Лекции по ТВ и МС(ч.1)
.pdfЛекция № 14 |
Меры связи случайных величин |
5. Вектор (ξ,η) равномерно распределен в круге |
x2 + y2 ≤1. Найти |
совместную плотность распределения (ξ,η). Вычислите маргинальные плотности
ξи η. Вычислите коэффициент корреляции между ξ и η.
6.Дана ковариационная матрица системы случайных величин
|
1 |
0,5 |
1 |
−0,8 |
|
|
0,5 |
4 |
−1 |
0,8 |
|
|
|
||||
Σ = |
1 |
−1 |
16 |
2 |
. |
|
|
||||
|
−0,8 |
0,8 |
2 |
25 |
|
|
|
Найти корреляционную матрицу.
7. Закон системы двух абсолютно непрерывных случайных величин (ξ,η)задан плотностью распределения вероятностей
fξη (x, y)= |
|
|
c |
|
? |
|
+ x2 |
+ x2 y2 |
+ y2 |
||
1 |
|
Найти: а) константу c , б) корреляционную матрицу. Зависимы или нет случайные величины ξ и η.
|
|
8. |
Плотность совместного распределения случайных величин (ξ,η) равна |
|||||||||
fξη (x, y)= c(x + y) при 0 ≤ x, y ≤1. |
Найти а) постоянную |
c , |
б) корреляционную |
|||||||||
матрицу. Зависимы или нет случайные величины ξ и η? |
|
|
||||||||||
|
|
9. |
Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. |
|||||||||
Найти коэффициент корреляции случайных величин η1 |
и η2 , если: а) η1 = aξ , |
|||||||||||
η |
2 |
= bξ |
, б) η =ξ , η |
2 |
=ξ2 , в) η =ξ −1 2 |
, η |
2 |
= (ξ −1 2)2 . |
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
10. Пусть |
ξ(1) |
≤ξ(2) ≤K≤ξ(n) |
— |
вариационный |
ряд, |
построенный по |
независимым случайным величинам ξ1,ξ2 ,K,ξn , имеющим равномерное на отрезке [0,1] распределение, т.е. значения ξ1,ξ2 ,K,ξn , расположенные в порядке неубывания. Найти ковариацию и коэффициент корреляции ρξ(i )ξ( j ) .
11. Найти коэффициент корреляции между числом появлений единицы и числом выпадений шестерки при n испытаниях.
149
Характеристические функции |
Лекция № 15 |
Лекция № 15
Производящие, характеристические функции.
Тема: |
|
Преобразование Лапласа |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Истинная логика нашего мира — это подсчет |
|
|
|
|
|
|
|
вероятностей. |
|
|
|
|
|
|
|
Джеймс Клерк Максвел |
|
15.1. Характеристическая функция |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Характеристической функцией ϕ(u) случайной величины ξ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 15.1 |
|
|
|
|
|
называется комплекснозначная функция, определенная при |
|
|
|
|
|
|
u R = (−∞,+∞) соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(u)= M eiuξ . |
(15.1) |
Пусть Fξ (x) |
|
|
|
|
|
— функция распределения случайной величины, тогда |
|
|
|
|
|
||||
формулу (15.1) можно записать в виде |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(u)= ∫eiux dFξ (x). |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
В случае существования плотности fξ (x) случайной величины ξ эту формулу можно переписать следующим образом
+∞ |
|
ϕ(u)= ∫eiux fξ (x)dx . |
(15.2) |
−∞
Непосредственно из определения вытекают свойства характеристической функции:
1)ϕ(0)=1, ϕ(u) ≤1 для всех действительных x .
2)ϕ(−u)=ϕ(u).
3)ϕ(u) — равномерно непрерывная функция на всей числовой оси.
