (A UB)I(A UB )I(A UB),

в) (A IB IC ID )U(A IC)U(B IC)U(C ∩ D). 10. Доказать равенство:

а) A \ B = A \ (A IB)= (A UB)\ B ;

б) A I(B \ C)= (A IB)\ (A IC);

в) (A \ C)I(B \ C)= (A IB)\ C ;

г) (A \ B)\ C = (A \ C)\ (B \ C);

д) A I B IC = A U(B \ A)U(C \ (A UB)).

11. Докажите, что если одновременно выполнены соотношения

A UB = Ω и A IB = ,

тогда

B = A .

12.Из 100 студентов владеют английским языком 28, немецким — 30, французским — 42, немецким и французским —30, английским и немецким — 10, английским и французским —5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из перечисленных языков?

13.В классе 45 учеников. Из них 25 юношей, 30 учатся на «хорошо» и «отлично», спортсменов — 28. Юношей, которые учатся на «хорошо» и «отлично» — 16. Юношей, которые занимаются спортом — 18. Спортсменов, которые учатся на «хорошо» и «отлично» — 17. Юношей, которые одновременно учатся на «хорошо» и «отлично» и одновременно занимаются спортом — 15. Может ли эта информация быть правдивой? И почему.

Определение 2 .1

Лекция № 2

Элементы комбинаторики

Лекция № 2

Тема:	Элементы комбинаторики.
	Если Вы не ожидаете найти нечто
	неожиданное, то Вы его не найдете,
	потому что это будет для Вас непосильно.
	Гераклит

2.1. Основной принцип комбинаторики (правило умножения)

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми эти расположения могут быть сделаны.

Методы комбинаторики играют важную роль при вычислении вероятностей различных событий, связанных с экспериментами, имеющими конечное число исходов.

Теорема 2.1.

основной принцип

комбинаторики

Если некоторый выбор А можно осуществить m различными способами, а для каждого из этих способов некоторый другой выбор В можно осуществить n способами, то выбор А и В, в указанном порядке, можно осуществить mn способами.

Доказательство. Осуществим выбор А одним из m способов, дальше выбор можно осуществить n способами. Поэтому всего выбор можно осуществить n + n +K+ n = mn .

Пример 2.1. Из города А в город В ведут m путей, а из города В в город С ведут n путей. Каким числом различных путей можно осуществить путешествие из города А в город С транзитом через город В?

Элементы комбинаторики

Лекция № 2

Решение. Используя основной принцип комбинаторики, имеем mn .

Теорема 2.2.

основной принцип

комбинаторики в

общем виде

Пусть требуется осуществить одна за другой m операций. Если первую операцию можно осуществить n1 способами,

вторую n2 способами, и так до m-й операции, которую можно осуществить nm способами, то все m операции вместе могут быть выполнены n1 n2 K nm способами.

Доказательство этого факта нетрудно провести методом математической индукции. (Предлагается выполнить самостоятельно)

2.2. Неупорядоченные множества

Пусть А множество из n элементов.

Определение 2 .2

Произвольное k-элементное подмножество множества из n–элементов называется сочетанием из n-элементов по k.

Порядок элементов в подмножестве не существенен. Два сочетания считаются различными, если они отличаются своими элементами.

	Обозначим		количество		k-элементных	подмножеств
Теорема 2.3	множества из n элементов через Сnk , тогда справедлива
Теорема 2.3			n!
	k		n!
	формула Cn	=		.
	формула Cn	=	k!(n − k )!	.

Доказательство:

Для того чтобы получить k –элементное подмножество множества А, нужно к (k −1)–элементному подмножеству присоединить один из оставшихся n − k +1 элементов. Так как (k −1)–элементных подмножеств имеется Сnk −1 , и

каждое из них можно сделать k–элементными n − k +1 способами, то мы получим

(n − k +1 )Сnk −1 подмножеств. Но не все из них будут различными, так как каждое

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.201543.25 Кб12Лекции ПИС.docx
#
23.12.2018248.32 Кб54Лекции по литературе.doc
#
16.03.2016374.78 Кб219Лекции по налогообложению ДНР.doc
#
11.09.2019402.94 Кб6Лекции по обязательствам.doc
#
11.09.2019591.36 Кб7Лекции по политэкономии.doc
#
13.04.20153.56 Mб70Лекции по ТВ и МС(ч.1).pdf
#
15.11.201817.05 Mб3Лекции по УТП.doc
#
16.03.2016470.02 Кб36Лекции по финансам.doc
#
13.11.20191.01 Mб10Лекции с|г.doc
#
15.11.2019717.31 Кб17Лекции ФДСХ.doc
#
09.11.20191.04 Mб11Лекции, часть 1 испр..doc