3.2. Статистические гипотезы

Как уже отмечалось, в ходе предварительной обработки экспериментальных данных решаются следующие задачи:

• отсев грубых ошибок (промахов) наблюдений;

• доверительная оценка измеряемых величин;

• проверка соответствия распределения результатов измерений закону нормального распределения.

Проверка и решение этих задач осуществляется с помощью статистических гипотез.Статистическими гипотезами (Н) называются предположения о свойствах генеральной совокупности, т.е. относительно закона распределения (f(x), F(x)) и их параметров (М_x, _x² и др.).

Например, специалиста интересует, удалось ли добиться повышения в среднем механической прочности окатышей при использовании новой технологии их обжига. Тогда он формулирует гипотезу: "Механическая прочность окатышей в среднем увеличилась". Для проверки этой гипотезы необходимо сформулировать другую гипотезу: "Изменения механической прочности в среднем не произошло". Эту последнюю гипотезу называют нулевой Н₀или гипотезой отсутствия изменения (последствия). Задача исследователя заключается в том, чтобы на основе анализа ограниченной выборки принять ту или иную гипотезу.

Таким образом, основная выдвинутая гипотеза является нуль-гипотезойН₀. Весьма часто она формулируется о том, что оценки_А* и_В*, полученные для выборок А и В, принадлежат к одной генеральной совокупности, т.е. разница между_А* и_В* фактически равна нулю и возникла в силу случайности отбора элементов и ограниченности объема выборки. Противоречащие ей гипотезы Н_iназываютсяальтернативными, или конкурирующими.

Правильность этих гипотез проверяется путем вычисления некоторых числовых характеристик по данным наблюдений (измерений) и сравнения их с теми, которые должны быть при условии, что проверяемая гипотеза истинна, а наблюдаемые отклонения объясняются случайными колебаниями в выборках и их ограниченностью. Такие характеристики называют критериями проверки статистических гипотезGr. Для этого строится случайная величина – степень рассогласования теоретического и экспериментального распределения. По величине рассогласования можно проверить является ли это расхождение незначительным или существенным. Если Gr_экспи Gr_теоротличаются существенно, то гипотеза отвергается, если мало, то гипотеза принимается.

Таким образом, статистические гипотезы носят вероятностный характер. Это говорит о том, что в ряде случаев можно ошибиться. Для количественной характеристики степени ошибки используется показатель , который называетсяуровнем значимости.Произведение 100% показывает в скольких случаях из 100 можно ошибаться, т.е. сколько процентов отвергается гипотеза.Тогда величина P=1-являетсядоверительной вероятностью (надежностью). Уровень значимости – мера наших требований к ответу: чем больших гарантий мы будем требовать, тем менее определенным станет ответ. Ответ одновременно очень точный и очень надежный, как правило, стоит очень дорого. Опыт использования статистики в разнообразных ситуациях в течение нескольких десятилетий показал, что обычно в практических ситуациях определяющим значениемявляется 0,05. Такое значение, называемое иногда 5%-ным уровнем риска, соответствует вероятности верного ответа, т.е. его надежности при проверке гипотез P=1-0,05=0,95 или 95%. При этом говорят, что в среднем только в 5 случаев из 100 возможна ошибка. Конечно, никогда нельзя дать 100%-й гарантии. Подобное желание приводит к необходимости выполнять бесконечное много опытов, что абсурдно.

Поскольку проверка гипотез ведется при ограниченной информации (по выборке), то могут возникнуть ошибки двух родов. Если будет отвергнута правильная гипотеза, то совершается ошибка первого рода, если будет допущена неправильная гипотеза, то совершается ошибкавторого рода. Очевидно, что вероятность допустить ошибку первого рода, равна. Область, отвечающая вероятности, называетсякритической, а дополняющая ее область, вероятность попадания в которую P(_)=1-, называетсядопустимой.

Вероятность ошибки второго рода обозначается , а величина P(_)=1-называетсямощностью критерия. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Так, при контроле качества продукции величинапоказывает риск производства, отвергая правильную гипотезу, он бракует годную продукцию. Величинахарактеризует риск потребителя, допускает ложную гипотезу, он принимает и использует фактически непригодную продукцию. Ситуации, возникающие при статистической проверке гипотез представлены в табл.3.1.

Таблица 3.1

Возможные варианты принятия решения о правильности гипотез

	Критерий Gr рекомендует допустить нуль-гипотезу H0	Критерий Gr рекомендует отклонить нуль-гипотезу H0(т.е. допустить альтернативную H1)
Фактически истина нуль-гипотеза Н0	Решение правомерно: гипотеза Н0допускается	Решение ложно: совершена ошибка первого рода, т.к. отклонена верная гипотеза Н0
Фактически истинна альтернативная гипотеза Н1	Решение ложно: совершена ошибка второго рода, т.к. допускается ложная гипотеза Н0вместо истинной Н1	Отклоняется Н0, решение истинно, т.к. допущена гипотеза Н1

Общий подход решения задач при использовании статистических гипотез состоит в проверке нулевой гипотезы Н₀, т.е. об отсутствии различия между теоретическими и экспериментальными результатами, разброс которых объясняется случайными факторами. Проверка гипотезы – это правило, по которому она принимается или отвергается.

Правильность нулевой гипотезы можно проверить следующим образом. Предположив справедливость нулевой гипотезы, т.е. отсутствия реального различия, вычисляется вероятность того, что вследствие случайной выборки расхождение может достигнуть фактически величины, которая установлена в результате наблюдения. Если эта вероятность окажется очень малой, то нулевая гипотеза отвергается (т.е. маловероятно, что расхождение вызвано случайными величинами, а не реальным различием). Вероятность P=1-, которую принимают за основу при статистической оценке гипотезы, определяют уровнем значимости.

Однако чаще всего в инженерной практике изначально задаются критическим значением уровня значимости или доверительной вероятности P=1-. Далее находят экспериментальное значение соответствующего критерия Gr_эксп. По специальным таблицам или с использованием пакетов прикладных программ и интегрированных сред для ПЭВМ находят теоретическое значение критерия Gr_теор, зависящее, как правило, от уровня значимости(доверительной вероятности P) и степени свободы m. В итоге сравнивают Gr_экспи Gr_теори делают выводы (заключение) о принятии или отклонении нуль-гипотезы.

Напомним, что число степеней свободыm – это понятие, которое учитывает в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин.Число степеней свободы вычисляется как разность между числом экспериментальных точек n и числом связей f, ограничивающих свободу изменения случайной величины.Так, при вычислении выборочной дисперсиинаблюдается одна связь, определяемая уровнем средней арифметической величины, поэтому число степеней свободы будет равно m=n-1, а для дисперсиичисло степеней свободы равно числу испытаний m=n, так как M_x определено независимым способом.

Понятие о степени свободы поясним еще на примере решения системы линейных алгебраических уравнений. Допустим, что мы имеем систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ..., x_n. Очевидно, решение такой системы (при линейной независимости уравнений) будет ограниченным, т.е. такая система не будет иметь ни одной степени свободы. Но если для n неизвестных переменных мы имеем l уравнений, то такая система уравнений будет иметь число степеней свободы m=n-l.