150
Лекция № 15 Характеристические функции
4) Характеристическая функция положительно определена, т.е. для любых действительных чисел u1,u2 ,Kun и любых комплексных чисел c1, c2 ,K, cn
n n
∑∑ϕ(uk −ur )ck cr ≥ 0 . k =1 r =1
5)Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Действительно, пусть ϕξ (u) — характеристическая функция случайной величины
ξ, ϕη (u) — случайной величины η, тогда характеристическая функция их суммы
ξ+η равна
ϕξ +η (u)= M eiu(ξ +η) = M eiuξ eiuη = M eiuξ M eiuη =ϕξ (u)ϕη (u).
6) Если η = a +bξ , где a и b — некоторые постоянные, то ϕη (u)=ϕξ (bu)eiua . Не сложно видеть, что ϕη (u)= M eiuη = M eiu(a +bξ ) = eiua M eiubξ = eiuaϕξ (bu).
7)Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.
Доказательство последнего свойства в общем случае можно найти, например, в [2 стр. 246].
Если случайная величина ξ абсолютно непрерывна, выражение (15.2) суть преобразование Фурье функции fξ (x). Для абсолютно непрерывной величины ξ плотность fξ (x) восстанавливается по ее характеристической функции ϕξ (u)
следующим образом:
fξ (x)= 21π +∞∫e−iuxϕξ (u)du .
−∞
Зная характеристическую функцию дискретной целочисленной случайной величины ξ , такой что P{ξ = k}= pk , ϕξ (u) можно восстановить ее
распределение. Не трудно видеть, что справедливы равенства:
1 |
π |
1 |
π |
1 |
π |
0, |
k ≠ l; |
|
|
|
|||||
∫eiu(k −l )du = |
∫cosu(k −l )du +i |
∫sin u(k −l)du = 1, |
|
||||
2π |
2π |
2π |
k = l. |
||||
|
−π |
|
−π |
|
−π |
|
|
151
Характеристические функции |
|
|
|
|
|
|
Лекция № 15 |
||
В силу того, что ϕξ (u)= M eiuξ |
∞ |
|
|
|
|
|
|||
= ∑eiuk pk |
, имеем |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
1 |
π ∞ |
|
∞ |
1 |
|
π |
ϕξ (u)e−iul du = |
∑eiuk |
pk e−iul du = ∑ pk |
|
eiu(k −l )du = pl . |
|||||
|
2π |
2π |
2π |
||||||
|
−∫π |
−∫π k =0 |
|
k =0 |
−∫π |
||||
Таким образом, закон распределения восстановлен. |
|
|
|
||||||
Пример 15.1. Пусть P{ξ =1}= P{ξ |
= −1}= 1 , тогда |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ϕξ (u)= M eiuξ = |
1 |
(eiu + e−iu )= cosu . |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пример 15.2. Найдем характеристическую функцию случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ .
∞ |
k |
−λ |
∞ |
|
|
(λe |
iu |
k |
|
|
|
|
|
= eλ(eiu −1). |
|
|
|
||
ϕξ (u)= ∑eiuk λ e |
|
= e−λ ∑eiuk |
|
) |
= e−λ+λeiu |
|
|
|
|||||||||||
k =0 |
k! |
k =0 |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 15.3. Пусть |
|
случайная |
|
величина ξ |
имеет |
равномерное |
|||||||||||||
распределение на отрезке [− a; a]. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ϕξ (u)= |
1 |
|
a eiux dx = sin au . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2a ∫ |
|
|
|
|
au |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 15.4. Если ξ имеет геометрическое распределение с параметром p , |
|||||||||||||||||||
P{ξ = k}= p(1− p)n , n = 0,1,K Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
− p)]k = |
|
|
p |
|
|
|
||||
ϕξ (u)= ∑eiuk p(1− p)k = p ∑[eiu |
(1 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
−e |
iu |
|
|
|||||||||||||||
k =0 |
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
1 |
(1− p) |
|
||||||||
Пример 15.5. Пусть случайная величина ξ |
имеет стандартное нормальное |
||||||||||||||||||
распределение. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕξ (u)= |
eiux − |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
−∫∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как интеграл в правой части последнего выражения сходится |
|||||||||||||||||||
равномерно относительно u на всей числовой прямой, поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ϕξ′ (u)= |
ixeiux |
− |
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
−∫∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152
Лекция № 15 Характеристические функции
Выполнив интегрирование по частям, получим
|
i |
∞ |
|
x 2 |
i |
|
x 2 ∞ |
|
u |
∞ |
x 2 |
|||
ϕξ′ (u)= − |
eiux de |
− |
|
=− |
eiuxe− |
|
|
− |
eiux − |
|
dx = −uϕξ (u). |
|||
2 |
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
2π −∫∞ |
|
|
|
2π |
|
|
−∞ |
|
2π −∫∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, характеристическая функция ϕξ (u) удовлетворяет задаче Коши, поставленной для дифференциального уравнения ϕξ′ (u)= −uϕξ (u), с
начальным условием ϕ(0)=1. Решая ее, получим, что ϕξ (u)= e−u22 .
