Binder1

при k 0 : 3 2

cos

isin

; при k

1:

3 2

cos13

isin

13

;

2

1

18

18

18

18

при k 2 :

3 2 cos 25 isin

25

3

2 cos 11

isin

11

.

3

18

18

18

18

Пример 6. Вычислить

1 i

3 12 .

2 2i 8

Решение. Запишем числа 1 i

3 и

2 2i

в тригонометрической форме:

1 i 3

2

isin

,

cos

3

3

2 2i

8 cos

isin

.

4

4

Применяя формулу Муавра, получим

12

12

12

isin

12

12

12

12

1 i 3

2

cos

3

3

2

cos4 isin 4 2

cos0 isin 0 2 ,

8

8

8

8

12

2 2i

8

cos

isin

2

cos 2 isin 2

4

4

212 cos0 isin 0 212.

Откуда 1 i

3 12

212

1.

2 2i 8

212

Представим это число в показательной форме

1 i 3 2ei 3 , 1 i

3 12 212 ei123

212 ei4 212 ;

2 2i

8e i 4 ,

2 2i 8 212

e i2

212 , так как cos 2 k isin 2 k 1,

k Z .

1 i 3 12

212 1.

2 2i 8

212

Ответ: 1.

Пример 7. Решить уравнение z2 6z 10 0.

Решение. z1,2 3

9 10

3 i, т.е. z1

3 i, z2 3 i.

Ответ: 3 i; 3 i .

25

Пример 8. Решить уравнение z2 2i 3 z 5 i 0.

Решение. По формуле корней квадратного уравнения

Z

3 2i 3 2i 2 4 5 i

3 2i 9 12i 4 20 4i 3 2i 15 8i

1,2

2

2

2

3 2i 1 4i

, т.к.

15 8i

1 4i 2 .

2

Отсюда z 3 2i 1 4i 1 i, z

2

3 2i 1 4i

2 3i.

1

2

2

Ответ. 1 i;2 3i .

Пример 9. Решить биквадратное уравнение z4 4z2 3 0.

Решение. Обозначим z2 t, тогда t2 4t 3 0, корни которого t

3

1

и t

2

1, т.е.

z2 3 z

i 3, z

2 1 z

i.

1,2

3,4

Задачи для самостоятельной работы

Выполнить указанные действия:

11.

3 2i 5 i .

Ответ: 8 i .

12.

1 3i 2 i .

Ответ: 3 2i .

13.

5 i 2 3i .

Ответ: 13 13i .

14.

1

i

.

Ответ: i .

1

i

15.

1

1

.

Ответ:

0,4 i 0,2 .

1

3i

3 i

16.

3 2i 3 .

Ответ:

9 46i .

17.

i5 2i2

2

Ответ:

2

3

i .

19

1

.

2

i

18.

3 2i 1 i3

4 i 2 3i

.

Ответ: 7,3 i 0,1.

1 i

3 i

19.

i28 5i13 i9

i2

4 .

Ответ: 6 4i .

20.

Найти Rez и Imz , если:

а) z 3 2i

, б) z

2 3i

, в) z

4 i .

3 i

1 i

1 2i

Ответы: а) Rez 0,5;

Imz 2,5;

б) Re z 0,9; Im z 0,7;

в) Rez 1,2; Imz 1,4 .

Найти модуль и главное значение аргумента:

21.

z 2 3 2i .

Ответ: r 4,

.

6

22.

z 1 i 3 .

Ответ: r 2, .

3

23.

5 7i 7 5i .

Ответ: r 74,

.

2

24.

1 i 3 3 .

Ответ: r 8, .

25.

z

2 i 2 .

Ответ: z 2

2e

i

.

cos

isin

4

4

4

26.

z

3 i .

Ответ: z 2

5

isin

5

2e

i

5

cos

6

6

6 .

1

3

i

27.

z

i

.

Ответ: z 1 cos

isin

e 3 .

2

2

3

3

Вычислить:

28.

1 i

8

Ответ: 1.

1

i

.

29.

3 i 6 .

Ответ: 64 .

30.

cos

isin

6

Ответ: 27 .

1

3

.

3

31.

3 1 .

Ответ: 1;

1 i

3 .

2

32.

3 i .

Ответ: i;

3

i

.

2

2

33.

3 4i .

Ответ:

2 i .

34.

2 i2 3 .

Ответ:

3 i .

35.

6 8 .

Ответ:

2

3 i ; 2i;

2

3 i .

2

2

Построить области точек z , удовлетворяющих условиям (36-40):

36.

z 1

2.

Ответ. Окружность с центром в точке С (1; 0) и радиусом 2.

37.

Rez 1.

Ответ. Прямая x 1.

38.

z

2

и 0 arg z .

Ответ. Часть круга с центром в начале

2

координат и радиусом 2,

расположенная в 1 четверти.

39.

0 Imz 1.

Ответ. Полоса 0 y 1.

