5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей

Целью обратной задачи является определение погрешностей величин-аргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зависимости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной погрешностью.

Обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение с kнеизвестными. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов.

Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказывается возможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Он заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывали одинаковое влияние на погрешности функции.

Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функции, определяемой соотношением (5.5), получим

(5.14)

(5.15)

С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных x_i и относительных_xi^*погрешностей всех аргументов:

(5.16)

(5.17)

В дальнейшем могут иметь место три возможных случая:

• значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измерений;

• значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным;

• значения всех погрешностей малы и обеспечить такую точность невозможно.

В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов.

Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины x. Этот выход является единственно возможным и для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При выборе другого метода измерений меняется вид функции=f(X), а следовательно, меняются аргументы и значения их погрешностей.

Рассмотрим пример 5.2.

Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d=20 мм и высотойh=50 мм с относительной погрешностью_V^*=0,01, соответствующей доверительной вероятностьюP=0,95. Найдем погрешности измерения величиныdиh, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Учитывая, что объем цилиндра равени приняв закон распределения нормальным, с помощью соотношения (5.16) найдем

5.3.Определение наивыгоднейших условий эксперимента

Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение.

Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5).

Условия экстремума погрешности _^*имеют вид

(5.18)

Раскрывая величину _^*в соответствии с выражениями (5.5) и (5.3), систему уравнений (5.18) можно представить в форме

(5.19)

Система (5.19) состоит из nуравнений и содержитnнеизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величинx₁,x₂, ...,x_n, при которых погрешность_^* принимает экстремальное значение.

Дальнейший анализ направлен на получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины _^*. С этой целью вычисляются значения вторых производныхпри найденных значениях переменныхx_i.

Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму величины _^*.