Еще одно важное свойство характеристических функций сформулируем в виде теоремы.
Если существует абсолютный начальный момент порядка n
M ξ n , то функция ϕξ (u) имеет n непрерывных производных
и справедливо равенство
ϕξ(n)(0)= in Mξn .
Теорема 15.1.
При этом имеет место соотношение
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
εn (u), |
|
|
|
|
|
ϕξ (u)= ∑ |
(iu) |
Mξk + (iu) |
(15.3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||
здесь |
|
εn (u) |
|
≤ 3M |
|
ξ |
|
n и εn (u)→ 0 при u → 0 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
||||
Доказательство. В силу того, что |
M |
|
ξ |
|
= ∫ |
|
x |
|
dFξ (x)< +∞, |
интеграл |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ixeiux dFξ (x) равномерно сходится по u . Следовательно |
|
|
|||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
ϕξ′ (0)= i Mξ . |
|
|
|||||||||||||
ϕξ′ (u)= i ∫xeiuxdFξ (x), |
|
|
|
−∞
Далее, используя метод математической индукции, получим требуемое в теореме равенство
ϕξ(n)(0)= in Mξn .
Запишем разложение функции eix в ряд Тейлора в окрестности нуля с остаточным членом в форме Лагранжа
153
Характеристические функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция № 15 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
k |
n |
(cosθ1x +i sinθ2 x), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eix = cos x +i sin x = ∑(ix) |
+ |
(ix) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь |
|
θ1 |
|
|
≤1, |
|
θ2 |
|
≤1. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiuξ = ∑ |
|
(iuξ) |
+ |
|
(iuξ) |
(cosθ1uξ +i sinθ2uξ −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕξ (u) |
|
|
|
|
n |
|
|
k |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M eiuξ |
= ∑ |
(iu) |
Mξk + (iu) εn (u), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ε |
n |
(u)= Mξn (cosθ uξ +i sinθ |
uξ −1) |
. Не трудно видеть, что |
|
ε |
n |
(u) |
|
≤ 3M |
|
ξ |
|
n . Из |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
теоремы |
Лебега о предельном |
переходе |
под |
знаком интеграла следует, что |
εn (u)→ 0 при u → 0 .
Пример 15.6. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром λ , тогда ϕξ (u)= eλ(eiu −1). Следовательно,
ϕξ′ (u)= λieiu eλ(eiu −1) и ϕξ′′(u)= −(λeiu + λ2e2iu )eλ(eiu −1).
Таким образом,
M ξ = ϕξ′i(0)= λ, Dξ = −ϕξ′′(0)+[ϕξ′ (0)]2 = λ .