40.

z i

z 2

.

Ответ.

Прямая 2x y 1,5 0.

Решить следующие уравнения (41-46):

41.

z2 2z 5 0 .

Ответ: 1 2i .

42.

4z2 2z 1 0 .

Ответ: 1

3

i .

4

4

43.

z2 2i 3 z 5 i 0 .

Ответ: 1 i; 2 3i .

44.

z3 1 0 .

Ответ: 1;

1

i

3

.

2

2

45.

z 1 4 16 0 .

Ответ: 1; 3; 1 2i .

46.

z4 9z2 20 0 .

Ответ: 2i;

5i .

cos3

через функции угла . Ответ:

sin3 3sin 4sin3

,

cos3 4cos3 3cos

P x

a xn a xn 1 ... a

n 1

x a

n

,

n

0

1

где n - целое положительное число.

Здесь

коэффициенты

a0 ,a1 ,...,an являются действительными или

Корнем многочлена

P x называется всякое число (действительное или

комплексное), при котором многочлен обращается в нуль, т.е. P 0 .

Теорема Безу. При делении многочлена P x на двучлен x a получается

остаток, равный P a .

Следствие. Если - корень многочлена Pn x , то этот многочлен делится

без остатка на x и,

следовательно, представляется в виде произведения

произведения

Pn x a0 x 1 x 2 ... x n ,

(1)

где a - коэффициент при xn ,

0

1, 2 ,..., n - корни многочлена Pn x .

Если множитель x в этом разложении встречается

k раз, то корень

корень i кратности

k ,

то сопряженное число i также является

корнем этого многочлена причем той же кратности

k . Отсюда вытекает, что в

разложении (1) многочлена

P

x

будут присутствовать множители x k и

n

x

k . Перемножив их, получим

x k

x

k x

x

k

x

i x

i k

2

2

2

k

2

k

2 x

x

px q ,

x

где p 2 ,

q 2 2 .

Таким

образом,

разложение

(1)

многочлена

Pn x с

действительными

многочлена и правильной рациональной дроби, т.е. R x

P x

L x

r x

,

Q x

Q x

где L x - частное, а r x - остаток, получаемые при делении многочлена P x

на

многочлен Q x .

Деление многочленов столбиком. Алгоритм деления многочлена Pn x

на

многочлен Qm x

при n m является обобщенной формой

деления чисел

столбиком.

Покажем, что

x3 4x2 5x 1

x2

x 8

25

.

x 3

x 3

Частное и остаток от деления

P x x3 4x2 5x 1 на

Q x x 3

находим, выполняя следующие шаги:

1) Делим старший член делимого на старший член делителя, т.е.

x3

x2 , и

x

результат записываем в частном под чертой

x 3

x3 4x2 5x 1

.

x2

2) Умножаем полученный результат x2

на делитель и записываем под

делимым

x3 4x2 5x 1

x 3

.

x3 3x2

x2

3) Из делимого вычитаем многочлен, полученный умножением x2 на x 3,

x3 4x2 5x 1 x3 3x2 x3 4x2 5x 1 x3 3x2 x2 5x 1

и

Вычислим все корни

4 4 . В тригонометрической форме

z1

4

isin

2

i

2

1 i ,

4

cos

2

4

4

2

2

z2

4

3

isin

3

2

i

2

1

i ,

4

cos

2

4

4

2

2

z3

4

5

isin

5

2

i

2

1

i ,

4

cos

2

4

4

2

2

z4

4

7

isin

7

2

i

2

1 i .

4

cos

2

4

4

2

2

Ответ: 1 i,

1 i ;

z4 4 z2 2z 2 z2 2z 2 .

z 1,

z

2

cos 2 isin 2

1

i

3

,

z

cos 4

isin 4

1 i

3

, имеющие

1

3

3

2

2

3

3

3

2

2

кратность k 2 .Тогда многочлен перепишется в виде:

z6

2z3

1 z 1

2

1

3

2

1

3

2

z

i

z

i

.

2

2

2

2

Ответ: 1;

1

i

3

; z 1 2 z2 z 1 2 .

2

2

Пример 3. Разложить на множители многочлен z4 2z3 4z2 4z 4, если

известен один корень z1 1 i .

Решение.

Если

z1 1 i - корень многочлена, то сопряженное ему число

z z z z

2

z 1 i z 1 i z 1 2 i2 z2 2z 2 .

1

А это значит, что оставшиеся множители можно определить путем деления

данного многочлена на z2 2z 2 :

z2 2z 2

z4 2z3 4z2 4z 4

z4 2z3 2z2

z2 2

z4 2z3 4z2 4z 4 z2 2z 2 z2 2 .

Ответ: z2 2z 2 z2 2 .

Пример 4. Показать, что 3x4 6x3 5x2 9x 11

3x2

4

x 1

.

x2 2x 3

x2 2x 3