15.2 Производящие функции
Для неотрицательных целочисленных величин используют производящие функции.
|
Пусть ξ — случайная величина такая, что |
P{ξ = k}= pk , |
||||
|
||||||
|
k = 0,1,K Производящей функцией ψ (z) случайной величины |
|||||
Определение 15.2 |
ξ называется функция, определенная соотношением |
|||||
|
|
|
∞ |
|
||
|
ψ (z)= M zξ = ∑ pk zk , |
(15.4) |
||||
|
при комплексных z , для которых |
|
k =0 |
|
||
|
|
z |
|
≤1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Так как eix =1, тогда характеристическая и производящая функции
154
Лекция № 15 |
|
Характеристические функции |
|
случайной величины ξ связаны соотношением: |
|
||
|
ϕξ (x)=ψξ (eix ). |
|
|
По производящей |
функции ψ ξ (z) |
случайной величины |
ξ не сложно |
восстановить ее закон |
распределения. |
Действительно, если |
P{ξ = k}= pk , |
k = 0,1,K, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 =ψξ (0), |
p1 =ψξ′ (0), p2 |
= |
ψξ′′(0) |
,…, |
pk = |
ψξ(k )(0) |
, … |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k! |
ψξ (u) |
|
||||||
|
Если |
существует |
M |
|
ξ |
|
2 , |
|
тогда функция |
дважды |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
дифференцируема на отрезке [−1;1], при этом справедливы |
|||||||||||||||||||
Теорема 15.2. |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mξ =ψξ′ (1), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Dξ =ψξ′′(1)+ψξ′ (1)−[ψξ′ (1)]2 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. Так как M |
|
ξ |
|
2 |
= ∑k 2 pk < +∞, то |
ряд |
∑k(k |
−1)zk −2 pk |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|||||
равномерно сходится. |
Следовательно, |
ряд |
(16.4) |
можно |
почленно |
|||||||||||||||
дифференцировать. Из равенства ψ′(z) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||||||||
= ∑ pk kzk −1 |
, следует ψξ′ (1)= ∑ pk k , а из |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
k =0 |
∞
ψξ′′(z)= ∑ pk k(k −1)zk −2
k =0
∞ |
∞ |
— соответственно ψξ′′(1)= ∑ pk k 2 |
− ∑ pk k . Из которых |
k =0 |
k =0 |
непосредственно вытекают утверждения теоремы.
Пример 15.7. Найдем производящую функцию случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ .
∞ |
k |
−λ |
∞ |
k |
= e−λ+λz = eλ(z −1). |
ψξ (z)= ∑zk λ e |
|
= e−λ ∑ |
(λz) |
||
k =0 |
k! |
k =0 |
k! |
|
Пример 15.8. Если ξ имеет геометрическое распределение с параметром p ,
P{ξ = k}= p(1− p)n , n = 0,1,K Тогда
∞ |
k |
k |
∞ |
k |
p |
|
|
ψξ (u)= ∑z |
|
p(1− p) |
= p ∑[z(1 |
− p)] = |
|
|
. |
|
1− z(1− p) |
||||||
k =0 |
|
|
k =0 |
|
|
155
Характеристические функции |
Лекция № 15 |
|
16.3 Преобразование Лапласа |
|
|
Для неотрицательной случайной величины характеристическая функция |
||
эквивалентна преобразованию Лапласа. |
|
|
|
Пусть ξ — случайная величина такая, что |
P{ξ > 0}=1. |
|
||
|
Преобразованием Лапласа lξ (z) случайной величины ξ |
|
Определение 15.3 |
называется функция |
|
|
∞ |
|
|
lξ (z)= M e−ξ z = ∫e−u z dFξ (u). |
|
|
0 |
|
Свойства |
преобразования Лапласа: |
|
1.lξ (0)=1.
2.Если функции распределения случайных величин ξ и η равны, то совпадают и их преобразования Лапласа lξ (z) и lη (z).
3.Преобразование Лапласа является аналитической функцией в правой полуплоскости.
|
Если существует M |
|
ξ |
|
2 , тогда функция l |
(z) |
дважды |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
Теорема 15.3. |
дифференцируема, при этом справедливы равенства |
|
|||||
|
|
|
Mξ = −lξ′ (0), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Dξ = lξ′′(0)−[lξ′ (0)]2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство данной теоремы аналогично двум предыдущим.
Пример 15.9. Если ξ имеет показательное распределение с параметром λ ,
тогда
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
||||
lξ (x)= M e−ξz = λ∫e−u(z +λ)du = |
|
. |
|
|
||||||||||||
λ + z |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
λ |
|
|
2λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lξ′ (z)= − |
и lξ′′(z)= |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
(λ + z)2 |
|
(λ + z)3 |
|
|
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mξ = −lξ′ (0)= |
1 |
, Dξ = lξ′′(0) |
−[lξ′ (0)]= |
|
2 |
− |
|
1 |
|
= |
1 |
. |
||||
λ |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
λ |
|
λ |
156
Лекция № 15 |
Характеристические функции |
15.4. Рекомендуется изучить самостоятельно:
¾[2] – стр. 119 — 126, 128 — 133;
¾[3] – стр. 207 — 219, 234 — 244.
15.5. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:
1. Характеристические, производящие функции. Преобразования Лапласа. Их свойства.
15.6. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:
9определения:
¾характеристическая функция;
¾производящая функция;
¾преобразование Лапласа;
9теоремы:
¾о связи характеристических функций и моментов случайных величин;
¾о связи производящих функций и моментов случайных величин;
¾о связи преобразования Лапласа и моментов случайных величин;
уметь:
9доказывать теоремы:
¾о связи характеристических функций и моментов случайных величин;
¾о связи производящих функций и моментов случайных величин;
¾о связи преобразования Лапласа и моментов случайных величин;
9решать задачи, используя свойства:
¾характеристических функций;
¾производящих функций;
¾преобразований Лапласа.
15.7. Задачи и упражнения
1. Найти характеристическую функцию и, используя ее, математическое
157
Характеристические функции Лекция № 15
ожидание и дисперсию (если они существуют) случайной величины, имеющей:
а) биномиальное распределение с параметрами n и p ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) показательное распределение с параметром λ ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) распределение Паскаля: P{ξ = k}= |
|
ak |
|
, a > 0 , |
k = 0,1,K; |
||||||||||||||||
(1+ a)k +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) распределение Парето с параметрами λ > 0 и α > 0 , если ее плотность |
|||||||||||||||||||||
имеет вид: f (x)= |
α |
λ α +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
, x > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ |
λ + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) равномерное на интервале (0;1) распределение; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
е) распределение с плотностью f (x)= |
1 e− |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
|
< 2 ; |
||
ж) распределение арксинуса с плотностью f (x)= π a2 − x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
з) распределение Коши с плотностью |
|
f (x)= |
a |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x −c)2 |
+ a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2.Найти характеристическую функцию числа появлений события при одном испытании, если вероятность появления события при одном испытании равна p .
3.Найти характеристическую функцию числа появлений события A при n
независимых испытаниях, если вероятность появления события A от испытания к испытанию меняется и для k –го испытания равна pk (k =1,2,K, n).
4. |
Характеристическая функция случайной |
|
величины |
ξ |
задана в |
виде |
||||||||||
ϕ(z)= e−a |
|
z |
|
, a > 0 . Определить плотность вероятности ξ . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Даны |
характеристические функции |
ϕ |
ξ |
(z)= |
1+iz |
и |
ϕ (z)= |
1−iz |
. |
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ z2 |
|
η |
1 |
+ z2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определить соответствующие им плотности вероятностей. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Найти |
производящую функцию и, |
используя ее, |
математическое |
ожидание и дисперсию (если они существуют) случайной величины, имеющей: а) биномиальное распределение с параметрами n и p ;
б) распределение Паскаля: P{ξ = k}= |
|
ak |
, a > 0 , k = 0,1,K |
|
(1 |
+ a)k +1 |
|||
|
|
158